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1. 下列关于 $x$ 的式子:①$\frac{1}{x}=1$；②$\frac{2x+1}{3}=1+\frac{1-3x}{4}$；③$\frac{x}{b}+\frac{x}{b}=1$；④$\frac{x}{a}-3=a+4$；⑤$\frac{2x}{π}$，是分式方程的有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
A
）A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
①$\frac{1}{x}=1$ 分母中含有未知数，是分式方程；②$\frac{2x+1}{3}=1+\frac{1-3x}{4}$,分母中不含有未知数,不是分式方程;③关于 $x$ 的方程 $\frac{x}{b}+\frac{x}{b}=1$,分母 $b$ 是常数,分母中不含有未知数,不是分式方程;④关于 $x$ 的方程 $\frac{x}{a}-3=a+4$,分母 $a$ 是常数,分母中不含有未知数,不是分式方程;⑤$\frac{2x}{π}$不是等式,且分母中 $π$ 是常数,不是分式方程.综上所述,是分式方程的有 1 个. 故选 A.
2. 解分式方程$\frac{x-1}{x-3}=2+\frac{2}{x-3}$的步骤:①方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$;②得整式方程$x-1=2(x-3)+2$;③解得$x=3$;④故原方程的解为$x=3$.其中有误的一步为 (
A.①
B.②
C.③
D.④
D
)A.①
B.②
C.③
D.④
答案
其中有误的一步为④,应将求得的根代入原分式方程检验,发现分母 $x-3$ 的值为 0,分式无意义,故原分式方程无解. 故选 D.
3. 分式方程$\frac{x}{x+1}=\frac{3}{2x+2}$的解是 （
A.$x=\frac{3}{2}$
B.$x=-\frac{3}{2}$
C.$x=-\frac{2}{3}$
D.$x=\frac{2}{3}$
A
）A.$x=\frac{3}{2}$
B.$x=-\frac{3}{2}$
C.$x=-\frac{2}{3}$
D.$x=\frac{2}{3}$
答案
A
4. 已知关于$x$的方程$\dfrac{a}{2a - x} = \dfrac{1}{3}$的解是$x=1$，则$a$的值为（
A.2
B.1
C.$-1$
D.$-2$
C
）A.2
B.1
C.$-1$
D.$-2$
答案
C
5. [2025邢台月考] 若关于x的方程$\frac{3x}{x-1}=\frac{m}{1-x}+4$无解，则m的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$-3$
D
）A.$-1$
B.$1$
C.$-2$
D.$-3$
答案
【点拨】$\frac{3x}{x-1}=\frac{m}{1-x}+4$,去分母,得 $3x=-m+4(x-1)$,去括号,得 $3x=-m+4x-4$,移项,合并同类项,得 $x=4+m$. $\because$ 当 $x=1$ 时,方程 $\frac{3x}{x-1}=\frac{m}{1-x}+4$ 无解,$\therefore 4+m=1$,$\therefore m=-3$. 故选 D.
6. 2024·东营 立德树人·节约用水 水是人类赖以生存的宝贵资源，为节约用水，创建文明城市。某市经论证从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨原价的$\frac{1}{4}$。小丽家去年5月份的水费是28元，而今年5月份的水费则是24.5元。已知小丽家今年5月份的用水量比去年5月份的用水量少$3\ m^3$。设该市去年居民用水价格为$x$元/$m^3$，则可列分式方程为
$\frac{28}{x}-\frac{24.5}{\frac{5}{4}x}=3$
。答案
$\frac{28}{x}-\frac{24.5}{\frac{5}{4}x}=3$
7. 如图，点A，B在数轴上，它们所表示的数分别是-4，$\frac{4x - 4}{5x + 1}$，且点A到原点的距离是点B到原点的距离的2倍，则x=
$-1$
。答案
$-1$
8. 母题 教材 P172复习题 T4 解分式方程：
(1)[2024 陕西] $\frac{2}{x^2 -1} + \frac{x}{x -1}=1$；
(2)$\frac{x-2}{x-3}=2 + \frac{1}{2x -6}$。
(1)[2024 陕西] $\frac{2}{x^2 -1} + \frac{x}{x -1}=1$；
(2)$\frac{x-2}{x-3}=2 + \frac{1}{2x -6}$。
答案
(1)方程两边都乘$(x+1)(x-1)$,得 $2+x(x+1)=(x+1)(x-1)$,解得 $x=-3$.
检验:当 $x=-3$ 时,$(x+1)(x-1)≠0$,
$\therefore$ 分式方程的解是 $x=-3$.
(2)原方程可化为$\frac{x-2}{x-3}=2+\frac{1}{2(x-3)}$,方程两边都乘$2(x-3)$,得 $2(x-2)=4(x-3)+1$,解得 $x=3.5$.
检验:当 $x=3.5$ 时,$2(x-3)≠0$,
$\therefore x=3.5$ 是原方程的解.
检验:当 $x=-3$ 时,$(x+1)(x-1)≠0$,
$\therefore$ 分式方程的解是 $x=-3$.
(2)原方程可化为$\frac{x-2}{x-3}=2+\frac{1}{2(x-3)}$,方程两边都乘$2(x-3)$,得 $2(x-2)=4(x-3)+1$,解得 $x=3.5$.
检验:当 $x=3.5$ 时,$2(x-3)≠0$,
$\therefore x=3.5$ 是原方程的解.
9. 小明在解关于$x$的分式方程$\frac{x}{x+1}=\frac{□}{x+1}-2$时，发现墨水不小心把其中一个数污染了，翻看答案上说此方程有增根无解，则被污染的数为（
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$-2$
A
）A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$-2$
答案
A
10. [2024 遂宁] 分式方程$\frac{2}{x-1}=1-\frac{m}{x-1}$的解为正数，则$m$的取值范围是（
A.$m＞-3$
B.$m＞-3$且$m≠-2$
C.$m＜3$
D.$m＜3$且$m≠-2$
B
）A.$m＞-3$
B.$m＞-3$且$m≠-2$
C.$m＜3$
D.$m＜3$且$m≠-2$
答案
【点拨】方程两边同时乘 $x-1$,得 $2=x-1-m$,解得$x=m+3$. $\because$ 分式方程 $\frac{2}{x-1}=1-\frac{m}{x-1}$ 的解为正数,$\therefore m+3＞0$,$\therefore m＞-3$. 又 $\because x≠1$,即 $m+3≠1$,$\therefore m≠-2$. $\therefore m$ 的取值范围为 $m＞-3$ 且 $m≠-2$.
11. 新趋势 学科内综合 已知点$P(1-2a,a-2)$在第三象限内，且$a$为整数，则关于$x$的分式方程$\frac{x+1}{x-a}=2$的解是（
A.$x=5$
B.$x=1$
C.$x=3$
D.不能确定
C
）A.$x=5$
B.$x=1$
C.$x=3$
D.不能确定
答案
【点拨】$\because$ 点 $P(1-2a,a-2)$ 在第三象限内,
$\therefore \begin{cases}1-2a＜0,\\a-2＜0,\end{cases}$ 解得 $\frac{1}{2}＜a＜2$. $\because a$ 为整数, $\therefore a=1$. 把$a=1$ 代入方程 $\frac{x+1}{x-a}=2$,得 $\frac{x+1}{x-1}=2$,解得 $x=3$. 经检验,$x=3$ 是方程 $\frac{x+1}{x-1}=2$ 的解.
$\therefore \begin{cases}1-2a＜0,\\a-2＜0,\end{cases}$ 解得 $\frac{1}{2}＜a＜2$. $\because a$ 为整数, $\therefore a=1$. 把$a=1$ 代入方程 $\frac{x+1}{x-a}=2$,得 $\frac{x+1}{x-1}=2$,解得 $x=3$. 经检验,$x=3$ 是方程 $\frac{x+1}{x-1}=2$ 的解.
