12. 2025·唐山期中 新视角·新定义题 对于两个不相等的实数$a,b$，规定:$\max\{a,b\}$表示$a,b$中的较大值，如$\max\{2,4\}=4$，按照这个规定，方程$\max\{-\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{x}\}=\dfrac{2}{3-x}$的解为 ()

A.$x=-3$
B.$x=3$
C.$x=1$或$x=-3$
D.$x=1$或$x=3$

【点拨】当 $x＞0$ 时,$\max\{-\frac{1}{x},\frac{1}{x}\}=\frac{1}{x}=\frac{2}{3-x}$,解得 $x=1$. 经检验,$x=1$ 是原分式方程的解,且满足题意; 当 $x＜0$ 时,$\max\{-\frac{1}{x},\frac{1}{x}\}=-\frac{1}{x}=\frac{2}{3-x}$,解得$x=-3$,经检验,$x=-3$ 是原分式方程的解,且满足题意. 综上所述,$x=1$ 或 $x=-3$. 故选 C.

13. 若关于$x$的分式方程$\frac{a}{x+1}+\frac{x}{(x+1)(x-2)}=\frac{1}{x-2}$的解比分式方程$\frac{2}{x+1}=\frac{3}{x+3}$的解大2，则$a$的值为。

【点拨】$\frac{2}{x+1}=\frac{3}{x+3}$,去分母,得 $2(x+3)=3(x+1)$,去括号,得 $2x+6=3x+3$,移项、合并同类项,得 $x=3$.经检验,$x=3$ 是原分式方程的解. $\because$ 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a}{x+1}+\frac{x}{(x+1)(x-2)}=\frac{1}{x-2}$ 的解比分式方程 $\frac{2}{x+1}=\frac{3}{x+3}$ 的解大 2, $\therefore x=5$ 是分式方程 $\frac{a}{x+1}+\frac{x}{(x+1)(x-2)}=\frac{1}{x-2}$ 的解,$\therefore$ 把 $x=5$ 代入此分式方程得$\frac{a}{5+1}+\frac{5}{6×3}=\frac{1}{3}$,$\therefore \frac{a}{6}=\frac{1}{18}$,$\therefore a=\frac{1}{3}$.

14. [2024 重庆] 若关于$x$的一元一次不等式组$\begin{cases}\dfrac{2x+1}{3}≤3, \\4x-2＜3x+a\end{cases}$的解集为$x≤4$，且关于$y$的分式方程$\dfrac{a-8}{y+2}-\dfrac{y}{y+2}=1$的解均为负整数，则所有满足条件的整数$a$的值之和是 ______ 。

12 【点拨】$\begin{cases}\frac{2x+1}{3}≤3①, \\4x-2＜3x+a②,\end{cases}$ 解不等式①得 $x≤4$,解不等式②得 $x＜a+2$. $\because$ 不等式组的解集为 $x≤4$,$\therefore a+2＞4$.$\therefore a＞2$. 解分式方程 $\frac{a-8}{y+2}-\frac{y}{y+2}=1$,得 $y=\frac{a-10}{2}$. $\because$ 关于 $y$ 的分式方程的解均为负整数,$\therefore \frac{a-10}{2}＜0$且$\frac{a-10}{2}$是整数且$\frac{a-10}{2}+2≠0$,$\therefore a＜10$ 且 $a≠6$ 且 $a$ 是偶数. $\therefore 2＜a＜10$ 且 $a≠6$ 且 $a$ 是偶数. $\therefore$ 满足题意的 $a$ 的值可以为 4 或 8. $\therefore$ 所有满足条件的整数 $a$ 的值之和是 $4+8=12$.

15. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{4}{x+2} - \frac{2}{x-2} = \frac{m}{x^2 - 4} $。
(1) 解这个分式方程(结果用 $ m $ 表示)；
(2) 若这个分式方程的解是非负数，求实数 $ m $ 的取值范围。

(1)$\frac{4}{x+2}-\frac{2}{x-2}=\frac{m}{x^2-4}$,方程两边都乘$(x+2)(x-2)$,得 $4(x-2)-2(x+2)=m$,解得 $x=\frac{m+12}{2}$. 当 $\frac{m+12}{2}=2$ 时,$m=-8$;当$\frac{m+12}{2}=-2$ 时,$m=-16$,$\therefore$ 原分式方程的解是 $x=\frac{m+12}{2}$($m≠-8$ 且 $m≠-16$).
(2)$\because$ 要使分式方程的解是非负数,
$\therefore \frac{m+12}{2}≥0$,解得 $m≥-12$.
又$\because m≠-8$ 且 $m≠-16$,
$\therefore$ 实数 $m$ 的取值范围是 $m≥-12$ 且 $m≠-8$.

16. 对$x,y$定义一种新运算$T$，规定$T(x,y)=\dfrac{ax^2 + by^2}{x + y}$（其中$a,b$是非零常数，且$x+y≠0$），这里等式右边是常用的四则运算。
如：$T(3,1)=\dfrac{a×3^2 + b×1^2}{3+1}=\dfrac{9a + b}{4}$，$T(m,-2)=\dfrac{am^2 + 4b}{m - 2}$。
(1)填空：$T(4,-1)=$（用含$a,b$的代数式表示）。
(2)若$T(-2,0)=-2$，且$T(5,-1)=6$。
①求$a$与$b$的值；
②若$T(3m -10,m)=T(m,3m -10)$，求$m$的值。

(1)$\frac{16a+b}{3}$ 【点拨】$T(4,-1)=\frac{a×4^2 + b×(-1)^2}{4-1}=\frac{16a+b}{3}$.
(2) ① $\because T(-2,0)=-2$, 且 $T(5,-1)=6$,
$\therefore \begin{cases}\frac{4a}{-2}=-2,\\\frac{25a+b}{4}=6,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=1,\\b=-1.\end{cases}$
②解法一: $\because a=1,b=-1$,且 $x+y≠0$,
$\therefore T(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x+y}=\frac{(x+y)(x-y)}{x+y}=x-y$,
$\therefore T(3m-10,m)=3m-10-m=2m-10$,
$T(m,3m-10)=m-3m+10=-2m+10$.
$\because T(3m-10,m)=T(m,3m-10)$,
$\therefore 2m-10=-2m+10$,解得 $m=5$.
解法二:由解法一可知 $T(x,y)=x-y$.
当 $T(x,y)=T(y,x)$ 时,$x-y=y-x$,$\therefore x=y$.
$\because T(3m-10,m)=T(m,3m-10)$,
$\therefore 3m-10=m$,$\therefore m=5$.