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引例:【知识回顾】如图,点A,B分别是直线l异侧的两个点,请你在直线l上找到一点P,使点P到点A,B的距离之和最短.
作图:如图,
原理:$AP+BP$的最小值为线段
【变式题】两点在同侧,利用轴对称,将两点转化到异侧
化到异侧
如图,已知点A,B在直线l的同侧,在直线l上求作一点M,使得$AM+BM$的值最小.
作图:如图,
连接AB,与直线l相交于点P
.原理:$AP+BP$的最小值为线段
AB
的长,因为两点之间,线段
最短.【变式题】两点在同侧,利用轴对称,将两点转化到异侧
化到异侧
如图,已知点A,B在直线l的同侧,在直线l上求作一点M,使得$AM+BM$的值最小.
答案
引例 作图：连接AB，与直线l相交于点P
原理：AP+BP的最小值为线段AB的长，因为两点之间，线段最短。
变式题 解:如图,作点A关于直线l对称的点A',连接A'B,交直线l于点M,则点M即为所求作.
解析
【分析】
解决这类最短路径问题核心是利用“两点之间线段最短”的原理：
1. 引例中A、B在直线l异侧，要找l上一点P使AP+BP最短：我们知道两点之间线段最短，若P在线段AB上，AP+BP就等于AB的长度，是最小的，因此只需要找线段AB和直线l的交点，就是所求的P点。如果取l上其他任意一点，都会和A、B构成三角形，根据三角形两边之和大于第三边，此时距离和都会大于AB，因此最小值就是AB的长度。
2. 变式题中A、B在直线l同侧，无法直接通过连接AB得到符合要求的交点，因此我们利用轴对称的性质，作其中一个点关于直线l的对称点，此时直线l上任意一点到原点点和对称点的距离相等，就可以把同侧两点的问题转化为异侧两点的问题，再用引例的方法求解即可。
【解析】
引例部分
作图：因为两点之间线段最短，要使AP+BP最小，需让P在线段AB上且在直线l上，因此连接AB，AB与直线l的交点即为所求点P。
原理：此时AP+BP=AB，因此AP+BP的最小值就是线段AB的长，依据是两点之间线段最短。
变式题部分
作图步骤：
① 作点A关于直线l的对称点A'，根据轴对称性质，对直线l上任意一点都有AM=A'M，因此AM+BM=A'M+BM；
② 此时问题转化为异侧两点A'、B在直线l上找一点M使A'M+BM最小，连接A'B，与直线l的交点即为所求的点M。
【答案】
引例 作图：连接AB，与直线l相交于点P
原理：AP+BP的最小值为线段AB的长，因为两点之间，线段最短。
变式题 解:如图,作点A关于直线l对称的点A',连接A'B,交直线l于点M,则点M即为所求作.
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典基础题型，核心思路是通过轴对称将同侧点的最短路径问题转化为熟悉的异侧点问题，再利用两点之间线段最短求解，掌握该转化思路是解决更复杂最短路径问题的基础。
【难度系数】
0.85
解决这类最短路径问题核心是利用“两点之间线段最短”的原理：
1. 引例中A、B在直线l异侧，要找l上一点P使AP+BP最短：我们知道两点之间线段最短，若P在线段AB上，AP+BP就等于AB的长度，是最小的，因此只需要找线段AB和直线l的交点，就是所求的P点。如果取l上其他任意一点，都会和A、B构成三角形，根据三角形两边之和大于第三边，此时距离和都会大于AB，因此最小值就是AB的长度。
2. 变式题中A、B在直线l同侧，无法直接通过连接AB得到符合要求的交点，因此我们利用轴对称的性质，作其中一个点关于直线l的对称点，此时直线l上任意一点到原点点和对称点的距离相等，就可以把同侧两点的问题转化为异侧两点的问题，再用引例的方法求解即可。
【解析】
引例部分
作图：因为两点之间线段最短，要使AP+BP最小，需让P在线段AB上且在直线l上，因此连接AB，AB与直线l的交点即为所求点P。
原理：此时AP+BP=AB，因此AP+BP的最小值就是线段AB的长，依据是两点之间线段最短。
变式题部分
作图步骤：
① 作点A关于直线l的对称点A'，根据轴对称性质，对直线l上任意一点都有AM=A'M，因此AM+BM=A'M+BM；
② 此时问题转化为异侧两点A'、B在直线l上找一点M使A'M+BM最小，连接A'B，与直线l的交点即为所求的点M。
【答案】
引例 作图：连接AB，与直线l相交于点P
原理：AP+BP的最小值为线段AB的长，因为两点之间，线段最短。
变式题 解:如图,作点A关于直线l对称的点A',连接A'B,交直线l于点M,则点M即为所求作.
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的经典基础题型，核心思路是通过轴对称将同侧点的最短路径问题转化为熟悉的异侧点问题，再利用两点之间线段最短求解，掌握该转化思路是解决更复杂最短路径问题的基础。
【难度系数】
0.85
1. 在平面直角坐标系中,四边形ABCD的位置如图所示.
(1)画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A'B'C'D';
(2)在x轴上作一点P,使得点P到点B,C的距离之和最小.(保留作图痕迹,不写作法)
(1)画出四边形ABCD关于y轴对称的四边形A'B'C'D';
(2)在x轴上作一点P,使得点P到点B,C的距离之和最小.(保留作图痕迹,不写作法)
答案
1. 解:(1)如图,四边形A'B'C'D'即为所求作.(2)如图,点P即为所求作.
解析
【分析】
(1) 要作四边形ABCD关于y轴对称的图形，首先要掌握关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标变为原坐标的相反数。先确定原四边形四个顶点的坐标，计算出对应对称点的坐标后，顺次连接各对称点即可得到所求图形。
(2) 要在x轴上找一点P使PB+PC最小，属于典型的“将军饮马”最短路径问题：利用轴对称的性质，作其中一个点关于x轴的对称点，将两条线段的和转化为两点之间的线段长度，根据两点之间线段最短，连接对称点与另一个点，和x轴的交点即为所求的P点。
【解析】
(1) 首先确定四边形ABCD各顶点坐标：$A(-6,6)$，$B(-6,2)$，$C(-2,2)$，$D(-1,5)$；根据关于y轴对称的点的坐标规律“纵坐标不变，横坐标互为相反数”，可得四个顶点的对称点坐标为$A'(6,6)$，$B'(6,2)$，$C'(2,2)$，$D'(1,5)$，顺次连接$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，即可得到四边形$A'B'C'D'$。
(2) 作点B关于x轴的对称点$B''$，此时$PB=PB''$，因此$PB+PC=PB''+PC$；根据两点之间线段最短，当$B''$、$P$、$C$三点共线时，$PB''+PC$的长度最小，因此连接$B''C$，$B''C$与x轴的交点即为所求的点P。
【答案】
【知识点】
轴对称坐标变换，最短路径问题，坐标系作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，综合考查了平面直角坐标系下的轴对称作图和最短路径模型的应用，解题的关键是熟练掌握轴对称点的坐标变化规律，理解“将军饮马”模型的原理，作图时需按要求保留作图痕迹。
【难度系数】
0.8
(1) 要作四边形ABCD关于y轴对称的图形，首先要掌握关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标变为原坐标的相反数。先确定原四边形四个顶点的坐标，计算出对应对称点的坐标后，顺次连接各对称点即可得到所求图形。
(2) 要在x轴上找一点P使PB+PC最小，属于典型的“将军饮马”最短路径问题：利用轴对称的性质，作其中一个点关于x轴的对称点，将两条线段的和转化为两点之间的线段长度，根据两点之间线段最短，连接对称点与另一个点，和x轴的交点即为所求的P点。
【解析】
(1) 首先确定四边形ABCD各顶点坐标：$A(-6,6)$，$B(-6,2)$，$C(-2,2)$，$D(-1,5)$；根据关于y轴对称的点的坐标规律“纵坐标不变，横坐标互为相反数”，可得四个顶点的对称点坐标为$A'(6,6)$，$B'(6,2)$，$C'(2,2)$，$D'(1,5)$，顺次连接$A'$、$B'$、$C'$、$D'$，即可得到四边形$A'B'C'D'$。
(2) 作点B关于x轴的对称点$B''$，此时$PB=PB''$，因此$PB+PC=PB''+PC$；根据两点之间线段最短，当$B''$、$P$、$C$三点共线时，$PB''+PC$的长度最小，因此连接$B''C$，$B''C$与x轴的交点即为所求的点P。
【答案】
【知识点】
轴对称坐标变换，最短路径问题，坐标系作图
【点评】
本题属于基础作图类题目，综合考查了平面直角坐标系下的轴对称作图和最短路径模型的应用，解题的关键是熟练掌握轴对称点的坐标变化规律，理解“将军饮马”模型的原理，作图时需按要求保留作图痕迹。
【难度系数】
0.8
2.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$E$是$AB$的中点，$P$是边$BC$上的一动点，求作点$P$，使$PA+PE$的值最小。
答案
2. 解:如图,作点A关于直线BC对称的点A₁,连接A₁E,交BC于点P,点P即为所求作.
解析
【分析】
本题属于最短路径中的“将军饮马”类问题，解题思路如下：①明确变量与不变量：动点P在定直线BC上运动，A、E是两个定点，目标是让PA+PE最小；②利用轴对称转化线段：根据轴对称的性质，作点A关于BC的对称点A₁，此时BC上任意一点P到A和A₁的距离相等，即PA=PA₁，因此可将PA+PE转化为PA₁+PE；③依据两点之间线段最短可知，当P在A₁E与BC的交点处时，PA₁+PE的长度最小，等于A₁E的长度，此时PA+PE也最小。
【解析】
1. 作点A关于直线BC的对称点A₁，由轴对称的性质可得，对于BC上任意一点P，均有PA=PA₁，因此PA+PE=PA₁+PE；
2. 连接A₁E，根据“两点之间，线段最短”，当点P落在A₁E与BC的交点处时，PA₁+PE取得最小值，即PA+PE取得最小值，该交点即为所求的点P。
【答案】
2. 解:如图,作点A关于直线BC对称的点A₁,连接A₁E,交BC于点P,点P即为所求作.
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径问题的基础应用，核心解题方法是通过轴对称变换将两条折线段的和转化为两点之间的线段长度，解题的关键是找准定直线，正确作出其中一个定点的对称点，再利用线段最短的性质确定动点位置。
【难度系数】
0.8
本题属于最短路径中的“将军饮马”类问题，解题思路如下：①明确变量与不变量：动点P在定直线BC上运动，A、E是两个定点，目标是让PA+PE最小；②利用轴对称转化线段：根据轴对称的性质，作点A关于BC的对称点A₁，此时BC上任意一点P到A和A₁的距离相等，即PA=PA₁，因此可将PA+PE转化为PA₁+PE；③依据两点之间线段最短可知，当P在A₁E与BC的交点处时，PA₁+PE的长度最小，等于A₁E的长度，此时PA+PE也最小。
【解析】
1. 作点A关于直线BC的对称点A₁，由轴对称的性质可得，对于BC上任意一点P，均有PA=PA₁，因此PA+PE=PA₁+PE；
2. 连接A₁E，根据“两点之间，线段最短”，当点P落在A₁E与BC的交点处时，PA₁+PE取得最小值，即PA+PE取得最小值，该交点即为所求的点P。
【答案】
2. 解:如图,作点A关于直线BC对称的点A₁,连接A₁E,交BC于点P,点P即为所求作.
【知识点】
最短路径问题；轴对称的性质；两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径问题的基础应用，核心解题方法是通过轴对称变换将两条折线段的和转化为两点之间的线段长度，解题的关键是找准定直线，正确作出其中一个定点的对称点，再利用线段最短的性质确定动点位置。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC上的高，E为AC的中点，P为边AD上一动点.若AD=12，求PC+PE的最小值.
答案
3. 解:如图,连接BE,与AD交于点P,此时PE+PC的值最小.因为△ABC是等边三角形,AD⊥BC,所以PC=PB.所以PC+PE=PB+PE≥BE,即BE的长是PC+PE的最小值.因为E是边AC的中点,所以BE⊥AC.所以$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}AC·BE$.因为BC=AC,所以BE=AD=12.所以PC+PE的最小值是12.
解析
【分析】
本题属于轴对称最短路径（将军饮马）问题，解题思路如下：①首先确定对称轴：AD是等边△ABC的高，也是BC的垂直平分线，因此点C关于AD的对称点为点B；②将线段转化：根据垂直平分线的性质，PC=PB，因此求PC+PE的最小值可转化为求PB+PE的最小值；③根据“两点之间线段最短”，可知当B、P、E三点共线时，PB+PE最小，最小值为BE的长度；④结合等边三角形的性质计算BE的长度即可。
【解析】
解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC的值最小。
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，可得PC=PB，
∴PC+PE=PB+PE，根据两点之间线段最短，PB+PE≥BE，即BE的长是PC+PE的最小值。
∵E是边AC的中点，△ABC为等边三角形，由三线合一可知BE⊥AC。
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}AC·BE$，且等边三角形中BC=AC，
∴BE=AD=12。
即PC+PE的最小值为12。
【答案】
PC+PE的最小值是12。
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题将最短路径问题与等边三角形的性质结合考查，解题的核心是利用轴对称将两条折线段的和转化为两点之间的线段长，再结合等边三角形三线合一、面积法的应用求解，是最短路径的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
本题属于轴对称最短路径（将军饮马）问题，解题思路如下：①首先确定对称轴：AD是等边△ABC的高，也是BC的垂直平分线，因此点C关于AD的对称点为点B；②将线段转化：根据垂直平分线的性质，PC=PB，因此求PC+PE的最小值可转化为求PB+PE的最小值；③根据“两点之间线段最短”，可知当B、P、E三点共线时，PB+PE最小，最小值为BE的长度；④结合等边三角形的性质计算BE的长度即可。
【解析】
解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC的值最小。
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，可得PC=PB，
∴PC+PE=PB+PE，根据两点之间线段最短，PB+PE≥BE，即BE的长是PC+PE的最小值。
∵E是边AC的中点，△ABC为等边三角形，由三线合一可知BE⊥AC。
∵$S_{△ABC}=\frac{1}{2}BC·AD=\frac{1}{2}AC·BE$，且等边三角形中BC=AC，
∴BE=AD=12。
即PC+PE的最小值为12。
【答案】
PC+PE的最小值是12。
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题将最短路径问题与等边三角形的性质结合考查，解题的核心是利用轴对称将两条折线段的和转化为两点之间的线段长，再结合等边三角形三线合一、面积法的应用求解，是最短路径的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
4.如图，点P为马厩，AB为草地边缘（下方为草地），CD为一条河流.牧马人欲从马厩牵马先去草地吃草，然后到河边饮水，最后回到马厩.请帮他确定一条最佳行走路线，使所走的路程最短.
答案
4. 解:如图,作法如下:①分别作点P关于直线AB,CD对称的点P',P'';②连接P'P'',分别交AB,CD于点M,N;③连接MP,NP.
∵PM=P'M,NP=P''N,且点P'',N,M,P'在同一条直线上,此时PM+MN+NP取得最小值,
∴最佳行走路线为PM→MN→NP.
解析
【分析】
本题属于“一点两线”型最短路径求解问题，解题核心是利用轴对称的性质将折线路径转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解。首先我们需要将PM、NP两条分散的线段通过轴对称进行等量转化：作P关于AB的对称点P'，则AB上任意一点M到P和P'的距离相等，即PM=P'M；同理作P关于CD的对称点P''，则CD上任意一点N到P和P''的距离相等，即NP=NP''。此时总路程PM+MN+NP就转化为P'M+MN+P''N，要让这个和最短，根据两点之间线段最短，只需让P'、M、N、P''四点共线即可，此时总和等于线段P'P''的长度，为最小值。
【解析】
解：作法如下：
①分别作点P关于直线AB、CD的对称点$P'$、$P''$；
②连接$P'P''$，分别交AB于点M，交CD于点N；
③连接MP、NP。
理由：由轴对称的性质可知，$PM=P'M$，$NP=NP''$，因此总路程$PM+MN+NP = P'M + MN + P''N$。根据两点之间线段最短，当M、N在$P'P''$的连线上时，$P'M + MN + P''N$的最小值等于线段$P'P''$的长度，此时总路程最短。
【答案】
最佳行走路线为$PM \to MN \to NP$（即$P \to M \to N \to P$）。
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，最短路径问题
【点评】
本题是轴对称在实际最短路径问题中的典型应用，解题关键是掌握通过对称变换将折线路径转化为直线段的思路，这类“一点两线”型最短路径的构造方法可迁移到同类场景中使用。
【难度系数】
0.7
本题属于“一点两线”型最短路径求解问题，解题核心是利用轴对称的性质将折线路径转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解。首先我们需要将PM、NP两条分散的线段通过轴对称进行等量转化：作P关于AB的对称点P'，则AB上任意一点M到P和P'的距离相等，即PM=P'M；同理作P关于CD的对称点P''，则CD上任意一点N到P和P''的距离相等，即NP=NP''。此时总路程PM+MN+NP就转化为P'M+MN+P''N，要让这个和最短，根据两点之间线段最短，只需让P'、M、N、P''四点共线即可，此时总和等于线段P'P''的长度，为最小值。
【解析】
解：作法如下：
①分别作点P关于直线AB、CD的对称点$P'$、$P''$；
②连接$P'P''$，分别交AB于点M，交CD于点N；
③连接MP、NP。
理由：由轴对称的性质可知，$PM=P'M$，$NP=NP''$，因此总路程$PM+MN+NP = P'M + MN + P''N$。根据两点之间线段最短，当M、N在$P'P''$的连线上时，$P'M + MN + P''N$的最小值等于线段$P'P''$的长度，此时总路程最短。
【答案】
最佳行走路线为$PM \to MN \to NP$（即$P \to M \to N \to P$）。
【知识点】
轴对称的性质，两点之间线段最短，最短路径问题
【点评】
本题是轴对称在实际最短路径问题中的典型应用，解题关键是掌握通过对称变换将折线路径转化为直线段的思路，这类“一点两线”型最短路径的构造方法可迁移到同类场景中使用。
【难度系数】
0.7
