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三、解答题(共50分)
11.(10分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A,B,C都在格点上,请解答下列问题:
(1)直接写出点B和点C的坐标;
(2)画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'.
11.(10分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A,B,C都在格点上,请解答下列问题:
(1)直接写出点B和点C的坐标;
(2)画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'.
答案
11. 解:(1)$B(1,3),C(5,1)$.(2)如图,$△A'B'C'$即为所求.
解析
【分析】
(1) 要确定平面直角坐标系中点的坐标，先看点在x轴上对应的横坐标，再看在y轴上对应的纵坐标，按横坐标在前、纵坐标在后的格式即可写出对应点坐标；
(2) 要画△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，首先利用“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，分别找到A、B、C三点关于y轴的对称点A'、B'、C'，再顺次连接三个对称点即可得到所求三角形。
【解析】
(1) 观察平面直角坐标系：点B对应x轴的数值为1，对应y轴的数值为3，因此$B(1,3)$；点C对应x轴的数值为5，对应y轴的数值为1，因此$C(5,1)$。
(2) ① 先确定点A的坐标为$(6,6)$，根据关于y轴对称的点的坐标特征，可得三个顶点的对称点坐标：$A'(-6,6)$，$B'(-1,3)$，$C'(-5,1)$；
② 在坐标系中分别描出$A'$、$B'$、$C'$三个点；
③ 顺次连接$A'B'$、$B'C'$、$C'A'$，得到的$△ A'B'C'$即为所求。
【答案】
(1)$B(1,3),C(5,1)$.(2)如图,$△A'B'C'$即为所求.
【知识点】
点的坐标表示、关于y轴对称的点的坐标特征、轴对称作图
【点评】
本题是轴对称相关的基础题型，主要考查坐标系中点的坐标读取和轴对称图形的画法，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标规律是解题的关键，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
(1) 要确定平面直角坐标系中点的坐标，先看点在x轴上对应的横坐标，再看在y轴上对应的纵坐标，按横坐标在前、纵坐标在后的格式即可写出对应点坐标；
(2) 要画△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，首先利用“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，分别找到A、B、C三点关于y轴的对称点A'、B'、C'，再顺次连接三个对称点即可得到所求三角形。
【解析】
(1) 观察平面直角坐标系：点B对应x轴的数值为1，对应y轴的数值为3，因此$B(1,3)$；点C对应x轴的数值为5，对应y轴的数值为1，因此$C(5,1)$。
(2) ① 先确定点A的坐标为$(6,6)$，根据关于y轴对称的点的坐标特征，可得三个顶点的对称点坐标：$A'(-6,6)$，$B'(-1,3)$，$C'(-5,1)$；
② 在坐标系中分别描出$A'$、$B'$、$C'$三个点；
③ 顺次连接$A'B'$、$B'C'$、$C'A'$，得到的$△ A'B'C'$即为所求。
【答案】
(1)$B(1,3),C(5,1)$.(2)如图,$△A'B'C'$即为所求.
【知识点】
点的坐标表示、关于y轴对称的点的坐标特征、轴对称作图
【点评】
本题是轴对称相关的基础题型，主要考查坐标系中点的坐标读取和轴对称图形的画法，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标规律是解题的关键，掌握方法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
12.(12分)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,过BC的中点D作$DE ⊥ AB$,$DF ⊥ AC$,垂足分别为E,F.
(1)求证:$DE=DF$;
(2)若$∠ BDE=55°$,求$∠ BAC$的度数.
(1)求证:$DE=DF$;
(2)若$∠ BDE=55°$,求$∠ BAC$的度数.
答案
12. (1)证明:连接$AD$. $\because D$ 是 $BC$ 的中点,$AB=AC$, $\therefore AD$ 平分$∠ BAC$. $\because DE ⊥ AB, DF ⊥ AC, \therefore DE = DF$. (2)解: $\because DE ⊥ AB, \therefore ∠ BED=90°. \therefore ∠ B=90° - ∠ BDE=35°$. $\because AB=AC, \therefore ∠ C = ∠ B = 35°$. $\therefore ∠ BAC=180° - ∠ B - ∠ C=110°$.
解析
【分析】
(1)要证明DE=DF，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知△ABC是等腰三角形，D是BC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD是∠BAC的角平分线，结合DE、DF分别是点D到AB、AC的垂线段，即可证得结论。
(2)求∠BAC的度数时，先在Rt△BDE中，根据直角三角形两锐角互余，结合∠BDE=55°求出∠B的度数；再根据等腰三角形两底角相等得到∠C=∠B，最后利用三角形内角和为180°，即可计算出∠BAC的度数。
【解析】
(1)证明：连接AD。
∵ D是BC的中点，AB=AC，
∴ AD平分∠BAC。
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF。
(2)解：
∵ DE⊥AB，
∴ ∠BED=90°，
∴ ∠B=90°-∠BDE=90°-55°=35°。
∵ AB=AC，
∴ ∠C=∠B=35°，
∴ ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-35°=110°。
【答案】
(1)DE=DF得证；(2)∠BAC=110°
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，将等腰三角形性质、角平分线性质和三角形内角和结合考查，解题的关键是合理运用等腰三角形三线合一的性质，掌握直角三角形两锐角互余的特点，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1)要证明DE=DF，可利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。已知△ABC是等腰三角形，D是BC中点，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD是∠BAC的角平分线，结合DE、DF分别是点D到AB、AC的垂线段，即可证得结论。
(2)求∠BAC的度数时，先在Rt△BDE中，根据直角三角形两锐角互余，结合∠BDE=55°求出∠B的度数；再根据等腰三角形两底角相等得到∠C=∠B，最后利用三角形内角和为180°，即可计算出∠BAC的度数。
【解析】
(1)证明：连接AD。
∵ D是BC的中点，AB=AC，
∴ AD平分∠BAC。
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF。
(2)解：
∵ DE⊥AB，
∴ ∠BED=90°，
∴ ∠B=90°-∠BDE=90°-55°=35°。
∵ AB=AC，
∴ ∠C=∠B=35°，
∴ ∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-35°=110°。
【答案】
(1)DE=DF得证；(2)∠BAC=110°
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，将等腰三角形性质、角平分线性质和三角形内角和结合考查，解题的关键是合理运用等腰三角形三线合一的性质，掌握直角三角形两锐角互余的特点，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
13.(14分)如图,在$△ ABC$中,$∠ B=75°$,$∠ C=35°$.$AE⊥ BC$于点$E$,$AD$平分$∠ BAC$.
(1)求证:$AD=CD$;
(2)求$∠ DAE$的度数.
(1)求证:$AD=CD$;
(2)求$∠ DAE$的度数.
答案
13. (1)证明: $\because ∠ B=75°, ∠ C=35°, \therefore ∠ BAC=180° - ∠ B - ∠ C=70°$. $\because AD$ 平分$∠ BAC, \therefore ∠ DAC = \frac{1}{2}∠ BAC=35°. \therefore ∠ C = ∠ DAC. \therefore AD=CD$. (2)解: 由(1)知$∠ DAC = ∠ C=35°, \therefore ∠ ADE = ∠ DAC + ∠ C=70°$. $\because AE ⊥ BC, \therefore ∠ AED=90°. \therefore ∠ DAE=90° - ∠ ADE=20°$.
解析
【分析】
(1)要证明AD=CD，根据等腰三角形“等角对等边”的判定规则，只需证明∠DAC和∠C相等即可。首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠B、∠C的度数求出∠BAC的度数，再根据AD是∠BAC的角平分线，算出∠DAC的度数，验证其与∠C相等即可完成证明。
(2)要求∠DAE的度数，已知AE⊥BC可得∠AED=90°，在Rt△AED中两个锐角互余，因此只需先求出∠ADE的度数。∠ADE是△ADC的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，结合(1)的结论可算出∠ADE，再用90°减去∠ADE的度数就能得到∠DAE的度数。
【解析】
(1)证明：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
$\because ∠B=75°, ∠C=35°$，
$\therefore ∠BAC=180° - ∠B - ∠C=180°-75°-35°=70°$。
$\because AD$平分$∠BAC$，
$\therefore ∠DAC = \frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×70°=35°$，
$\therefore ∠DAC = ∠C$，
根据等角对等边，可得$AD=CD$。
(2)解：
由(1)可知$∠DAC = ∠C=35°$，
$\because ∠ADE$是△ADC的外角，根据三角形外角性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，
$\therefore ∠ADE = ∠DAC + ∠C=35°+35°=70°$。
$\because AE ⊥ BC$，
$\therefore ∠AED=90°$，
在Rt△AED中，两个锐角互余，
$\therefore ∠DAE=90° - ∠ADE=90°-70°=20°$。
【答案】
(1)证明见解析，AD=CD成立；
(2)$∠DAE$的度数为$20°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于三角形基础综合题，围绕三角形的角平分线、高的性质，结合等腰三角形判定、角度计算进行考查，解题时只要理清各个角之间的数量关系，熟练运用基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1)要证明AD=CD，根据等腰三角形“等角对等边”的判定规则，只需证明∠DAC和∠C相等即可。首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠B、∠C的度数求出∠BAC的度数，再根据AD是∠BAC的角平分线，算出∠DAC的度数，验证其与∠C相等即可完成证明。
(2)要求∠DAE的度数，已知AE⊥BC可得∠AED=90°，在Rt△AED中两个锐角互余，因此只需先求出∠ADE的度数。∠ADE是△ADC的外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，结合(1)的结论可算出∠ADE，再用90°减去∠ADE的度数就能得到∠DAE的度数。
【解析】
(1)证明：
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，
$\because ∠B=75°, ∠C=35°$，
$\therefore ∠BAC=180° - ∠B - ∠C=180°-75°-35°=70°$。
$\because AD$平分$∠BAC$，
$\therefore ∠DAC = \frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}×70°=35°$，
$\therefore ∠DAC = ∠C$，
根据等角对等边，可得$AD=CD$。
(2)解：
由(1)可知$∠DAC = ∠C=35°$，
$\because ∠ADE$是△ADC的外角，根据三角形外角性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，
$\therefore ∠ADE = ∠DAC + ∠C=35°+35°=70°$。
$\because AE ⊥ BC$，
$\therefore ∠AED=90°$，
在Rt△AED中，两个锐角互余，
$\therefore ∠DAE=90° - ∠ADE=90°-70°=20°$。
【答案】
(1)证明见解析，AD=CD成立；
(2)$∠DAE$的度数为$20°$
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于三角形基础综合题，围绕三角形的角平分线、高的性质，结合等腰三角形判定、角度计算进行考查，解题时只要理清各个角之间的数量关系，熟练运用基础性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
14.(14分)如图，$△ ABC$是等边三角形，$BD⊥ AC$，$AE⊥ BC$，垂足分别为$D$，$E$，$AE$，$BD$相交于点$O$，连接$DE$.
(1)求证：$△ CDE$是等边三角形；
(2)若$OA=12$，求$OE$的长.
(1)求证：$△ CDE$是等边三角形；
(2)若$OA=12$，求$OE$的长.
答案
14. (1)证明: $\because △ ABC$ 是等边三角形,$BD ⊥ AC, AE ⊥ BC, \therefore AC=BC, CD=\frac{1}{2}AC, CE=\frac{1}{2}BC, ∠ C=60°. \therefore CD=CE. \therefore △ CDE$ 是等边三角形. (2)解: $\because △ ABC$ 是等边三角形,$BD ⊥ AC, AE ⊥ BC, \therefore ∠ BAE = ∠ ABD = ∠ DBC=30°. \therefore OB=OA=12, OB=2OE. \therefore OE=6$.
解析
【分析】
(1)要证明△CDE是等边三角形，首先已知△ABC是等边三角形，可得∠C=60°，此时只需证明△CDE为等腰三角形即可。根据等边三角形三线合一的性质，高同时是对应边的中线，可得CD=½AC，CE=½BC，结合等边三角形AC=BC的性质，即可推出CD=CE，进而判定△CDE是等边三角形。
(2)要求OE的长度，首先利用等边三角形三线合一的性质，可知AE、BD分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，可推出∠BAO=∠ABO=30°，得到OB=OA=12；再观察△BEO是直角三角形，∠EBO=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对直角边是斜边的一半，即可得到OE=½OB，从而求出OE的长度。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，
∴AC=BC，CD=$\frac{1}{2}$AC，CE=$\frac{1}{2}$BC，∠C=60°，
∴CD=CE，
∴△CDE是等边三角形。
(2)解：
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BAE=∠ABD=∠DBC=30°，
∴OB=OA=12，
在Rt△BEO中，∠OBE=30°，
∴OB=2OE，
∴OE=6。
【答案】
(1)△CDE是等边三角形，证明成立；(2)OE=6
【知识点】
等边三角形的性质，等边三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形相关的典型习题，综合考查了等边三角形的性质、判定以及特殊直角三角形的性质，解题核心是熟练运用等边三角形“三线合一”的性质推导边、角的数量关系，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△CDE是等边三角形，首先已知△ABC是等边三角形，可得∠C=60°，此时只需证明△CDE为等腰三角形即可。根据等边三角形三线合一的性质，高同时是对应边的中线，可得CD=½AC，CE=½BC，结合等边三角形AC=BC的性质，即可推出CD=CE，进而判定△CDE是等边三角形。
(2)要求OE的长度，首先利用等边三角形三线合一的性质，可知AE、BD分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，可推出∠BAO=∠ABO=30°，得到OB=OA=12；再观察△BEO是直角三角形，∠EBO=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对直角边是斜边的一半，即可得到OE=½OB，从而求出OE的长度。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，
∴AC=BC，CD=$\frac{1}{2}$AC，CE=$\frac{1}{2}$BC，∠C=60°，
∴CD=CE，
∴△CDE是等边三角形。
(2)解：
∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，
∴∠BAE=∠ABD=∠DBC=30°，
∴OB=OA=12，
在Rt△BEO中，∠OBE=30°，
∴OB=2OE，
∴OE=6。
【答案】
(1)△CDE是等边三角形，证明成立；(2)OE=6
【知识点】
等边三角形的性质，等边三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是等边三角形相关的典型习题，综合考查了等边三角形的性质、判定以及特殊直角三角形的性质，解题核心是熟练运用等边三角形“三线合一”的性质推导边、角的数量关系，解题思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
