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5. 观察下图,找出小正方体个数与露在外面的面数之间的变化规律。
(1)第n个图形中有m个正方体,用含n的式子表示m是(
(2)分别用含n或m的式子表示第n个图形中露在外面的面的数量。
(1)第n个图形中有m个正方体,用含n的式子表示m是(
m=2n
)。(2)分别用含n或m的式子表示第n个图形中露在外面的面的数量。
答案
5. (1)$m=2n$
(2)第$n$个图形中露在外面的面的数量是$6n+2$或$3m+2$
(2)第$n$个图形中露在外面的面的数量是$6n+2$或$3m+2$
6. 归纳法 比一比，填一填。
【探究】在○里填上“＞”“＜”或“=”。
$1×3 ◯ 2^2 -1$
$2×4 ◯ 3^2 -1$
$3×5 ◯ 4^2 -1$
$4×6 ◯ 5^2 -1$
【发现】用含$n$的式子表示出你的发现。
【应用】计算：$999999×1000001$。
【探究】在○里填上“＞”“＜”或“=”。
$1×3 ◯ 2^2 -1$
$2×4 ◯ 3^2 -1$
$3×5 ◯ 4^2 -1$
$4×6 ◯ 5^2 -1$
【发现】用含$n$的式子表示出你的发现。
【应用】计算：$999999×1000001$。
答案
6. = = = = $n(n+2)=(n+1)^2-1$(合理即可)
$999999×1000001 = (999999+1)^2-1 = 1000000^2-1 = 999999999999$
$999999×1000001 = (999999+1)^2-1 = 1000000^2-1 = 999999999999$
7. 淘气在信息技术课上编制了一个计算小程序，输入一个数后，小程序通过计算会输出另一个数(如右图)。
(1)输入6,会输出数(
(2)输入数(
(3)用a表示输入的数,用b表示输出的数,把运算规律表示出来。
(1)输入6,会输出数(
17
)。(2)输入数(
12
),会输出数35。(3)用a表示输入的数,用b表示输出的数,把运算规律表示出来。
答案
7. (1)17 (2)12 (3)$b=3a-1$
8. (1)1,3,6,10,15……这些数叫作三角形数,因为这些数目的点可以排成一个等边三角形(如图)。
按照这样的规律,第10个三角形数是(
(2)黑、白棋子按一层白、一层黑排成等边三角形的形状,如图。
当一个等边三角形中黑棋子比白棋子多m颗时,这个等边三角形一共排了(
按照这样的规律,第10个三角形数是(
55
),第n个三角形数是((1+n)n÷2
)。(2)黑、白棋子按一层白、一层黑排成等边三角形的形状,如图。
当一个等边三角形中黑棋子比白棋子多m颗时,这个等边三角形一共排了(
2m
)层。答案
8. (1)55 $(1+n)n÷2$
提示:本题考查找规律,从题图中可知,每个三角形数都是由三角形中每条线段上的点数相加得到的。比如第1个三角形数是1,第2个三角形数是1+2=3,第3个三角形数是1+2+3=6,第4个三角形数是1+2+3+4=10,则第10个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)×10÷2=55,第n个三角形数是1+2+3+4+…+n=(1+n)n÷2。
(2)$2m$
提示:通过观察发现,层数为偶数时,黑棋子比白棋子多,排2层时,黑棋子比白棋子多1颗,排4层时黑棋子比白棋子多2颗,排6层时黑棋子比白棋子多3颗……由此可知,排的层数是黑棋子比白棋子多的颗数的2倍,所以当黑棋子比白棋子多m颗时,一共排了2m层。
提示:本题考查找规律,从题图中可知,每个三角形数都是由三角形中每条线段上的点数相加得到的。比如第1个三角形数是1,第2个三角形数是1+2=3,第3个三角形数是1+2+3=6,第4个三角形数是1+2+3+4=10,则第10个三角形数是1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)×10÷2=55,第n个三角形数是1+2+3+4+…+n=(1+n)n÷2。
(2)$2m$
提示:通过观察发现,层数为偶数时,黑棋子比白棋子多,排2层时,黑棋子比白棋子多1颗,排4层时黑棋子比白棋子多2颗,排6层时黑棋子比白棋子多3颗……由此可知,排的层数是黑棋子比白棋子多的颗数的2倍,所以当黑棋子比白棋子多m颗时,一共排了2m层。
9. 观察下列长方形叠放的规律。
(2x+2y)(
(
(1)用含有字母的式子表示各个图形的周长。
(2)按照这样的方法叠放,第100个图形的周长是(
(2x+2y)(
4x+4y
) (6x+6y
) (8x+8y
)(1)用含有字母的式子表示各个图形的周长。
(2)按照这样的方法叠放,第100个图形的周长是(
200x+200y
)。答案
9. (1)$4x+4y$ $6x+6y$ $8x+8y$
(2)$200x+200y$
提示:由题图可知,第1个图形的周长是$(2x+2y)$;根据平移法可知,第2个图形的周长与长为2y、宽为2x的长方形周长相等,所以第2个图形的周长是$2(2x+2y)=4x+4y$;同理,第3个图形的周长是$2(3x+3y)=6x+6y$,第4个图形的周长是$2(4x+4y)=8x+8y$……按照这样的方法叠放,第100个图形的周长是$2(100x+100y)=200x+200y$。
(2)$200x+200y$
提示:由题图可知,第1个图形的周长是$(2x+2y)$;根据平移法可知,第2个图形的周长与长为2y、宽为2x的长方形周长相等,所以第2个图形的周长是$2(2x+2y)=4x+4y$;同理,第3个图形的周长是$2(3x+3y)=6x+6y$,第4个图形的周长是$2(4x+4y)=8x+8y$……按照这样的方法叠放,第100个图形的周长是$2(100x+100y)=200x+200y$。
10. 已知$a_n$表示$n^2$的个位数字，如$1^2 = 1$，则$a_1 = 1;2^2 = 4$，则$a_2 = 4;15^2 = 225$，则$a_{15} = 5······$
（1）$a_{2026} = (\quad)$。
（2）求$a_1+a_2+a_3+a_4+···+a_{2025}+a_{2026}$的值。
（1）$a_{2026} = (\quad)$。
（2）求$a_1+a_2+a_3+a_4+···+a_{2025}+a_{2026}$的值。
答案
10. (1)6
提示:根据题意,$a_{2026}=2026^2$,其个位数字与$6×6=36$的个位数字相同,即6。
(2)$1+4+9+6+5+6+9+4+1+0=45$
$2026÷10=202(组)……6(个)$
$1+4+9+6+5+6=31$
$45×202+31=9121$
答:该式的值是9121。
提示:每10个数为一组,每组数的个位数字分别是1、4、9、6、5、6、9、4、1、0,和是$1+4+9+6+5+6+9+4+1+0=45$。2026里有这样的202组,还剩6个数,这6个数对应的$a_n$的值的和是$1+4+9+6+5+6=31$,所以这个式子的值是$45×202+31=9121$。
提示:根据题意,$a_{2026}=2026^2$,其个位数字与$6×6=36$的个位数字相同,即6。
(2)$1+4+9+6+5+6+9+4+1+0=45$
$2026÷10=202(组)……6(个)$
$1+4+9+6+5+6=31$
$45×202+31=9121$
答:该式的值是9121。
提示:每10个数为一组,每组数的个位数字分别是1、4、9、6、5、6、9、4、1、0,和是$1+4+9+6+5+6+9+4+1+0=45$。2026里有这样的202组,还剩6个数,这6个数对应的$a_n$的值的和是$1+4+9+6+5+6=31$,所以这个式子的值是$45×202+31=9121$。
