6. 如图,△ABC 的三个顶点在⊙O 上,OE⊥AB 于点 E,OF⊥AC 于点 F。求证：EF//BC,$EF= \frac{1}{2}BC$。

提示:由OE⊥AB,得AE=BE.由OF⊥AC,得AF=CF,点E,F为AB,AC的中点.

证明：
∵OE⊥AB，
∴AE=BE（垂径定理）。
∵OF⊥AC，
∴AF=CF（垂径定理）。
∴E，F分别为AB，AC的中点。
∴EF是△ABC的中位线。
∴EF//BC，EF=$\frac{1}{2}$BC。

7. 如图,已知⊙O_1 与坐标轴交于 A(1,0),B(5,0)两点,点 O_1 的纵坐标为$\sqrt{5}$。求⊙O_1 的半径。

3

解：设点$O_1$的坐标为$(x,\sqrt{5})$。
因为$A(1,0)$，$B(5,0)$在$\odot O_1$上，所以$O_1A = O_1B$。
由两点间距离公式得：$\sqrt{(x - 1)^2 + (\sqrt{5} - 0)^2} = \sqrt{(x - 5)^2 + (\sqrt{5} - 0)^2}$
两边平方化简：$(x - 1)^2 + 5 = (x - 5)^2 + 5$
展开得：$x^2 - 2x + 1 = x^2 - 10x + 25$
移项合并：$8x = 24$，解得$x = 3$
所以$O_1(3,\sqrt{5})$，半径$O_1A = \sqrt{(3 - 1)^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = 3$
3

8. 如图,⊙O 的直径为 10 cm,弦 AB= 8 cm,P 是弦 AB 上的一个动点,求 OP 的长度范围。

OP的长度范围是3 cm≤OP≤5 cm.

解：连接 $OA$，过点 $O$ 作 $OC \perp AB$ 于点 $C$。
因为 $\odot O$ 的直径为 $10\ cm$，所以半径 $OA = 5\ cm$。
由于 $OC \perp AB$，根据垂径定理，$AC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 8 = 4\ cm$。
在 $Rt\triangle OAC$ 中，由勾股定理得：$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3\ cm$。
因为 $P$ 是弦 $AB$ 上的动点，所以 $OP$ 的最小值为 $OC = 3\ cm$，最大值为 $OA = 5\ cm$。
故 $OP$ 的长度范围是 $3\ cm \leq OP \leq 5\ cm$。

9. 如图,AC 是⊙O 的直径,弦 BD⊥AO 于点 E,连接 BC,过点 O 作 OF⊥BC 于点 F,BD= 8 cm,AE= 2 cm。
(1) 求⊙O 的半径；
(2) 求点 O 到弦 BC 的距离。

(1)5 cm；
(2)$\sqrt{5}$ cm.

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y = -x - 2 与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,C,D 是半径为 1 的⊙O 上两动点,且 CD= $\sqrt{2}$,P 为弦 CD 的中点。当 C,D 两点在圆上运动时,△PAB 面积的最大值是( )

A.8
B.6
C.4
D.3

D

解：
1. 求A、B坐标：
直线$y=-x-2$与x轴交于$A(-2,0)$，与y轴交于$B(0,-2)$。
2. 计算AB长度及方程：
$AB=\sqrt{(-2-0)^2+(0+2)^2}=2\sqrt{2}$，直线AB方程：$x+y+2=0$。
3. 确定P点轨迹：
因P为⊙O（半径1）弦CD（$CD=\sqrt{2}$）中点，故$OP=\sqrt{1^2-(\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即P在以O为圆心、$\frac{\sqrt{2}}{2}$为半径的圆上。
4. 求P到AB距离的最大值：
O到AB距离$d=\frac{|0+0+2|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}$，P到AB最大距离为$d+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
5. 计算△PAB面积最大值：
$S_{max}=\frac{1}{2}× AB× \frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}× 2\sqrt{2}× \frac{3\sqrt{2}}{2}=3$。
答案：D