登录
14.(★★)如图,小明将一个正方形纸片剪去一个宽为4 cm的长条后,再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5 cm的长条,如果两次剪下的长条面积正好相等,那么每一个长条的面积为【 】
A.16 cm²
B.20 cm²
C.80 cm²
D.160 cm²
A.16 cm²
B.20 cm²
C.80 cm²
D.160 cm²
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，我们首先抓住“两次剪下的长条面积相等”这一核心等量关系，先设原正方形的边长为未知数，分别表示出两个长条的面积，再列方程求解。首先明确：第一个长条的宽是4cm，长等于原正方形的边长；剪完第一个长条后剩下的是长方形，它的宽为原正方形边长减4cm，第二个长条的宽是5cm，长等于剩下长方形的宽，根据面积相等列方程算出边长后，即可求出长条面积。
【解析】
设原正方形纸片的边长为$ x $ cm。
第一次剪下的宽为4cm的长条面积为：$ 4x $ $ \mathrm{cm}^2 $
第一次剪完后剩下的长方形的宽为$ (x-4) $ cm，因此第二次剪下的宽为5cm的长条面积为：$ 5(x-4) $ $ \mathrm{cm}^2 $
根据两次剪下的长条面积相等，列方程：
$ 4x = 5(x-4) $
解方程：
$ 4x = 5x - 20 $
移项得：$ 5x - 4x = 20 $
解得：$ x = 20 $
则每个长条的面积为：$ 4x = 4×20 = 80 $ $ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形面积计算
【点评】
本题的易错点是容易误将第二个长条的长当成原正方形的边长，解题时要结合图形明确两次剪下长条对应的长和宽，找准等量关系列方程即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们首先抓住“两次剪下的长条面积相等”这一核心等量关系，先设原正方形的边长为未知数，分别表示出两个长条的面积，再列方程求解。首先明确：第一个长条的宽是4cm，长等于原正方形的边长；剪完第一个长条后剩下的是长方形，它的宽为原正方形边长减4cm，第二个长条的宽是5cm，长等于剩下长方形的宽，根据面积相等列方程算出边长后，即可求出长条面积。
【解析】
设原正方形纸片的边长为$ x $ cm。
第一次剪下的宽为4cm的长条面积为：$ 4x $ $ \mathrm{cm}^2 $
第一次剪完后剩下的长方形的宽为$ (x-4) $ cm，因此第二次剪下的宽为5cm的长条面积为：$ 5(x-4) $ $ \mathrm{cm}^2 $
根据两次剪下的长条面积相等，列方程：
$ 4x = 5(x-4) $
解方程：
$ 4x = 5x - 20 $
移项得：$ 5x - 4x = 20 $
解得：$ x = 20 $
则每个长条的面积为：$ 4x = 4×20 = 80 $ $ \mathrm{cm}^2 $
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形面积计算
【点评】
本题的易错点是容易误将第二个长条的长当成原正方形的边长，解题时要结合图形明确两次剪下长条对应的长和宽，找准等量关系列方程即可快速求解。
【难度系数】
0.7
15. (★★)“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5 h缩短至1 h，运行里程缩短了40 km. 已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200 km，求高铁的平均速度.
答案
解：设高铁的平均速度为$ x $ km/h，则普通列车的平均速度为$ (x-200) $ km/h。
根据题意列方程：
$ 3.5(x - 200) = x + 40 $
去括号，得：
$ 3.5x - 700 = x + 40 $
移项，得：
$ 3.5x - x = 40 + 700 $
合并同类项，得：
$ 2.5x = 740 $
系数化为1，得：
$ x = 296 $
答：高铁的平均速度为296 km/h。
根据题意列方程：
$ 3.5(x - 200) = x + 40 $
去括号，得：
$ 3.5x - 700 = x + 40 $
移项，得：
$ 3.5x - x = 40 + 700 $
合并同类项，得：
$ 2.5x = 740 $
系数化为1，得：
$ x = 296 $
答：高铁的平均速度为296 km/h。
解析
【分析】
这是一道行程类一元一次方程应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的公式梳理等量关系。首先明确已知条件：普通列车运行时长3.5h，高铁运行时长1h，普通列车行驶里程比高铁多40km，高铁平均速度比普通列车快200km/h。我们可以先设高铁的平均速度为未知数，用含未知数的式子表示普通列车的平均速度，再根据“普通列车行驶总里程=高铁行驶总里程+缩短的40km”这一等量关系列方程，最后按解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
解：设高铁的平均速度为$ x $ km/h，则普通列车的平均速度为$ (x-200) $ km/h。
根据题意列方程：
$ 3.5(x - 200) = x + 40 $
去括号，得：
$ 3.5x - 700 = x + 40 $
移项，得：
$ 3.5x - x = 40 + 700 $
合并同类项，得：
$ 2.5x = 740 $
系数化为1，得：
$ x = 296 $
答：高铁的平均速度为296 km/h。
【答案】
296 km/h
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.解一元一次方程
3.行程问题公式
【点评】
本题是典型的行程类方程应用基础题，解题关键是找准路程、速度、时间三类量之间的等量关系，熟练掌握列方程解应用题的设元、列方程、解方程的常规步骤即可顺利求解，属于方程应用的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
这是一道行程类一元一次方程应用题，解题核心是利用“路程=速度×时间”的公式梳理等量关系。首先明确已知条件：普通列车运行时长3.5h，高铁运行时长1h，普通列车行驶里程比高铁多40km，高铁平均速度比普通列车快200km/h。我们可以先设高铁的平均速度为未知数，用含未知数的式子表示普通列车的平均速度，再根据“普通列车行驶总里程=高铁行驶总里程+缩短的40km”这一等量关系列方程，最后按解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
解：设高铁的平均速度为$ x $ km/h，则普通列车的平均速度为$ (x-200) $ km/h。
根据题意列方程：
$ 3.5(x - 200) = x + 40 $
去括号，得：
$ 3.5x - 700 = x + 40 $
移项，得：
$ 3.5x - x = 40 + 700 $
合并同类项，得：
$ 2.5x = 740 $
系数化为1，得：
$ x = 296 $
答：高铁的平均速度为296 km/h。
【答案】
296 km/h
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.解一元一次方程
3.行程问题公式
【点评】
本题是典型的行程类方程应用基础题，解题关键是找准路程、速度、时间三类量之间的等量关系，熟练掌握列方程解应用题的设元、列方程、解方程的常规步骤即可顺利求解，属于方程应用的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
16. (★★★)解关于$x$的方程$a(2x-1)=3x-2.$
答案
解：
去括号，得 $2ax - a = 3x - 2$
移项，得 $2ax - 3x = a - 2$
合并同类项，得 $(2a - 3)x = a - 2$
当 $2a - 3 ≠ 0$，即 $a ≠ \frac{3}{2}$ 时，
方程两边同时除以$2a-3$，得 $x = \frac{a - 2}{2a - 3}$；
当 $2a - 3 = 0$，即 $a = \frac{3}{2}$ 时，
方程左边为$0 · x = 0$，右边为$\frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2}$，等式不成立，此时方程无解。
综上，当$a ≠ \frac{3}{2}$时，方程的解为$x=\frac{a-2}{2a-3}$；当$a=\frac{3}{2}$时，方程无解。
去括号，得 $2ax - a = 3x - 2$
移项，得 $2ax - 3x = a - 2$
合并同类项，得 $(2a - 3)x = a - 2$
当 $2a - 3 ≠ 0$，即 $a ≠ \frac{3}{2}$ 时，
方程两边同时除以$2a-3$，得 $x = \frac{a - 2}{2a - 3}$；
当 $2a - 3 = 0$，即 $a = \frac{3}{2}$ 时，
方程左边为$0 · x = 0$，右边为$\frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2}$，等式不成立，此时方程无解。
综上，当$a ≠ \frac{3}{2}$时，方程的解为$x=\frac{a-2}{2a-3}$；当$a=\frac{3}{2}$时，方程无解。
解析
【分析】
这是含有参数a的一元一次方程，解题时先按照解一元一次方程的常规步骤：去括号、移项、合并同类项，将方程整理为“x的系数乘x等于常数项”的形式。由于x的系数含有参数，需要分情况讨论：当x的系数不为0时，可直接将系数化为1求出方程的解；当x的系数为0时，再判断等号左右两边是否相等，确定方程是否有解。
【解析】
去括号，得 $2ax - a = 3x - 2$
移项，得 $2ax - 3x = a - 2$
合并同类项，得 $(2a - 3)x = a - 2$
当 $2a - 3 ≠ 0$，即 $a ≠ \frac{3}{2}$ 时，
方程两边同时除以$2a-3$，得 $x = \frac{a - 2}{2a - 3}$；
当 $2a - 3 = 0$，即 $a = \frac{3}{2}$ 时，
方程左边为$0 · x = 0$，右边为$\frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2}$，等式不成立，此时方程无解。
【答案】
当$a ≠ \frac{3}{2}$时，方程的解为$x=\frac{a-2}{2a-3}$；当$a=\frac{3}{2}$时，方程无解。
【知识点】
解一元一次方程，含参方程求解，分类讨论
【点评】
本题重点考查含参数一元一次方程的解法，核心是将方程化为$mx=n$的形式后，对x的系数$m$的取值分类讨论，解题时需注意不能直接将系数化为1，避免遗漏系数为0时方程无解的情况。
【难度系数】
0.6
这是含有参数a的一元一次方程，解题时先按照解一元一次方程的常规步骤：去括号、移项、合并同类项，将方程整理为“x的系数乘x等于常数项”的形式。由于x的系数含有参数，需要分情况讨论：当x的系数不为0时，可直接将系数化为1求出方程的解；当x的系数为0时，再判断等号左右两边是否相等，确定方程是否有解。
【解析】
去括号，得 $2ax - a = 3x - 2$
移项，得 $2ax - 3x = a - 2$
合并同类项，得 $(2a - 3)x = a - 2$
当 $2a - 3 ≠ 0$，即 $a ≠ \frac{3}{2}$ 时，
方程两边同时除以$2a-3$，得 $x = \frac{a - 2}{2a - 3}$；
当 $2a - 3 = 0$，即 $a = \frac{3}{2}$ 时，
方程左边为$0 · x = 0$，右边为$\frac{3}{2} - 2 = -\frac{1}{2}$，等式不成立，此时方程无解。
【答案】
当$a ≠ \frac{3}{2}$时，方程的解为$x=\frac{a-2}{2a-3}$；当$a=\frac{3}{2}$时，方程无解。
【知识点】
解一元一次方程，含参方程求解，分类讨论
【点评】
本题重点考查含参数一元一次方程的解法，核心是将方程化为$mx=n$的形式后，对x的系数$m$的取值分类讨论，解题时需注意不能直接将系数化为1，避免遗漏系数为0时方程无解的情况。
【难度系数】
0.6
