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如图,在正方形$ABCD$中,$P是对角线AC$上的任意一点,过点$P作EF和GH分别平行于BC和AB$,交各边于$E$,$F$,$G$,$H$. 求证：$E$,$F$,$G$,$H$四点在同一个圆上.
答案
提示:连接BD交AC于点O,连接OE,OF,OG,OH.通过三角形全等,证OE=OF=OG=OH,故E,F,G,H四点在同一个圆上.
解析
证明：连接BD交AC于点O，连接OE,OF,OG,OH。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，∠OAE=∠OBE=∠OCF=∠ODH=45°。
∵EF//BC，GH//AB，
∴四边形AEPH，BFPG，CGPF，DHPE均为矩形，
∴AE=HP，BE=GP，CF=GP，DF=HP，
∴AE=CF，BE=DF。
在△OAE和△OCF中，
OA=OC，∠OAE=∠OCF，AE=CF，
∴△OAE≌△OCF(SAS)，
∴OE=OF。
同理可证△OBE≌△ODF(SAS)，
∴OE=OD；△OCG≌△OAH(SAS)，
∴OG=OH；△OBG≌△ODE(SAS)，
∴OG=OE。
∴OE=OF=OG=OH，
∴E,F,G,H四点在以O为圆心，OE为半径的同一个圆上。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，∠OAE=∠OBE=∠OCF=∠ODH=45°。
∵EF//BC，GH//AB，
∴四边形AEPH，BFPG，CGPF，DHPE均为矩形，
∴AE=HP，BE=GP，CF=GP，DF=HP，
∴AE=CF，BE=DF。
在△OAE和△OCF中，
OA=OC，∠OAE=∠OCF，AE=CF，
∴△OAE≌△OCF(SAS)，
∴OE=OF。
同理可证△OBE≌△ODF(SAS)，
∴OE=OD；△OCG≌△OAH(SAS)，
∴OG=OH；△OBG≌△ODE(SAS)，
∴OG=OE。
∴OE=OF=OG=OH，
∴E,F,G,H四点在以O为圆心，OE为半径的同一个圆上。
1. 圆是轴对称图形,它的对称轴是____。
答案
经过圆心的直线
2. 如图,⊙P 经过点 O(0,0),交 y 轴于点 B,若 P(-5,-3),则点 B 的纵坐标是( )
A.-10
B.-8
C.-6
D.-4
A.-10
B.-8
C.-6
D.-4
答案
C
解析
解：设点$B$的坐标为$(0, y)$。
因为$⊙P$经过点$O(0,0)$和点$B(0,y)$，所以$PO = PB$。
已知$P(-5,-3)$，根据两点间距离公式：
$PO = \sqrt{(-5 - 0)^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$
$PB = \sqrt{(-5 - 0)^2 + (-3 - y)^2} = \sqrt{25 + (y + 3)^2}$
因为$PO = PB$，所以$\sqrt{25 + (y + 3)^2} = \sqrt{34}$
两边平方得：$25 + (y + 3)^2 = 34$
$(y + 3)^2 = 9$
$y + 3 = ±3$
解得$y = 0$（舍去，与点$O$重合）或$y = -6$
故点$B$的纵坐标是$-6$。
C
因为$⊙P$经过点$O(0,0)$和点$B(0,y)$，所以$PO = PB$。
已知$P(-5,-3)$，根据两点间距离公式：
$PO = \sqrt{(-5 - 0)^2 + (-3 - 0)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$
$PB = \sqrt{(-5 - 0)^2 + (-3 - y)^2} = \sqrt{25 + (y + 3)^2}$
因为$PO = PB$，所以$\sqrt{25 + (y + 3)^2} = \sqrt{34}$
两边平方得：$25 + (y + 3)^2 = 34$
$(y + 3)^2 = 9$
$y + 3 = ±3$
解得$y = 0$（舍去，与点$O$重合）或$y = -6$
故点$B$的纵坐标是$-6$。
C
3. 如图,AB 是⊙O 的直径,CD 为弦,CD⊥AB 于 E,则下列结论中不一定成立的是( )
A.∠COE= ∠DOE
B.CE= DE
C.OE= BE
D.$\overset{\frown}{BD}= \overset{\frown}{BC}$
A.∠COE= ∠DOE
B.CE= DE
C.OE= BE
D.$\overset{\frown}{BD}= \overset{\frown}{BC}$
答案
C
解析
证明：
∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，
∴AB垂直平分CD（垂径定理），
∴CE=DE（B成立），$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$（D成立）。
在△COE和△DOE中，
∵OC=OD，OE=OE，CE=DE，
∴△COE≌△DOE（SSS），
∴∠COE=∠DOE（A成立）。
OE与BE大小关系不确定（C不一定成立）。
C
∵AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，
∴AB垂直平分CD（垂径定理），
∴CE=DE（B成立），$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$（D成立）。
在△COE和△DOE中，
∵OC=OD，OE=OE，CE=DE，
∴△COE≌△DOE（SSS），
∴∠COE=∠DOE（A成立）。
OE与BE大小关系不确定（C不一定成立）。
C
问题 南通市濠河上有一座圆弧形拱桥,桥下面的水面宽度为 7.2 m,拱顶高出水面 2.4 m。现有一艘宽 3 m,船舱顶部为长方形并高出水面 2 m 的货船要通过该桥,问：此货船是否能顺利通过这座桥？
名师指导
正确地画出示意图是解决本题的关键。设$\overset{\frown}{AB}$表示桥拱,EF 表示船的宽度。当船从桥拱的正中央通过时,船舱两边缘的上顶端只有在 N(或 M)点的下方时,船才能通过,这就需比较 NF 的长与 2 m 的大小。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
名师指导
正确地画出示意图是解决本题的关键。设$\overset{\frown}{AB}$表示桥拱,EF 表示船的宽度。当船从桥拱的正中央通过时,船舱两边缘的上顶端只有在 N(或 M)点的下方时,船才能通过,这就需比较 NF 的长与 2 m 的大小。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
答案
解：
1. 确定圆的半径及圆心位置
设圆弧$AB$所在圆的圆心为$O$，半径为$R$。过$O$作$AB$的垂线，垂足为$C$（$C$为$AB$中点），则$AC=BC=\frac{7.2}{2}=3.6\,m$。设圆心$O$到$AB$的距离为$OC=d$，拱高$CD=2.4\,m$，则$R=d+2.4$。
由垂径定理及勾股定理：$OA^2=AC^2+OC^2$，即$R^2=3.6^2+d^2$。
代入$R=d+2.4$，得$(d+2.4)^2=3.6^2+d^2$，解得$d=1.5\,m$，$R=3.9\,m$。
2. 计算船舱顶部边缘点到圆心的距离
船宽$EF=3\,m$，从中央通过时，$E(-1.5,0)$，$F(1.5,0)$（以$C$为原点，$AB$为$x$轴，$CD$为$y$轴）。船舱顶部$N$点坐标为$(1.5,2)$（高出水面$2\,m$）。
圆心$O$坐标为$(0,-1.5)$，则$ON=\sqrt{(1.5-0)^2+(2+1.5)^2}=\sqrt{2.25+12.25}=\sqrt{14.5}\approx3.808\,m$。
3. 判断能否通过
因为$ON\approx3.808\,m＜R=3.9\,m$，即$N$在圆内，船舱顶部低于桥拱。
结论：此货船能顺利通过这座桥。
1. 确定圆的半径及圆心位置
设圆弧$AB$所在圆的圆心为$O$，半径为$R$。过$O$作$AB$的垂线，垂足为$C$（$C$为$AB$中点），则$AC=BC=\frac{7.2}{2}=3.6\,m$。设圆心$O$到$AB$的距离为$OC=d$，拱高$CD=2.4\,m$，则$R=d+2.4$。
由垂径定理及勾股定理：$OA^2=AC^2+OC^2$，即$R^2=3.6^2+d^2$。
代入$R=d+2.4$，得$(d+2.4)^2=3.6^2+d^2$，解得$d=1.5\,m$，$R=3.9\,m$。
2. 计算船舱顶部边缘点到圆心的距离
船宽$EF=3\,m$，从中央通过时，$E(-1.5,0)$，$F(1.5,0)$（以$C$为原点，$AB$为$x$轴，$CD$为$y$轴）。船舱顶部$N$点坐标为$(1.5,2)$（高出水面$2\,m$）。
圆心$O$坐标为$(0,-1.5)$，则$ON=\sqrt{(1.5-0)^2+(2+1.5)^2}=\sqrt{2.25+12.25}=\sqrt{14.5}\approx3.808\,m$。
3. 判断能否通过
因为$ON\approx3.808\,m＜R=3.9\,m$，即$N$在圆内，船舱顶部低于桥拱。
结论：此货船能顺利通过这座桥。
