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1. 有下列四个命题：
(1)直径相等的两个圆是等圆；(2)长度相等的两条弧是等弧；(3)圆中最长的弦是经过圆心的弦；(4)一条弦分圆为两条弧,这两条弧中必有一条是优弧,另一条是劣弧.
其中,正确的命题是( )
A.(1)(3)(4)
B.(1)(3)
C.(1)(4)
D.(1)
(1)直径相等的两个圆是等圆；(2)长度相等的两条弧是等弧；(3)圆中最长的弦是经过圆心的弦；(4)一条弦分圆为两条弧,这两条弧中必有一条是优弧,另一条是劣弧.
其中,正确的命题是( )
A.(1)(3)(4)
B.(1)(3)
C.(1)(4)
D.(1)
答案
B.
解析
(1)直径相等的两个圆半径相等，是等圆，正确；
(2)在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，错误；
(3)圆中最长的弦是直径，即经过圆心的弦，正确；
(4)直径分圆为两条等弧，都是半圆，不是优弧和劣弧，错误。
正确的命题是
(1)
(3)，答案选B。
(2)在同圆或等圆中，长度相等的两条弧才是等弧，错误；
(3)圆中最长的弦是直径，即经过圆心的弦，正确；
(4)直径分圆为两条等弧，都是半圆，不是优弧和劣弧，错误。
正确的命题是
(1)
(3)，答案选B。
2. 已知$\odot O的直径长为4$,点$A$,$B在\odot O$上,则$AB$的长不可能是( )
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$8$
A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$8$
答案
D.
解析
因为$\odot O$的直径长为$4$，所以$\odot O$的半径为$2$。点$A$，$B$在$\odot O$上，所以$AB$为$\odot O$的弦，弦长的取值范围是大于$0$且小于等于直径长。因此，$AB$的长不可能是$8$。
D.
D.
3. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 10$,若以点$C$为圆心,$CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D$,则$AC$的长等于____.
答案
5√3.
解析
证明：连接$CD$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$D$为$AB$中点，$AB = 10$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB = 5$。
$\because$圆$C$以$CB$为半径且过点$D$，
$\therefore CB = CD = 5$。
在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^{2}-CB^{2}}=\sqrt{10^{2}-5^{2}}=5\sqrt{3}$。
$5\sqrt{3}$
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$D$为$AB$中点，$AB = 10$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AB = 5$。
$\because$圆$C$以$CB$为半径且过点$D$，
$\therefore CB = CD = 5$。
在$Rt\triangle ABC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^{2}-CB^{2}}=\sqrt{10^{2}-5^{2}}=5\sqrt{3}$。
$5\sqrt{3}$
4. 如图,点$A$,$B和C$,$D$分别在两个同心圆上,且$\angle AOB = \angle COD$,求证：$\angle C = \angle D$.
答案
提示:证△AOC≌△BOD.
解析
证明：
∵点A，B在同一同心圆上，
∴OA=OB。
∵点C，D在同一同心圆上，
∴OC=OD。
∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD。
在△AOC和△BOD中，
$\begin{cases}OA=OB \\\angle AOC=\angle BOD \\OC=OD\end{cases}$
∴△AOC≌△BOD(SAS)。
∴∠C=∠D。
∵点A，B在同一同心圆上，
∴OA=OB。
∵点C，D在同一同心圆上，
∴OC=OD。
∵∠AOB=∠COD，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD。
在△AOC和△BOD中，
$\begin{cases}OA=OB \\\angle AOC=\angle BOD \\OC=OD\end{cases}$
∴△AOC≌△BOD(SAS)。
∴∠C=∠D。
5. (1)有共同斜边的直角三角形的直角顶点的集合是什么图形？你能说明理由吗？
(2)如图,$\triangle ABC的两条高BD$,$CE相交于点H$,点$A$,$E$,$H$,$D$在同一个圆上吗？为什么？
(2)如图,$\triangle ABC的两条高BD$,$CE相交于点H$,点$A$,$E$,$H$,$D$在同一个圆上吗？为什么？
答案
（1）以该斜边为直径的圆,理由略;
(2) 连接AH,取AH的中点O,连接OD,OE,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,知点A,E,H,D在以点O为圆心,OA为半径的圆上.
(2) 连接AH,取AH的中点O,连接OD,OE,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,知点A,E,H,D在以点O为圆心,OA为半径的圆上.
