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1[2026浙江杭州期末,中]甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品.端午节期间两家商场都让利酬宾,在两家商场的实付金额$y_甲,y_乙$(单位:元)与优惠前总金额$x$(单位:元)之间的关系如图所示,张阿姨计划在其中一家商场购买一件原价为620元的商品,从省钱的角度你建议选择 (
A.甲商场
B.乙商场
C.甲、乙商场均可
D.不确定
（第1题图）
（第2题图）
B
)A.甲商场
B.乙商场
C.甲、乙商场均可
D.不确定
（第1题图）
（第2题图）
答案
根据题意可设$y_甲=kx(k≠0)$. 将(1 200,960)代入，得960=1 200k，解得k=0.8，所以$y_甲=0.8x$. 当0＜x＜200时，设$y_乙=ax(a≠0)$. 将(200,200)代入，得200=200a，解得a=1，所以此时$y_乙=x$. 当x≥200时，设$y_乙=mx+n(m≠0)$. 将(200,200)，(1 200,900)代入，得$\begin{cases}200=200m+n,\\900=1\ 200m+n,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=0.7,\\n=60,\end{cases}$所以此时$y_乙=0.7x+60$，所以$y_乙=\begin{cases}x(0＜x＜200),\\0.7x+60(x≥ 200).\end{cases}$ 当x=620时，$y_甲=0.8×620=496$，$y_乙=0.7×620+60=494$. 因为496＞494，所以从省钱的角度建议选择乙商场. 故选B.
关键点拨
本题考查一次函数的应用，解题关键是掌握用待定系数法求函数表达式，分段函数图象的解读.
思路分析
利用待定系数法即可求出$y_甲,y_乙$关于x的函数关系式，将x=620分别代入计算即可作出判断.
关键点拨
本题考查一次函数的应用，解题关键是掌握用待定系数法求函数表达式，分段函数图象的解读.
思路分析
利用待定系数法即可求出$y_甲,y_乙$关于x的函数关系式，将x=620分别代入计算即可作出判断.
2[中]某工作室制作工艺品并出售,当工艺品的数量在60个以内时,该工作室制作的工艺品能全部售完.如图所示,线段AB,OC分别表示该工作室每天的制作成本$y_1$(元),收入$y_2$(元)与销售量$x$(个)之间的函数关系.若该工作室某一天既不盈利也不亏损,则这天生产工艺品的个数是
30
.答案
设成本$y_1$与销售量x之间的函数关系式为$y_1=k_1x+b_1$. 将点(0,240)，(60,480)代入，得$\begin{cases}b_1=240,\\60k_1+b_1=480,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=4,\\b_1=240,\end{cases}$所以$y_1=4x+240$. 设收入$y_2$与销售量x之间的函数关系式为$y_2=k_2x$. 将点(60,720)代入，得60k_2=720，解得k_2=12，所以$y_2=12x$. 当该工作室某一天既不盈利也不亏损时，$y_1=y_2$，所以4x+240=12x，解得x=30. 故答案为30.
3[中]A、B两地在一条笔直的公路上，甲从A地出发前往B地，乙从B地出发前往A地，两人同时出发，甲到达B地后停止，乙继续前进到达A地.如图表示两人之间的距离y(米)与乙出发的时间x(分)间的函数关系，则下列结论中：①A、B两地的距离是1200米；②两人出发4分相遇；③甲的速度是100米/分；④乙出发12分到达A地，正确的有
①②④
.(填序号)答案
因为甲从A地出发前往B地，乙从B地出发前往A地，两人同时出发，图象过点(0,1 200)，所以A、B两地相距1 200米，故①正确；因为函数图象过点(4,0)，所以两人出发4分相遇，故②正确；由图象知，甲出发6分后到达B地，所以甲的速度为1 200÷6=200(米/分)，故③错误；设乙的速度为x米/分，则由图象知(x+200)×4=1 200，解得x=100，所以乙出发到达A地的时间为1 200÷100=12(分)，故④正确. 故答案为①②④.
4[中]如图(1),在正方形ABCD的边BC上有一点E,连结AE.点P从正方形的顶点A出发,沿A→D→C的方向以1 cm/s的速度匀速运动到点C.图(2)是点P运动时,△APE的面积y(cm²)随时间x(s)变化的函数图象,当x=7时,y的值为
$\dfrac{13}{2}$
.答案
设正方形ABCD的边长为a cm. 由题图可知，当点P运动到点D时，$y=\dfrac{1}{2}AB×AD=\dfrac{1}{2}×a×a=8$，解得a=4. 由函数图象可知，当点P运动到点C时，$y=\dfrac{1}{2}EP×AB=\dfrac{1}{2}×EP×4=6$，解得EP=3，即EC=3，所以BE=1，所以当x=7时的情形如图所示，此时PC=8-7=1，PD=7-4=3，所以$y=S_{正方形ABCD}-(S_{△ ABE}+S_{△ ECP}+S_{△ APD})=4×4-\dfrac{1}{2}(4×1+1×3+4×3)=\dfrac{13}{2}$. 故答案为$\dfrac{13}{2}$.
思路分析
根据函数图象最高点的纵坐标为8，得△APE的最大面积为8，此时P，D两点重合，$\dfrac{1}{2}AD·AB=8$，即可求出正方形ABCD的边长，知道点P到终点时，△APE的面积是6，此时P，C两点重合，$\dfrac{1}{2}EP·AB=6$，得EC=3，根据图象分析当x=7时，点P在CD上，且PD=3，再求△APE的面积即可.
5[中]李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快. 在一段时间内，水温$y(°C)$与加热时间$x(s)$之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：
(1)加热前水温是
(2)求乙壶中水温$y$关于加热时间$x$的函数表达式(不用写$x$的取值范围).
(3)当甲壶中水温刚达到$80°C$时，乙壶中水温是
6[2025浙江台州期末,中]已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1 200吨，现要把这些物资全部运往A,B两地，A地需要物资1 300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A,B两地的运费单价如下表：
(1)设甲仓库运往A地$x$吨物资，直接写出总运费$y$(元)关于$x$(吨)的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围)；
(2)当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最少？总运费最少是多少？
(3)若甲仓库运往A地的运费下降了$a$元/吨后($2≤ a≤6$且$a$为常数)，最少的总运费为23 100元，求$a$的值.
(1)加热前水温是
20
$°C$.(2)求乙壶中水温$y$关于加热时间$x$的函数表达式(不用写$x$的取值范围).
(3)当甲壶中水温刚达到$80°C$时，乙壶中水温是
65
$°C$.6[2025浙江台州期末,中]已知甲、乙两个仓库分别有物资800吨和1 200吨，现要把这些物资全部运往A,B两地，A地需要物资1 300吨，B地需要物资700吨，从甲、乙两仓库把物资运往A,B两地的运费单价如下表：
(1)设甲仓库运往A地$x$吨物资，直接写出总运费$y$(元)关于$x$(吨)的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围)；
(2)当甲仓库运往A地多少吨物资时，总运费最少？总运费最少是多少？
(3)若甲仓库运往A地的运费下降了$a$元/吨后($2≤ a≤6$且$a$为常数)，最少的总运费为23 100元，求$a$的值.
答案
5.
(1)由函数图象可知，当x=0时，y=20，则加热前水温是20 ℃，故答案为20.
(2)因为甲壶比乙壶加热速度快，所以乙壶对应的函数图象经过点(0,20)，(160,80).
设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为y=kx+b(k≠0).
将(0,20)，(160,80)代入，得$\begin{cases}160k+b=80,\\b=20,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\dfrac{3}{8},\\b=20,\end{cases}$则乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为$y=\dfrac{3}{8}x+20$.
(3)设甲壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为y=mx+n(m≠0).
将(0,20)，(80,60)代入，得$\begin{cases}80m+n=60,\\n=20,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\dfrac{1}{2},\\n=20,\end{cases}$则甲壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}x+20$.
当y=80时，$\dfrac{1}{2}x+20=80$，解得x=120.
将x=120代入$y=\dfrac{3}{8}x+20$，得$y=\dfrac{3}{8}×120+20=65$，故当甲壶中水温刚达到80 ℃时，乙壶中水温是65 ℃. 故答案为65.
思路分析
(3)先利用待定系数法求出甲壶中水温y关于加热时间x的函数表达式，再求出y=80时，x的值，然后将x的值代入乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式中求出y值即可.
6.
(1)y=5x+23 200. 若甲仓库运往A地物资x吨，则甲仓库运往B地物资(800-x)吨，乙仓库运往A地物资(1 300-x)吨，乙仓库运往B地物资(x-100)吨.
根据题意，得y=12x+15(800-x)+10(1 300-x)+18(x-100)=5x+23 200，
故总运费y(元)关于x(吨)的函数表达式为y=5x+23 200.
(2)由题意知，$\begin{cases}x≥ 0,\\800-x≥ 0,\\1\ 300-x≥ 0,\\x-100≥ 0,\end{cases}$则100≤x≤800.
因为k=5＞0，所以y随x的增大而增大，所以当x=100时，y取最小值，最小值为5×100+23 200=23 700.
答：甲仓库运往A地100吨物资时，总运费最少，总运费最少是23 700元.
(3)设甲仓库运往A地的运费下降了a元/吨后，总运费为w元，则w=5x+23 200-ax=(5-a)x+23 200.
①当5-a＞0，即2≤a＜5时，w随x的减小而减小，所以当x=100时，w最小，所以w=100(5-a)+23 200=23 100，所以a=6(不符合题意，舍去).
②当5-a=0，即a=5时，w=23 200≠23 100，不符合题意，舍去.
③当5-a＜0，即5＜a≤6时，w随x的增大而减小，所以当x=800时，w最小，所以w=800(5-a)+23 200=23 100，解得a=5.125.
综上，a=5.125.
(1)由函数图象可知，当x=0时，y=20，则加热前水温是20 ℃，故答案为20.
(2)因为甲壶比乙壶加热速度快，所以乙壶对应的函数图象经过点(0,20)，(160,80).
设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为y=kx+b(k≠0).
将(0,20)，(160,80)代入，得$\begin{cases}160k+b=80,\\b=20,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\dfrac{3}{8},\\b=20,\end{cases}$则乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为$y=\dfrac{3}{8}x+20$.
(3)设甲壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为y=mx+n(m≠0).
将(0,20)，(80,60)代入，得$\begin{cases}80m+n=60,\\n=20,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=\dfrac{1}{2},\\n=20,\end{cases}$则甲壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为$y=\dfrac{1}{2}x+20$.
当y=80时，$\dfrac{1}{2}x+20=80$，解得x=120.
将x=120代入$y=\dfrac{3}{8}x+20$，得$y=\dfrac{3}{8}×120+20=65$，故当甲壶中水温刚达到80 ℃时，乙壶中水温是65 ℃. 故答案为65.
思路分析
(3)先利用待定系数法求出甲壶中水温y关于加热时间x的函数表达式，再求出y=80时，x的值，然后将x的值代入乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式中求出y值即可.
6.
(1)y=5x+23 200. 若甲仓库运往A地物资x吨，则甲仓库运往B地物资(800-x)吨，乙仓库运往A地物资(1 300-x)吨，乙仓库运往B地物资(x-100)吨.
根据题意，得y=12x+15(800-x)+10(1 300-x)+18(x-100)=5x+23 200，
故总运费y(元)关于x(吨)的函数表达式为y=5x+23 200.
(2)由题意知，$\begin{cases}x≥ 0,\\800-x≥ 0,\\1\ 300-x≥ 0,\\x-100≥ 0,\end{cases}$则100≤x≤800.
因为k=5＞0，所以y随x的增大而增大，所以当x=100时，y取最小值，最小值为5×100+23 200=23 700.
答：甲仓库运往A地100吨物资时，总运费最少，总运费最少是23 700元.
(3)设甲仓库运往A地的运费下降了a元/吨后，总运费为w元，则w=5x+23 200-ax=(5-a)x+23 200.
①当5-a＞0，即2≤a＜5时，w随x的减小而减小，所以当x=100时，w最小，所以w=100(5-a)+23 200=23 100，所以a=6(不符合题意，舍去).
②当5-a=0，即a=5时，w=23 200≠23 100，不符合题意，舍去.
③当5-a＜0，即5＜a≤6时，w随x的增大而减小，所以当x=800时，w最小，所以w=800(5-a)+23 200=23 100，解得a=5.125.
综上，a=5.125.
