5. 如图,在$△ ABC$中,D,E为边AC上的两个点,在边AB,BC上分别作点M,N,使四边形DMNE的周长最小.

【变式题】如图,在四边形ABCD中,$∠ DAB=120°,∠ B=∠ D=90°$,在边BC,CD上分别作点M,N,使$△ AMN$的周长最小,并求此时$∠ AMN+∠ ANM$的度数.

5. 解:如图,分别作点D,E关于AB,BC对称的点D',E',连接D'E',分别交AB,BC于点M,N,连接DM,EN,则DM+MN+EN=D'M+MN+E'N=D'E',此时四边形DMNE的周长最小.
变式题 解:如图,分别作点A关于BC,CD对称的点A',A'',连接A'A'',交BC于点M,交CD于点N,连接AM,AN,则△AMN周长的最小值为A'A''的长.易得∠A'=∠MAA',∠A''=∠NAA''.
∵∠DAB=120°,
∴∠A'+∠A''=180°-∠DAB=60°.
∴∠MAN=∠DAB-(∠MAA'+∠NAA'')=∠DAB-(∠A'+∠A'')=60°.
∴∠AMN+∠ANM=180°-∠MAN=120°.

【分析】
原题思路
四边形DMNE的周长为$DM+MN+NE+DE$，其中DE是AC上的固定线段，长度不变，因此要让周长最小，只需让$DM+MN+NE$最短。我们可以利用轴对称的性质，将折线段转化为直线段：作D关于AB的对称点$D'$、E关于BC的对称点$E'$，此时$DM=D'M$，$EN=E'N$，折线段就转化为$D'M+MN+E'N$，根据“两点之间线段最短”，当$D'、M、N、E'$四点共线时，这段长度最小，交点即为所求的M、N。
变式题思路
$△ AMN$的周长为$AM+MN+AN$，同理利用轴对称转化线段：作A关于BC的对称点$A'$、关于CD的对称点$A''$，则$AM=A'M$，$AN=A''N$，周长转化为$A'M+MN+A''N$，当$A'、M、N、A''$四点共线时周长最短。求角度时，利用轴对称对应角相等、三角形内角和定理即可推导得出结果。
【解析】
原题步骤
1. 四边形DMNE周长$=DM+MN+NE+DE$，DE为定值，故只需最小化$DM+MN+NE$；
2. 作点D关于AB的对称点$D'$，点E关于BC的对称点$E'$，由轴对称性质得$DM=D'M$，$EN=E'N$；
3. 因此$DM+MN+NE=D'M+MN+E'N$，连接$D'E'$，交AB于M、交BC于N，此时$D'M+MN+E'N=D'E'$，为最短长度，对应M、N即为所求。
变式题步骤
1. $△ AMN$周长$=AM+MN+AN$，作点A关于BC的对称点$A'$、关于CD的对称点$A''$，由轴对称性质得$AM=A'M$，$AN=A''N$，周长转化为$A'M+MN+A''N$；
2. 连接$A'A''$，交BC于M、交CD于N，此时周长最小值为$A'A''$的长度；
3. 角度推导：由轴对称得$∠ A'=∠ MAA'$，$∠ A''=∠ NAA''$；在$△ AA'A''$中，$∠ A'+∠ A''+∠ DAB=180°$，代入$∠ DAB=120°$，得$∠ A'+∠ A''=60°$，即$∠ MAA'+∠ NAA''=60°$；
4. 因此$∠ MAN=∠ DAB-(∠ MAA'+∠ NAA'')=120°-60°=60°$，在$△ AMN$中，$∠ AMN+∠ ANM=180°-∠ MAN=120°$。
【答案】
5. 解:如图,分别作点D,E关于AB,BC对称的点D',E',连接D'E',分别交AB,BC于点M,N,连接DM,EN,则DM+MN+EN=D'M+MN+E'N=D'E',此时四边形DMNE的周长最小.
变式题 解:如图,分别作点A关于BC,CD对称的点A',A'',连接A'A'',交BC于点M,交CD于点N,连接AM,AN,则△AMN周长的最小值为A'A''的长.易得∠A'=∠MAA',∠A''=∠NAA''.
∵∠DAB=120°,
∴∠A'+∠A''=180°-∠DAB=60°.
∴∠MAN=∠DAB-(∠MAA'+∠NAA'')=∠DAB-(∠A'+∠A'')=60°.
∴∠AMN+∠ANM=180°-∠MAN=120°.
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；三角形内角和定理
【点评】
两道题均为最短路径的典型应用，核心解题思路是利用轴对称将折线段转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解最短路径。变式题在最短路径的基础上增加了角度计算，需要熟练掌握轴对称的边角性质，灵活运用三角形内角和公式推导角度关系。
【难度系数】
0.65

6. 请阅读以下材料：
如图①，A，B两村之间有一条河宽处处相等的河，河宽为$a$.现要在河上造一座桥（桥必须与河岸垂直），使A，B两村之间的路程最短，试画出造桥位置.对于此题，我们可以这样解决：把点A向下平移到点$A'$，使$AA'=a$，连接$A'B$，交$l_2$于点C，过点C作$CD ⊥ l_1$于点D，则CD就是造桥位置.
请仿照以上材料，解答下列问题：
如图②，A，B两村之间有两条河宽处处相等的河，一条河宽为$a$，另一条河宽为$b$，两条河间的距离也处处相等.现欲在两条河上各造一座桥（桥必须与河岸垂直），使A，B两村之间的路程最短，试画出造桥的位置.

【变式题】如图，某条护城河在$CC'$处直角转弯，河宽为$m$且处处相等，从A处到达B处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河岸垂直），恰好使从A处到B处的路程最短.护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，请确定两座桥的位置.

解:如图,把点A向下平移到点A',使AA'=a,再把点A'向下平移到点A'',使A'A''=b,连接A''B,交l₄于点F,过点F作FE⊥l₃于点E,连接A'E,交l₂于点N,过点N作NM⊥l₁于点M,则MN,EF即为造桥的位置.
变式题 解:如图,作AA'⊥CM,作BB'⊥CN,且AA'=BB'=m,连接A'B',交两河岸于点D,E,作DD'⊥CM于点D',作EE'⊥CN于点E',则DD'和EE'即为两座桥的位置.

【分析】
单河造桥最短路径的核心解法是：桥的长度固定且与河岸垂直，可通过平移点消去固定桥长，将问题转化为两点之间线段最短的基础问题。对于两条平行河的问题，只需两次平移即可：第一次将点A沿垂直第一条河河岸方向平移距离a（第一条河宽），消去第一座桥的固定长度；第二次将平移后的点沿垂直第二条河河岸方向平移距离b（第二条河宽），消去第二座桥的固定长度，连接第二次平移后的点与B点，再反向推导桥的位置即可。对于直角转弯的护城河变式题，两条河分别为东西、南北走向，分别将A沿垂直第一条河方向平移河宽m、B沿垂直第二条河方向平移河宽m，连接两个平移后的点，交点处造桥即可得到最短路径。
【解析】
原题（两条平行河）解题步骤：
1. 将点A沿垂直$l_1、l_2$的方向向下平移，使$AA'=a$（与第一条河宽相等）；
2. 将点$A'$沿垂直$l_3、l_4$的方向向下平移，使$A'A''=b$（与第二条河宽相等）；
3. 连接$A''B$，与$l_4$交于点F；
4. 过F作$FE⊥ l_3$，垂足为E，EF即为第二条河上的桥；
5. 连接$A'E$，与$l_2$交于点N；
6. 过N作$NM⊥ l_1$，垂足为M，MN即为第一条河上的桥。
此时路径$A→M→N→E→F→B$为最短路径。
变式题（直角转弯护城河）解题步骤：
1. 过A作$AA'⊥ CM$，使$AA'=m$（与河宽相等）；
2. 过B作$BB'⊥ CN$，使$BB'=m$（与河宽相等）；
3. 连接$A'B'$，与两条河的内侧河岸分别交于D、E两点；
4. 过D作$DD'⊥ CM$，垂足为$D'$，$DD'$为东西走向河上的桥；过E作$EE'⊥ CN$，垂足为$E'$，$EE'$为南北走向河上的桥。
此时路径$A→D'→D→E→E'→B$为最短路径。
【答案】
解:如图,把点A向下平移到点A',使AA'=a,再把点A'向下平移到点A'',使A'A''=b,连接A''B,交l₄于点F,过点F作FE⊥l₃于点E,连接A'E,交l₂于点N,过点N作NM⊥l₁于点M,则MN,EF即为造桥的位置.
变式题 解:如图,作AA'⊥CM,作BB'⊥CN,且AA'=BB'=m,连接A'B',交两河岸于点D,E,作DD'⊥CM于点D',作EE'⊥CN于点E',则DD'和EE'即为两座桥的位置.
【知识点】
最短路径问题、平移的性质、两点之间线段最短
【点评】
本题是造桥选点类最短路径问题的拓展，核心是利用平移消去固定的桥长，将折线路径最短问题转化为两点之间线段最短的基础问题，解题时要注意平移的方向必须和桥的方向一致，平移的距离等于对应河的宽度。
【难度系数】
0.65