1[较难]如图，正方形ABCD的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在A处，乙在C处，它们沿着正方形轨道按顺时针方向同时出发，甲的速度为每秒1 cm，乙的速度为每秒5 cm，已知正方形轨道ABCD的边长为2 cm，则乙在第2023次追上甲时的位置在（）

A.AB上
B.BC上
C.CD上
D.AD上

1.C 【解析】设乙走 x 秒第 1 次追上甲. 根据题意,得 5x-x=4,解得 x=1,所以乙走 1 秒第 1 次追上甲,则乙在第 1 次追上甲时的位置在 AB 上. 设乙再走 y 秒第 2 次追上甲. 根据题意,得 5y-y=8,解得 y=2,所以乙再走 2 秒第 2 次追上甲,则乙在第 2 次追上甲时的位置在 BC 上. 易得乙再走 2 秒第 3 次追上甲,则乙在第 3 次追上甲时的位置在 CD 上. 乙再走 2 秒第 4 次追上甲,则乙在第 4 次追上甲时的位置在 DA 上. 乙再走 2 秒第 5 次追上甲,则乙在第 5 次追上甲时的位置又回到 AB 上. 故每 4 次为一个循环. 因为 2 023÷4=505……3,所以乙在第 2 023 次追上甲时的位置与第 3 次追上甲时的位置相同,在 CD 上. 故选 C.

2[2025浙江宁波质检,中]如图,一个直径为6 cm的圆中阴影部分面积为S,现在这个圆与正方形在同一平面内,沿同一条直线同时相向无滚动滑动.圆每秒滑动3 cm,正方形每秒滑动2 cm,第秒时,圆与正方形重叠部分面积是S.

2.4或6 【解析】设第 t 秒时,圆与正方形重叠部分面积为 S. 当圆与正方形刚接触重叠时,如图(1),根据题意,得 2t+3t+2=22,解得 t=4;
当圆与正方形将要分开重叠时,如图(2),根据题意,得 2t+3t-(6+2)=22,解得 t=6.
综上,第 4 或 6 秒时,圆与正方形重叠部分面积为 S. 故答案为 4 或 6.
关键点拨
注意分圆与正方形刚接触重叠和圆与正方形将要分开重叠两种情况讨论,分别求解即可.

3[中]劳动课上杨老师带领七(1)班50名学生制作圆柱形小鼓,其中男生人数比女生人数少6人,并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面.
(1)男生有人,女生有人.
(2)①老师组织全班学生制作小鼓,要求一个鼓身配两个鼓面,为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套,应该分配多少名学生制作鼓身?多少名学生剪鼓面?
②若想每小时制作90个小鼓,且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套,应再加入多少名学生?
刷素养 走向重高

3.【解】(1)设男生有 x 人,则女生有(50-x)人. 由题意得 x+6=50-x,解得 x=22,所以 50-x=28,即男生有 22 人,女生有 28 人,故答案为 22,28.
(2)①设分配 y 名学生制作鼓身,则(50-y)名学生剪鼓面. 由题意,得 2×2y=6(50-y),解得 y=30,则 50-y=20.
答:应分配 30 名学生制作鼓身,20 名学生剪鼓面.
②由①知分配 30 名学生制作鼓身,20 名学生剪鼓面,则 1 小时可制作小鼓 30×2=60(个),还需制作 90-60=30(个)小鼓,所以应再加入 $(30÷2)+(30×2÷6)=25$(名)学生.
思路分析
(1)设男生有 x 人,则女生有(50-x)人,根据男生人数比女生人数少6人,列一元一次方程求解即可.

4 思想方法分类讨论[2026浙江温州期末,较难]如图,数轴上,点O为原点,点A表示的数为-11,点B表示的数为-1,点C表示的数为9,点D表示的数为17,在点B和点C处各折一下,得到一条“折线数轴”,我们称点A和点D在数轴上相距28个长度单位,动点P从点A出发,沿着“折线数轴”的正方向运动,同时,动点Q从点D出发,沿着“折线数轴”的负方向运动,它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同,均为2个单位/秒,“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半,“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍.设运动的时间为t秒.
(1)动点P从点A运动至点D需要时间为秒;
(2)P,Q两点到原点O的距离相同时,求出动点P在数轴上表示的数;
(3)Q点到达终点A后,立即调头加速去追P,追的过程中,点Q在“水平路线”和“上坡路段”的速度均提高了1个单位/秒,当点Q追上点P时,求出它们在数轴上表示的数.

4.【解】(1)由题意可知,AB=-1-(-11)=10,BO=1,OC=9,BC=9-(-1)=10,CD=17-9=8,所以 10÷2=5(秒),10÷1=10(秒),8÷2=4(秒),所以 5+10+4=19(秒),所以动点 P 从点 A 运动至点 D 需要 19 秒. 故答案为 19.
(2)由题意可知,点 P 从点 A 到点 B 需要 5 秒,点 Q 从点 D 到点 C 需要 4 秒,点 Q 从点 C 到点 B 需要 $\frac{5}{2}$秒,点 P 在“上坡路段”的速度为 1 个单位/秒,点 Q 在“下坡路段”的速度为 4 个单位/秒.
当P,Q两点重合时,P,Q两点到原点O的距离相同,则 $t-5+4(t-4)=10$,解得 $t=\frac{31}{5}$,符合题意,所以此时点 P 在数轴上表示的数为 $-1+(\frac{31}{5}-5)=\frac{1}{5}$;
当点 P,Q 重合后在原点 O 的两侧,且 P,Q 两点到原点 O 的距离相同时,$4(t-4)-9=t-5-1$,解得 $t=\frac{19}{3}$,符合题意,所以此时点 P 在数轴上表示的数是 $-1+(\frac{19}{3}-5)=\frac{1}{3}$.
综上所述,动点 P 在数轴上表示的数为 $\frac{1}{5}$或$\frac{1}{3}$.
(3)因为 $4+\frac{5}{2}+5=\frac{23}{2}$(秒),所以点 Q 到点 A 需要 $\frac{23}{2}$秒. 由题意可知,点 Q 调头后在“水平路线”上的速度为 3 个单位/秒,在“上坡路段”上的速度为 2 个单位/秒. 因为 $10÷3=\frac{10}{3}$(秒),$10÷2=5$(秒),所以点 Q 调头加速后从点 A 到点 B 需要 $\frac{10}{3}$秒,从点 B 到点 C 需要 5 秒,所以 $\frac{23}{2}+\frac{10}{3}+5=\frac{119}{6}$(秒),即点 Q 从出发到第二次返回点 C 共需要 $\frac{119}{6}$秒,所以易知点 Q 是在射线 CD 上追上点 P. 当点 Q 追上点 P 时,$3(t-\frac{119}{6})=2(t-15)$,解得 $t=\frac{59}{2}$,所以 $9+2×(\frac{59}{2}-15)=38$,所以它们在数轴上表示的数是 38.