1. 如图是某钥匙扣的坠体截面示意图,嘉嘉用直尺测量了圆的直径为 5 cm,MN 长为 3 cm,则圆心 O 到 MN 的距离为( )

A.1.5 cm
B.2 cm
C.2.5 cm
D.3 cm

B

解：连接OM，过点O作OH⊥MN于点H。
∵圆的直径为5cm，
∴半径$OM = \frac{5}{2} = 2.5\,cm$。
∵OH⊥MN，MN=3cm，
∴$MH = \frac{1}{2}MN = \frac{3}{2} = 1.5\,cm$。
在Rt△OMH中，由勾股定理得：
$OH = \sqrt{OM^2 - MH^2} = \sqrt{(2.5)^2 - (1.5)^2} = \sqrt{6.25 - 2.25} = \sqrt{4} = 2\,cm$。
答案：B

2. 如图,⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD,垂足是 E,∠CAO= 22.5°,OC= 8,则弦 CD 的长为( )

A.$8\sqrt{2}$
B.$4\sqrt{2}$
C.$8\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$

A

解：
∵OA=OC，∠CAO=22.5°，
∴∠ACO=∠CAO=22.5°，
∴∠COE=∠CAO+∠ACO=45°.
∵AB⊥CD，OC=8，
∴CE=OC·sin∠COE=8×sin45°=8×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=4$\sqrt{2}$.
∵AB垂直平分CD，
∴CD=2CE=8$\sqrt{2}$.
A

3. 下列说法中：(1) 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧；(2) 半圆是弧；(3) 长度相等的弧是等弧；(4) 平分弦的直径垂直于这条弦。正确的个数有( )

A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个

C

(1) 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分这条弦所对的两条弧，正确；
(2) 半圆是弧，正确；
(3) 长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须在同圆或等圆中，错误；
(4) 平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，若弦为直径，平分直径的直径不一定垂直于这条弦，错误。
正确的个数有2个。
C

4. 陕西饮食文化源远流长,“老碗面”是陕西地方特色美食之一。如图,图(2)是从正面看到的一个“老碗”[图(1)]的形状示意图。$\overset{\frown}{AB}$是⊙O 的一部分,D 是$\overset{\frown}{AB}$的中点,连接 OD,与弦 AB 交于点 C,连接 OA,OB。已知 AB= 24 cm,碗深 CD= 8 cm,则⊙O 的半径 OA 为( )

A.13 cm
B.16 cm
C.17 cm
D.26 cm

A

解：设⊙O的半径OA为$ r $ cm，则OC = $ r - 8 $ cm。
∵D是$\overset{\frown}{AB}$的中点，OD是半径，
∴OD⊥AB，AC = $\frac{1}{2}$AB = 12 cm。
在Rt△OAC中，由勾股定理得：$ OA^2 = OC^2 + AC^2 $，
即$ r^2 = (r - 8)^2 + 12^2 $，
解得$ r = 13 $。
A

5. 如图,在半径为 10 的圆中,点 A 距圆心 O 的长为 20,过点 A 作割线,交圆于 B,C 两点,O 点到 BC 距离为 6,设 AB 为 x,则$(x + 8)^2= $____。

364

解：过点$O$作$OD \perp BC$于点$D$，连接$OB$。
在$Rt\triangle OBD$中，$OB = 10$，$OD = 6$，
由勾股定理得$BD=\sqrt{OB^2 - OD^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=8$，
则$BC = 2BD = 16$。
设$AB = x$，则$AC = AB + BC = x + 16$。
由切割线定理的推论得$AB \cdot AC = OA^2 - r^2$（注：此处应为$AB \cdot AC = (OA - r)(OA + r)$，即$AB \cdot AC = OA^2 - r^2$），
即$x(x + 16)=20^2 - 10^2$，
$x^2 + 16x = 300$，
$x^2 + 16x + 64 = 364$，
$(x + 8)^2 = 364$。
364