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12. 新视角 新定义题 式子$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$称为二阶行列式，规定它的运算法则为$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，则二阶行列式$\begin{vmatrix} a^2 - a & 1 \\ a & \dfrac{1}{a^2 -1} \end{vmatrix}=$ ______ 。
答案
12.$-\frac{a^2}{a+1}$
三、解答题（共48分）
13.（12分）母题 教材P155习题T3 计算：
(1) $\frac{(x+3)^2}{x+2} ÷ \frac{x^2+3x}{x+2} - \frac{3}{x}$；
(2) $\frac{a^2 - b^2}{a} ÷ (a + \frac{b^2 - 2ab}{a})$；
(3) $(\frac{1}{a+3} + \frac{1}{a^2 -9}) ÷ \frac{a-2}{2a+6}$。
13.（12分）母题 教材P155习题T3 计算：
(1) $\frac{(x+3)^2}{x+2} ÷ \frac{x^2+3x}{x+2} - \frac{3}{x}$；
(2) $\frac{a^2 - b^2}{a} ÷ (a + \frac{b^2 - 2ab}{a})$；
(3) $(\frac{1}{a+3} + \frac{1}{a^2 -9}) ÷ \frac{a-2}{2a+6}$。
答案
13.【解】(1)原式$=\frac{(x+3)^2}{x+2}·\frac{x+2}{x(x+3)}-\frac{3}{x}=\frac{x+3}{x}-\frac{3}{x}=\frac{x+3-3}{x}=1.$
(2)原式$=\frac{a^2-b^2}{a}÷(\frac{a^2}{a}+\frac{b^2-2ab}{a})$
$=\frac{a^2-b^2}{a}÷\frac{a^2-2ab+b^2}{a}=\frac{(a+b)(a-b)}{a}·\frac{a}{(a-b)^2}$
$=\frac{a+b}{a-b}.$
(3)原式$=[\frac{a-3}{(a+3)(a-3)}+\frac{1}{(a+3)(a-3)}]·\frac{2(a+3)}{a-2}$
$=\frac{a-2}{(a+3)(a-3)}·\frac{2(a+3)}{a-2}=\frac{2}{a-3}.$
(2)原式$=\frac{a^2-b^2}{a}÷(\frac{a^2}{a}+\frac{b^2-2ab}{a})$
$=\frac{a^2-b^2}{a}÷\frac{a^2-2ab+b^2}{a}=\frac{(a+b)(a-b)}{a}·\frac{a}{(a-b)^2}$
$=\frac{a+b}{a-b}.$
(3)原式$=[\frac{a-3}{(a+3)(a-3)}+\frac{1}{(a+3)(a-3)}]·\frac{2(a+3)}{a-2}$
$=\frac{a-2}{(a+3)(a-3)}·\frac{2(a+3)}{a-2}=\frac{2}{a-3}.$
14.（12分）新考法·过程辨析法 2025·淄博月考 下面是某同学计算$\frac{a^2}{a-1} - a -1$的解题过程：
解：$\frac{a^2}{a-1} - a -1$
$=\frac{a^2}{a-1} - \frac{(a-1)^2}{a-1}$ ①
$=\frac{a^2 - (a-1)^2}{a-1}$ ②
$=\frac{a^2 - a^2 + a -1}{a-1}$ ③
$=\frac{a-1}{a-1}=1.$ ④
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程。
解：$\frac{a^2}{a-1} - a -1$
$=\frac{a^2}{a-1} - \frac{(a-1)^2}{a-1}$ ①
$=\frac{a^2 - (a-1)^2}{a-1}$ ②
$=\frac{a^2 - a^2 + a -1}{a-1}$ ③
$=\frac{a-1}{a-1}=1.$ ④
上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程。
答案
14.【解】上述解题过程从第①步开始出现错误.
正确的解题过程如下：
$\frac{a^2}{a-1}-a-1=\frac{a^2}{a-1}-(a+1)=\frac{a^2}{a-1}-\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}=\frac{a^2-(a^2-1)}{a-1}=\frac{a^2-a^2+1}{a-1}=\frac{1}{a-1}.$
正确的解题过程如下：
$\frac{a^2}{a-1}-a-1=\frac{a^2}{a-1}-(a+1)=\frac{a^2}{a-1}-\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}=\frac{a^2-(a^2-1)}{a-1}=\frac{a^2-a^2+1}{a-1}=\frac{1}{a-1}.$
15. (12分)先化简后求值：$\frac{a-1}{a+2} · \frac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} ÷ \frac{1}{a^2 -1}$，其中$a$满足$a^2 -a -2026=0$。
答案
15.【解】$\frac{a-1}{a+2}·\frac{a^2-4}{a^2-2a+1}÷\frac{1}{a^2-1}=\frac{a-1}{a+2}·\frac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2}·(a+1)(a-1)=(a-2)(a+1)=a^2-2a+a-2=a^2-a-2.$
$\because a^2-a-2026=0,\therefore a^2-a=2026,$
$\therefore 原式=2026-2=2024.$
$\because a^2-a-2026=0,\therefore a^2-a=2026,$
$\therefore 原式=2026-2=2024.$
16.（12分）新考法 从特殊到一般的思想（1）观察下列各式：
$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，$\frac{1}{30}=\frac{1}{5×6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$，….由此可推导出$\frac{1}{42}=$
（2）请猜想出能表示（1）的特点的一般规律，用含字母$m$（$m$表示整数）的等式表示出来；
（3）请直接用（2）中的规律计算：$\frac{1}{(x-2)(x-3)}-\frac{2}{(x-1)(x-3)}+\frac{1}{(x-1)(x-2)}$.
$\frac{1}{6}=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{12}=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，$\frac{1}{20}=\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$，$\frac{1}{30}=\frac{1}{5×6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$，….由此可推导出$\frac{1}{42}=$
$\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$
；（2）请猜想出能表示（1）的特点的一般规律，用含字母$m$（$m$表示整数）的等式表示出来；
（3）请直接用（2）中的规律计算：$\frac{1}{(x-2)(x-3)}-\frac{2}{(x-1)(x-3)}+\frac{1}{(x-1)(x-2)}$.
答案
16.【解】(1)$\frac{1}{6}-\frac{1}{7}$
(2)$\frac{1}{m(m+1)}=\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}.$
(3)原式$=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}-2×\frac{1}{2}×(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1})+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}=0.$
(2)$\frac{1}{m(m+1)}=\frac{1}{m}-\frac{1}{m+1}.$
(3)原式$=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}-2×\frac{1}{2}×(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-1})+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}=\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-3}+\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x-1}=0.$
