登录
19. (★★)一个两位数，十位上的数比个位上的数大3，个位上的数与十位上的数的和是这个两位数的$\frac{1}{7}$，求这个两位数.
答案
解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为x+3。
根据题意列方程得：
$x+(x+3)=\frac{1}{7}[10(x+3)+x]$
去括号，得：
$2x+3=\frac{1}{7}(11x+30)$
两边同乘7，得：
$14x+21=11x+30$
移项，得：
$14x-11x=30-21$
合并同类项，得：
$3x=9$
系数化为1，得：
$x=3$
十位上的数字为$3+3=6$，
这个两位数为$10×6+3=63$。
答：这个两位数是63。
根据题意列方程得：
$x+(x+3)=\frac{1}{7}[10(x+3)+x]$
去括号，得：
$2x+3=\frac{1}{7}(11x+30)$
两边同乘7，得：
$14x+21=11x+30$
移项，得：
$14x-11x=30-21$
合并同类项，得：
$3x=9$
系数化为1，得：
$x=3$
十位上的数字为$3+3=6$，
这个两位数为$10×6+3=63$。
答：这个两位数是63。
解析
【分析】
这是一道数字类一元一次方程应用题，解题首先要明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。梳理题目可得两个等量关系：①十位数字=个位数字+3；②个位数字与十位数字的和=这个两位数的$\frac{1}{7}$。我们可以先设个位数字为未知数，用第一个等量关系表示出十位数字，再根据第二个等量关系列方程，最后按一元一次方程的求解步骤计算即可得到结果。
【解析】
解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为x+3。
根据题意列方程得：
$x+(x+3)=\frac{1}{7}[10(x+3)+x]$
去括号，得：
$2x+3=\frac{1}{7}(11x+30)$
两边同乘7，得：
$14x+21=11x+30$
移项，得：
$14x-11x=30-21$
合并同类项，得：
$3x=9$
系数化为1，得：
$x=3$
十位上的数字为$3+3=6$，
这个两位数为$10×6+3=63$。
答：这个两位数是63。
【答案】
63
【知识点】
一元一次方程的应用；两位数的表示；一元一次方程的解法
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题的核心是正确表示多位数，从题干中准确提取等量关系列方程，属于基础题型，掌握方法后容易得分。
【难度系数】
0.7
这是一道数字类一元一次方程应用题，解题首先要明确两位数的表示规则：两位数=10×十位数字+个位数字。梳理题目可得两个等量关系：①十位数字=个位数字+3；②个位数字与十位数字的和=这个两位数的$\frac{1}{7}$。我们可以先设个位数字为未知数，用第一个等量关系表示出十位数字，再根据第二个等量关系列方程，最后按一元一次方程的求解步骤计算即可得到结果。
【解析】
解：设个位上的数字为x，则十位上的数字为x+3。
根据题意列方程得：
$x+(x+3)=\frac{1}{7}[10(x+3)+x]$
去括号，得：
$2x+3=\frac{1}{7}(11x+30)$
两边同乘7，得：
$14x+21=11x+30$
移项，得：
$14x-11x=30-21$
合并同类项，得：
$3x=9$
系数化为1，得：
$x=3$
十位上的数字为$3+3=6$，
这个两位数为$10×6+3=63$。
答：这个两位数是63。
【答案】
63
【知识点】
一元一次方程的应用；两位数的表示；一元一次方程的解法
【点评】
本题是典型的数字类方程应用题，解题的核心是正确表示多位数，从题干中准确提取等量关系列方程，属于基础题型，掌握方法后容易得分。
【难度系数】
0.7
20. (★★★)小明和父母打算去某火锅店吃火锅.该店在网上出售“25元抵50元的全场通用代金券”(即面值50元的代金券实付25元就能获得),店家规定代金券等同现金使用,一次消费最多可用3张代金券,而且使用代金券的金额不能超过应付总金额.
(1)如果他们应付总金额为145元,那么用代金券方式买单,他们最多可以优惠多少元?
(2)他们来到该火锅店后,发现店家现场还有一个优惠方式:除锅底不打折外,其余菜品全部6折.他们点了一份50元的锅底和其他菜品,用餐完毕后,聪明的小明对比两种优惠方式,选择了现场优惠方式买单,这样比用代金券方式买单还能少付15元.问:他们实际付了多少元?
(1)如果他们应付总金额为145元,那么用代金券方式买单,他们最多可以优惠多少元?
(2)他们来到该火锅店后,发现店家现场还有一个优惠方式:除锅底不打折外,其余菜品全部6折.他们点了一份50元的锅底和其他菜品,用餐完毕后,聪明的小明对比两种优惠方式,选择了现场优惠方式买单,这样比用代金券方式买单还能少付15元.问:他们实际付了多少元?
答案
解：
(1) 应付总金额为145元，最多可使用2张代金券，3张代金券总面值为150元，超过145元，不符合使用规则。
单张代金券优惠金额为 $50-25=25$ 元，
最多优惠金额为 $2×25=50$ 元。
(2) 设所点其他菜品的总金额为$x$元，则无优惠时应付总金额为$(50+x)$元，分情况讨论：
① 当$0＜50+x＜100$，即$0＜x＜50$时，最多使用1张代金券，
使用代金券需支付：$25+(50+x-50)=x+25$ 元，
列方程：$50+0.6x=x+25-15$，
解得$x=100$，与$0＜x＜50$矛盾，舍去该情况；
② 当$100≤50+x＜150$，即$50≤ x＜100$时，最多使用2张代金券，
使用代金券需支付：$25×2+(50+x-100)=x$ 元，
列方程：$50+0.6x=x-15$，
解得$x=162.5$，与$50≤ x＜100$矛盾，舍去该情况；
③ 当$50+x≥150$，即$x≥100$时，最多使用3张代金券，
使用代金券需支付：$25×3+(50+x-150)=x-25$ 元，
列方程：$50+0.6x=x-25-15$，
解得$x=225$，符合$x≥100$的条件。
实际支付金额为 $50+0.6×225=185$ 元。
答：(1) 他们最多可以优惠50元；(2) 他们实际付了185元。
(1) 应付总金额为145元，最多可使用2张代金券，3张代金券总面值为150元，超过145元，不符合使用规则。
单张代金券优惠金额为 $50-25=25$ 元，
最多优惠金额为 $2×25=50$ 元。
(2) 设所点其他菜品的总金额为$x$元，则无优惠时应付总金额为$(50+x)$元，分情况讨论：
① 当$0＜50+x＜100$，即$0＜x＜50$时，最多使用1张代金券，
使用代金券需支付：$25+(50+x-50)=x+25$ 元，
列方程：$50+0.6x=x+25-15$，
解得$x=100$，与$0＜x＜50$矛盾，舍去该情况；
② 当$100≤50+x＜150$，即$50≤ x＜100$时，最多使用2张代金券，
使用代金券需支付：$25×2+(50+x-100)=x$ 元，
列方程：$50+0.6x=x-15$，
解得$x=162.5$，与$50≤ x＜100$矛盾，舍去该情况；
③ 当$50+x≥150$，即$x≥100$时，最多使用3张代金券，
使用代金券需支付：$25×3+(50+x-150)=x-25$ 元，
列方程：$50+0.6x=x-25-15$，
解得$x=225$，符合$x≥100$的条件。
实际支付金额为 $50+0.6×225=185$ 元。
答：(1) 他们最多可以优惠50元；(2) 他们实际付了185元。
解析
【分析】
(1) 求解第一问首先要明确代金券使用规则：一次最多用3张，且代金券总面值不能超过应付总金额。先判断145元最多可使用的代金券数量，再计算单张代金券的优惠额，二者相乘即可得到最大优惠金额。
(2) 求解第二问先设其他菜品总金额为x元，无优惠总金额为(50+x)元，根据总金额的不同范围，对应可使用的代金券数量不同，分三种情况讨论：①总金额小于100元，最多用1张；②总金额在100元到150元之间，最多用2张；③总金额大于等于150元，最多用3张。分别表示出两种优惠方式的付款金额，再根据“现场优惠比代金券优惠少付15元”列方程求解，舍去不符合取值范围的解，最后计算实际付款金额即可。
【解析】
(1) 已知应付总金额为145元，若用3张代金券，总面值为$3×50=150$元，$150＞145$，不符合使用规则，因此最多可使用2张代金券。
单张代金券优惠金额为$50-25=25$元，
则最多优惠金额为$2×25=50$元。
(2) 设所点其他菜品的总金额为$x$元，则无优惠时应付总金额为$(50+x)$元，分三种情况讨论：
① 当$0＜50+x＜100$，即$0＜x＜50$时，最多使用1张代金券，
使用代金券需支付：$25 + (50+x - 50) = x+25$ 元，
根据题意列方程：$50 + 0.6x = (x+25) - 15$，
解得$x=100$，与$0＜x＜50$矛盾，舍去；
② 当$100≤50+x＜150$，即$50≤x＜100$时，最多使用2张代金券，
使用代金券需支付：$25×2 + (50+x - 100) = x$ 元，
根据题意列方程：$50 + 0.6x = x - 15$，
解得$x=162.5$，与$50≤x＜100$矛盾，舍去；
③ 当$50+x≥150$，即$x≥100$时，最多使用3张代金券，
使用代金券需支付：$25×3 + (50+x - 150) = x - 25$ 元，
根据题意列方程：$50 + 0.6x = (x - 25) - 15$，
解得$x=225$，符合$x≥100$的条件。
则实际支付金额为$50 + 0.6×225 = 185$元。
【答案】
(1) 最多可以优惠50元；
(2) 他们实际付了185元。
【知识点】
一元一次方程应用，分类讨论思想，优惠方案选择
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景出题，贴近生活，既考查了对优惠规则的阅读理解能力，又考查了分类讨论的数学思维和一元一次方程的实际应用能力，解题时需注意对求得的解进行范围验证，避免出现不符合题意的错解。
【难度系数】
0.6
(1) 求解第一问首先要明确代金券使用规则：一次最多用3张，且代金券总面值不能超过应付总金额。先判断145元最多可使用的代金券数量，再计算单张代金券的优惠额，二者相乘即可得到最大优惠金额。
(2) 求解第二问先设其他菜品总金额为x元，无优惠总金额为(50+x)元，根据总金额的不同范围，对应可使用的代金券数量不同，分三种情况讨论：①总金额小于100元，最多用1张；②总金额在100元到150元之间，最多用2张；③总金额大于等于150元，最多用3张。分别表示出两种优惠方式的付款金额，再根据“现场优惠比代金券优惠少付15元”列方程求解，舍去不符合取值范围的解，最后计算实际付款金额即可。
【解析】
(1) 已知应付总金额为145元，若用3张代金券，总面值为$3×50=150$元，$150＞145$，不符合使用规则，因此最多可使用2张代金券。
单张代金券优惠金额为$50-25=25$元，
则最多优惠金额为$2×25=50$元。
(2) 设所点其他菜品的总金额为$x$元，则无优惠时应付总金额为$(50+x)$元，分三种情况讨论：
① 当$0＜50+x＜100$，即$0＜x＜50$时，最多使用1张代金券，
使用代金券需支付：$25 + (50+x - 50) = x+25$ 元，
根据题意列方程：$50 + 0.6x = (x+25) - 15$，
解得$x=100$，与$0＜x＜50$矛盾，舍去；
② 当$100≤50+x＜150$，即$50≤x＜100$时，最多使用2张代金券，
使用代金券需支付：$25×2 + (50+x - 100) = x$ 元，
根据题意列方程：$50 + 0.6x = x - 15$，
解得$x=162.5$，与$50≤x＜100$矛盾，舍去；
③ 当$50+x≥150$，即$x≥100$时，最多使用3张代金券，
使用代金券需支付：$25×3 + (50+x - 150) = x - 25$ 元，
根据题意列方程：$50 + 0.6x = (x - 25) - 15$，
解得$x=225$，符合$x≥100$的条件。
则实际支付金额为$50 + 0.6×225 = 185$元。
【答案】
(1) 最多可以优惠50元；
(2) 他们实际付了185元。
【知识点】
一元一次方程应用，分类讨论思想，优惠方案选择
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景出题，贴近生活，既考查了对优惠规则的阅读理解能力，又考查了分类讨论的数学思维和一元一次方程的实际应用能力，解题时需注意对求得的解进行范围验证，避免出现不符合题意的错解。
【难度系数】
0.6
