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21. (★★★)【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴,我们发现了许多重要的规律,比如:若数轴上点A,B表示的数分别为a,b,则A,B两点之间的距离$AB=|a-b|$,线段AB的中点表示的数为$\frac{a+b}{2}$.
【问题情境】
如图,数轴上点A表示的数为-2,点B表示的数为8,点P从点A出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,同时点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t s(t＞0).
【综合运用】
(1)填空:t s后,点P表示的数为,点Q表示的数为.(用含t的代数式表示)
(2)求当t为何值时,P,Q两点相遇,并写出相遇点所表示的数.
(3)求当t为何值时,$PQ=\frac{1}{2}AB$.
(4)若点M为PA的中点,点N为PB的中点,点P在运动过程中,线段MN的长度是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出线段MN的长.
数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美地结合.研究数轴,我们发现了许多重要的规律,比如:若数轴上点A,B表示的数分别为a,b,则A,B两点之间的距离$AB=|a-b|$,线段AB的中点表示的数为$\frac{a+b}{2}$.
【问题情境】
如图,数轴上点A表示的数为-2,点B表示的数为8,点P从点A出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,同时点Q从点B出发,以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t s(t＞0).
【综合运用】
(1)填空:t s后,点P表示的数为,点Q表示的数为.(用含t的代数式表示)
(2)求当t为何值时,P,Q两点相遇,并写出相遇点所表示的数.
(3)求当t为何值时,$PQ=\frac{1}{2}AB$.
(4)若点M为PA的中点,点N为PB的中点,点P在运动过程中,线段MN的长度是否发生变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出线段MN的长.
答案
解：
(1) $3t-2$；$8-2t$
(2) 当P、Q两点相遇时，两点表示的数相等，
列方程得：$3t - 2 = 8 - 2t$
移项得：$3t + 2t = 8 + 2$
合并同类项得：$5t = 10$
系数化为1得：$t=2$
将$t=2$代入$3t-2$，得$3×2 -2 =4$
所以当$t=2$时，P、Q两点相遇，相遇点表示的数为4。
(3) 由题意得，$AB=|8 - (-2)|=10$，因此$\frac{1}{2}AB=5$
$PQ=|(3t-2)-(8-2t)|=|5t-10|$
令$|5t-10|=5$，则：
$5t-10=5$ 或 $5t-10=-5$
解得$t=3$ 或 $t=1$
所以当$t=1$或$t=3$时，$PQ=\frac{1}{2}AB$。
(4) 线段MN的长度不发生变化，计算如下：
因为点M为PA的中点，所以点M表示的数为$\frac{-2 + (3t-2)}{2}=\frac{3t-4}{2}$
点N为PB的中点，所以点N表示的数为$\frac{(3t-2)+8}{2}=\frac{3t+6}{2}$
$MN=\left|\frac{3t-4}{2} - \frac{3t+6}{2}\right|=\left|\frac{-10}{2}\right|=|-5|=5$
所以点P运动过程中线段MN的长度不变，MN的长为5。
(1) $3t-2$；$8-2t$
(2) 当P、Q两点相遇时，两点表示的数相等，
列方程得：$3t - 2 = 8 - 2t$
移项得：$3t + 2t = 8 + 2$
合并同类项得：$5t = 10$
系数化为1得：$t=2$
将$t=2$代入$3t-2$，得$3×2 -2 =4$
所以当$t=2$时，P、Q两点相遇，相遇点表示的数为4。
(3) 由题意得，$AB=|8 - (-2)|=10$，因此$\frac{1}{2}AB=5$
$PQ=|(3t-2)-(8-2t)|=|5t-10|$
令$|5t-10|=5$，则：
$5t-10=5$ 或 $5t-10=-5$
解得$t=3$ 或 $t=1$
所以当$t=1$或$t=3$时，$PQ=\frac{1}{2}AB$。
(4) 线段MN的长度不发生变化，计算如下：
因为点M为PA的中点，所以点M表示的数为$\frac{-2 + (3t-2)}{2}=\frac{3t-4}{2}$
点N为PB的中点，所以点N表示的数为$\frac{(3t-2)+8}{2}=\frac{3t+6}{2}$
$MN=\left|\frac{3t-4}{2} - \frac{3t+6}{2}\right|=\left|\frac{-10}{2}\right|=|-5|=5$
所以点P运动过程中线段MN的长度不变，MN的长为5。
解析
【分析】
1. 第(1)问：数轴上向右运动的点，对应的数等于起点数加速度乘运动时间；向左运动的点，对应的数等于起点数减速度乘运动时间，按此规律直接写出P、Q表示的数即可。
2. 第(2)问：两点相遇时，两点在数轴上对应的数相等，据此列一元一次方程求解t，再代入点的表达式即可得到相遇点对应的数。
3. 第(3)问：先根据两点间距离公式算出AB的长度，得到$\frac{1}{2}AB$的值，再用距离公式表示PQ的长度，列绝对值方程，分两种情况去绝对值求解即可。
4. 第(4)问：先用线段中点公式分别表示出M、N对应的数，再用距离公式计算MN的长度，若结果不含t则长度不变，所得结果就是MN的长度。
【解析】
(1) 点P从表示-2的点出发，每秒向右运动3个单位，t秒后运动了3t个单位，因此表示的数为$-2+3t=3t-2$；点Q从表示8的点出发，每秒向左运动2个单位，t秒后运动了2t个单位，因此表示的数为$8-2t$。
(2) 当P、Q两点相遇时，两点表示的数相等，列方程得：
$3t - 2 = 8 - 2t$
移项得：$3t + 2t = 8 + 2$
合并同类项得：$5t = 10$
系数化为1得：$t=2$
将$t=2$代入$3t-2$，得$3×2 -2 =4$
所以当$t=2$时，P、Q两点相遇，相遇点表示的数为4。
(3) 由两点间距离公式得，$AB=|8 - (-2)|=10$，因此$\frac{1}{2}AB=5$
P、Q两点间距离$PQ=|(3t-2)-(8-2t)|=|5t-10|$
令$|5t-10|=5$，分两种情况：
①$5t-10=5$，解得$t=3$；
②$5t-10=-5$，解得$t=1$。
所以当$t=1$或$t=3$时，$PQ=\frac{1}{2}AB$。
(4) 线段MN的长度不发生变化，计算如下：
根据线段中点公式，点M为PA的中点，点A表示的数为-2，点P表示的数为$3t-2$，所以点M表示的数为$\frac{-2 + (3t-2)}{2}=\frac{3t-4}{2}$
点N为PB的中点，点B表示的数为8，所以点N表示的数为$\frac{(3t-2)+8}{2}=\frac{3t+6}{2}$
再根据两点间距离公式，$MN=\left|\frac{3t-4}{2} - \frac{3t+6}{2}\right|=\left|\frac{-10}{2}\right|=|-5|=5$
所以点P运动过程中线段MN的长度不变，MN的长为5。
【答案】
(1) $3t-2$；$8-2t$
(2) 当$t=2$时两点相遇，相遇点表示的数为4
(3) $t=1$或$t=3$
(4) 线段MN长度不变，长为5
【知识点】
数轴动点问题；两点间距离公式；线段中点公式
【点评】
本题是数轴与动点结合的典型题型，综合考查了一元一次方程、绝对值方程的应用，渗透了数形结合、分类讨论的数学思想，掌握数轴上动点表示数的方法是解题基础，熟练运用距离和中点公式可简化计算过程。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)问：数轴上向右运动的点，对应的数等于起点数加速度乘运动时间；向左运动的点，对应的数等于起点数减速度乘运动时间，按此规律直接写出P、Q表示的数即可。
2. 第(2)问：两点相遇时，两点在数轴上对应的数相等，据此列一元一次方程求解t，再代入点的表达式即可得到相遇点对应的数。
3. 第(3)问：先根据两点间距离公式算出AB的长度，得到$\frac{1}{2}AB$的值，再用距离公式表示PQ的长度，列绝对值方程，分两种情况去绝对值求解即可。
4. 第(4)问：先用线段中点公式分别表示出M、N对应的数，再用距离公式计算MN的长度，若结果不含t则长度不变，所得结果就是MN的长度。
【解析】
(1) 点P从表示-2的点出发，每秒向右运动3个单位，t秒后运动了3t个单位，因此表示的数为$-2+3t=3t-2$；点Q从表示8的点出发，每秒向左运动2个单位，t秒后运动了2t个单位，因此表示的数为$8-2t$。
(2) 当P、Q两点相遇时，两点表示的数相等，列方程得：
$3t - 2 = 8 - 2t$
移项得：$3t + 2t = 8 + 2$
合并同类项得：$5t = 10$
系数化为1得：$t=2$
将$t=2$代入$3t-2$，得$3×2 -2 =4$
所以当$t=2$时，P、Q两点相遇，相遇点表示的数为4。
(3) 由两点间距离公式得，$AB=|8 - (-2)|=10$，因此$\frac{1}{2}AB=5$
P、Q两点间距离$PQ=|(3t-2)-(8-2t)|=|5t-10|$
令$|5t-10|=5$，分两种情况：
①$5t-10=5$，解得$t=3$；
②$5t-10=-5$，解得$t=1$。
所以当$t=1$或$t=3$时，$PQ=\frac{1}{2}AB$。
(4) 线段MN的长度不发生变化，计算如下：
根据线段中点公式，点M为PA的中点，点A表示的数为-2，点P表示的数为$3t-2$，所以点M表示的数为$\frac{-2 + (3t-2)}{2}=\frac{3t-4}{2}$
点N为PB的中点，点B表示的数为8，所以点N表示的数为$\frac{(3t-2)+8}{2}=\frac{3t+6}{2}$
再根据两点间距离公式，$MN=\left|\frac{3t-4}{2} - \frac{3t+6}{2}\right|=\left|\frac{-10}{2}\right|=|-5|=5$
所以点P运动过程中线段MN的长度不变，MN的长为5。
【答案】
(1) $3t-2$；$8-2t$
(2) 当$t=2$时两点相遇，相遇点表示的数为4
(3) $t=1$或$t=3$
(4) 线段MN长度不变，长为5
【知识点】
数轴动点问题；两点间距离公式；线段中点公式
【点评】
本题是数轴与动点结合的典型题型，综合考查了一元一次方程、绝对值方程的应用，渗透了数形结合、分类讨论的数学思想，掌握数轴上动点表示数的方法是解题基础，熟练运用距离和中点公式可简化计算过程。
【难度系数】
0.6
