8 如图,四边形 ABCD 内接于$\odot O$,点 I 是$△ ABC$的内心,$∠ AIC=124°$,点 E 在 AD 的延长线上,则$∠ CDE$的度数为 （ ）
A. $56°$
B. $62°$
C. $68°$
D. $78°$

C

9 如图,点 I 为$△ ABC$的内心,$AB=4$,$AC=3$,$BC=2$,将$∠ ACB$平移使其顶点与点 I 重合,则图中阴影部分的周长为______.

4

10 如图,在扇形$CAB$中,$CD\bot AB$,垂足为$D$,$\odot E$是$△ ACD$的内切圆,连接$AE$,$BE$,则$∠ AEB$的度数为______.

135°

11 如图，BC为$△ ABC$的外接圆$\odot O$的直径，点M为$△ ABC$的内心，连接AM并延长交$\odot O$于点D，连接CD.
（1）求$∠ BCD$的大小；
（2）若$CD=4$，求$DM$的值.

解：​$(1)$​∵​$BC $​为​$∆ABC $​的外接圆​$⊙O $​的直径，∴​$∠BAC = 90°$​∵点​$ M $​为​$∆ABC $​的内心，∴​$∠BAD = \frac 12∠BAC = 45°$​∴​$∠BCD = ∠BAD = 45°$​​$ (2) $​连接​$ CM$​∵点​$ M $​为​$∆ABC $​的内心∴​$∠BAD = ∠CAD，$​​$∠ACM = ∠BCM$​∵​$∠BAD = ∠BCD，$​∴​$∠DAC = ∠BCD$​∵​$∠DMC = ∠DAC + ∠ACM，$​​$∠DCM = ∠BCD + ∠BCM$​∴​$∠DMC = ∠DCM$​∴​$DM = CD = 4$​ ;

12 如图,AB为$\odot O$的直径,$△ ABC$内接于$\odot O$,$BC＞AC$,$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$,$BD=PD$,延长$CP$交$\odot O$于点$D$,连接$BP$.
(1) 求证:点$P$是$△ ABC$的内心;
(2) 已知$\odot O$的直径是$5\sqrt{2}$,$CD=7$,求$BC$的长.

​$ (1) $​证明：∵​$AB $​为​$⊙O $​的直径，∴​$∠ACB = 90°$​∵​$\widehat {AD}=\widehat {BD}$​∴​$∠ACD = ∠BCD，$​∴​$CD $​平分​$∠ACB$​∵​$P D = BD，$​∴​$∠BP D = ∠P BD$​∵​$∠BP D = ∠BCP + ∠CBP，$​​$∠DBP = ∠ABD + ∠ABP，$​​$∠ABD = ∠DCB$​∴​$∠CBP = ∠ABP，$​∴​$BP $​平分​$∠ABC$​∴点​$ P $​是​$∆ABC $​的内心​$ (2) $​解：如图，连接​$ AD，$​过点​$ B $​作​$ BH⊥CD $​于点​$ H$​​$ $​易知​$∆ABD $​是等腰直角三角形∴​$BD = \frac {\sqrt 2}2\ \mathrm {A}B = \frac {\sqrt 2}2×5\sqrt 2 = 5$​∵​$∠BCD = 45°，$​​$BH⊥CD$​∴​$∠BCH = ∠CBH = 45°$​∴​$BH = CH，$​∴​$BC = \sqrt 2BH$​∵​$BD^2 = DH^2 + BH^2$​∴​$25 = (7 - BH)^2 + BH^2，$​解得​$ BH = 3 $​或​$ BH = 4$​ 又∵​$BC＞AC，$​∴​$BH = 4，$​∴​$BC = 4\sqrt 2$​ ;