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1. 笛卡尔(1596—1650)是法国著名的数学家，于1637年发明了现代数学的基础工具之一——平面直角坐标系。平面直角坐标系的诞生，使我们既可以用几何方法研究代数问题，也可以用代数方法研究几何问题，这主要体现的数学思想是(
A.数形结合思想
B.公理化思想
C.方程思想
D.分类讨论思想
A
)。A.数形结合思想
B.公理化思想
C.方程思想
D.分类讨论思想
答案
1. A
解析
【分析】
解题时首先要抓住题干核心信息：平面直角坐标系可实现几何（“形”）和代数（“数”）两类研究方法的互通，再逐一回忆四个选项对应的数学思想的核心特征，匹配符合题意的选项即可。先明确各思想的核心：数形结合的核心是数与形的转化关联，公理化思想的核心是从基础公理推导其他结论，方程思想的核心是建立等量关系求解问题，分类讨论思想的核心是分情况分析问题，将上述特征和题干描述对应就能选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项对应的数学思想：
A. 数形结合思想：指将抽象的代数（数）和直观的几何（形）相结合，通过二者的互相转化解决数学问题，和题干中“用几何方法研究代数问题，用代数方法研究几何问题”的描述完全吻合。
B. 公理化思想：指从若干不证自明的基本公理出发，推导出其他所有命题的思想，与题干描述无关。
C. 方程思想：指通过设未知数、建立等量关系列方程求解问题的思想，不符合题意。
D. 分类讨论思想：指当问题存在多种可能情况时，分不同类别逐一分析解决的思想，和题干内容无关。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 平面直角坐标系的意义
2. 数学思想识别
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的关键是抓住题干中“几何”与“代数”互通研究的核心表述，准确匹配对应数学思想的内涵即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
解题时首先要抓住题干核心信息：平面直角坐标系可实现几何（“形”）和代数（“数”）两类研究方法的互通，再逐一回忆四个选项对应的数学思想的核心特征，匹配符合题意的选项即可。先明确各思想的核心：数形结合的核心是数与形的转化关联，公理化思想的核心是从基础公理推导其他结论，方程思想的核心是建立等量关系求解问题，分类讨论思想的核心是分情况分析问题，将上述特征和题干描述对应就能选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析各选项对应的数学思想：
A. 数形结合思想：指将抽象的代数（数）和直观的几何（形）相结合，通过二者的互相转化解决数学问题，和题干中“用几何方法研究代数问题，用代数方法研究几何问题”的描述完全吻合。
B. 公理化思想：指从若干不证自明的基本公理出发，推导出其他所有命题的思想，与题干描述无关。
C. 方程思想：指通过设未知数、建立等量关系列方程求解问题的思想，不符合题意。
D. 分类讨论思想：指当问题存在多种可能情况时，分不同类别逐一分析解决的思想，和题干内容无关。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 平面直角坐标系的意义
2. 数学思想识别
【点评】
本题属于基础概念类考题，解题的关键是抓住题干中“几何”与“代数”互通研究的核心表述，准确匹配对应数学思想的内涵即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 如图 3-2-12,在矩形 $ABCD$ 中,$A(-3,2)$,$B(3,2)$,$C(3,-1)$,则点 $D$ 的坐标为(
图 3-2-12
A.$(-2,-1)$
B.$(4,-1)$
C.$(-3,-2)$
D.$(-3,-1)$
D
)。图 3-2-12
A.$(-2,-1)$
B.$(4,-1)$
C.$(-3,-2)$
D.$(-3,-1)$
答案
2. D
解析
【分析】
要解这道题，我们可以结合矩形的性质和平面直角坐标系的坐标特征来思考：首先矩形的两组对边分别平行且相等，观察已知点的坐标，A和B的纵坐标相同，说明AB边平行于x轴；B和C的横坐标相同，说明BC边平行于y轴。由此可知和AB平行的CD边也平行于x轴，和BC平行的AD边平行于y轴，就可以推出D点的横、纵坐标。
【解析】
在矩形ABCD中，满足AB//CD，AD//BC：
1. 已知点A(-3,2)、B(3,2)的纵坐标相等，说明AB边平行于x轴，因此CD边也平行于x轴，即点D的纵坐标与点C(3,-1)的纵坐标相同，为-1；
2. 已知点B(3,2)、C(3,-1)的横坐标相等，说明BC边平行于y轴，因此AD边也平行于y轴，即点D的横坐标与点A(-3,2)的横坐标相同，为-3；
综上可得点D的坐标为(-3,-1)。
【答案】
D
【知识点】
1.矩形的性质
2.平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，结合矩形对边平行的性质，利用平行于坐标轴的直线上点的坐标规律即可快速求解，掌握对应坐标特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
要解这道题，我们可以结合矩形的性质和平面直角坐标系的坐标特征来思考：首先矩形的两组对边分别平行且相等，观察已知点的坐标，A和B的纵坐标相同，说明AB边平行于x轴；B和C的横坐标相同，说明BC边平行于y轴。由此可知和AB平行的CD边也平行于x轴，和BC平行的AD边平行于y轴，就可以推出D点的横、纵坐标。
【解析】
在矩形ABCD中，满足AB//CD，AD//BC：
1. 已知点A(-3,2)、B(3,2)的纵坐标相等，说明AB边平行于x轴，因此CD边也平行于x轴，即点D的纵坐标与点C(3,-1)的纵坐标相同，为-1；
2. 已知点B(3,2)、C(3,-1)的横坐标相等，说明BC边平行于y轴，因此AD边也平行于y轴，即点D的横坐标与点A(-3,2)的横坐标相同，为-3；
综上可得点D的坐标为(-3,-1)。
【答案】
D
【知识点】
1.矩形的性质
2.平面直角坐标系点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，结合矩形对边平行的性质，利用平行于坐标轴的直线上点的坐标规律即可快速求解，掌握对应坐标特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
3. 如图3-2-13，将一个含有$45°$角的三角尺放在平面直角坐标系中，使其顶点$C$，$B$分别在$x$轴、$y$轴上，若点$A$的坐标为$(-3,1)$，则点$B$的坐标为
(0,2)
。答案
3. (0,2)
解析
【分析】
首先明确该三角尺为等腰直角三角形，可得AC=BC，∠ACB=90°，可通过作辅助线构造全等三角形求解坐标。过点A作AD垂直x轴于点D，可得两个直角∠ADC=∠COB=90°，再利用同角的余角相等推出∠DAC=∠BCO，即可证明△ADC和△COB全等，再结合点A的坐标得到对应边的长度，进而求出OB的长度得到点B坐标。
【解析】
过点A作AD⊥x轴于点D，
∵△ABC是含有45°角的直角三角尺，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACD+∠BCO=90°，
∵AD⊥x轴，
∴∠ADC=∠COB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCO（同角的余角相等）。
在△ADC和△COB中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADC=∠ COB\\ ∠ DAC=∠ OCB\\ AC=BC\end{array} $
∴△ADC≌△COB（AAS），
∴AD=OC，DC=OB。
∵点A的坐标为$(-3,1)$，
∴$AD=1$，$OD=3$，
∴$OC=AD=1$，
∴$DC=OD-OC=3-1=2$，
∴$OB=DC=2$，
∵点B在y轴正半轴，
∴点B的坐标为$(0,2)$。
【答案】
$(0,2)$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平面直角坐标系
【点评】
本题是平面直角坐标系与三角形全等结合的典型题型，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，结合等腰直角三角形的性质找到全等条件，再利用坐标的几何意义求解线段长度。
【难度系数】
0.65
首先明确该三角尺为等腰直角三角形，可得AC=BC，∠ACB=90°，可通过作辅助线构造全等三角形求解坐标。过点A作AD垂直x轴于点D，可得两个直角∠ADC=∠COB=90°，再利用同角的余角相等推出∠DAC=∠BCO，即可证明△ADC和△COB全等，再结合点A的坐标得到对应边的长度，进而求出OB的长度得到点B坐标。
【解析】
过点A作AD⊥x轴于点D，
∵△ABC是含有45°角的直角三角尺，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ACD+∠BCO=90°，
∵AD⊥x轴，
∴∠ADC=∠COB=90°，
∴∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCO（同角的余角相等）。
在△ADC和△COB中：
$\{\begin{array}{l}∠ ADC=∠ COB\\ ∠ DAC=∠ OCB\\ AC=BC\end{array} $
∴△ADC≌△COB（AAS），
∴AD=OC，DC=OB。
∵点A的坐标为$(-3,1)$，
∴$AD=1$，$OD=3$，
∴$OC=AD=1$，
∴$DC=OD-OC=3-1=2$，
∴$OB=DC=2$，
∵点B在y轴正半轴，
∴点B的坐标为$(0,2)$。
【答案】
$(0,2)$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平面直角坐标系
【点评】
本题是平面直角坐标系与三角形全等结合的典型题型，解题关键是通过作辅助线构造全等三角形，结合等腰直角三角形的性质找到全等条件，再利用坐标的几何意义求解线段长度。
【难度系数】
0.65
4. 如图3-2-14,在平面直角坐标系中,A(-4,0),C(1,0),若AB=AC,且点B在y轴正半轴上,则点B的坐标为
图3-2-14 图3-2-15
(0,3)
。 图3-2-14 图3-2-15
答案
4. (0,3)
解析
【分析】
解题时首先根据A、C两点都在x轴上的坐标特征，先计算出AC的长度，再结合AB=AC得到AB的长度；由于点B在y轴正半轴上，可知其横坐标为0，设纵坐标为b（b＞0），可在由原点O、点A、点B组成的直角三角形AOB中，利用勾股定理列方程求出b的值，即可得到点B的坐标。
【解析】
解：
∵A(-4,0)，C(1,0)，两点均在x轴上
∴AC的长度为$1 - (-4) = 5$
又
∵AB=AC，
∴AB=5
设点B的坐标为$(0, b)$，其中$b＞0$，原点O坐标为(0,0)
则在Rt△AOB中，OA=|-4|=4，OB=b，AB=5
根据勾股定理：$OA^2 + OB^2 = AB^2$
代入得：$4^2 + b^2 = 5^2$
即$16 + b^2 = 25$，解得$b^2=9$
∵b＞0，
∴b=3
∴点B的坐标为(0,3)
【答案】
(0,3)
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征；勾股定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是坐标与几何的结合题型，解题的核心是先求出已知线段的长度，再结合勾股定理求解未知点的坐标，需要熟练掌握坐标轴上点的坐标特点及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据A、C两点都在x轴上的坐标特征，先计算出AC的长度，再结合AB=AC得到AB的长度；由于点B在y轴正半轴上，可知其横坐标为0，设纵坐标为b（b＞0），可在由原点O、点A、点B组成的直角三角形AOB中，利用勾股定理列方程求出b的值，即可得到点B的坐标。
【解析】
解：
∵A(-4,0)，C(1,0)，两点均在x轴上
∴AC的长度为$1 - (-4) = 5$
又
∵AB=AC，
∴AB=5
设点B的坐标为$(0, b)$，其中$b＞0$，原点O坐标为(0,0)
则在Rt△AOB中，OA=|-4|=4，OB=b，AB=5
根据勾股定理：$OA^2 + OB^2 = AB^2$
代入得：$4^2 + b^2 = 5^2$
即$16 + b^2 = 25$，解得$b^2=9$
∵b＞0，
∴b=3
∴点B的坐标为(0,3)
【答案】
(0,3)
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标特征；勾股定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是坐标与几何的结合题型，解题的核心是先求出已知线段的长度，再结合勾股定理求解未知点的坐标，需要熟练掌握坐标轴上点的坐标特点及勾股定理的应用。
【难度系数】
0.8
5. 定义:如图 3-2-15,在平面直角坐标系中,点$A(x,y)$是平面内任意一点(坐标轴上的点除外),过点$A$分别作$x$轴、$y$轴的垂线,垂足分别为点$B,C$。若此时长方形$OBAC$的周长与面积的数值相等,则点$A$叫作“等周积点”。若点$P(10,a)$是“等周积点”,则$a$的值为
$\pm \frac{5}{2}$
。答案
5. $\pm \frac{5}{2}$
解析
【分析】
首先要正确理解“等周积点”的定义：点不在坐标轴上，过点作两坐标轴的垂线，所得长方形的周长数值与面积数值相等。解题时先确定点P(10,a)对应长方形的长和宽（用横纵坐标的绝对值表示，长度为非负数），再根据周长和面积数值相等建立方程，最后求解绝对值方程即可得到a的值，注意排除a=0的情况。
【解析】
∵点P(10,a)是“等周积点”，且不在坐标轴上，
∴a≠0，过P作x轴、y轴的垂线，所得长方形的长为|10|=10，宽为|a|。
根据“等周积点”的定义，长方形周长数值=面积数值，可列方程：
$2×(10 + |a|) = 10×|a|$
展开得：$20 + 2|a| = 10|a|$
移项合并得：$8|a| = 20$
解得：$|a| = \frac{5}{2}$
∴$a = \pm\frac{5}{2}$
【答案】
$\pm \frac{5}{2}$
【知识点】
新定义问题，平面直角坐标系，绝对值方程
【点评】
本题考查新定义类题型的解法，核心是把新定义的文字规则转化为数学等量关系，解题时要注意坐标可正可负，对应线段长度需要加绝对值，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先要正确理解“等周积点”的定义：点不在坐标轴上，过点作两坐标轴的垂线，所得长方形的周长数值与面积数值相等。解题时先确定点P(10,a)对应长方形的长和宽（用横纵坐标的绝对值表示，长度为非负数），再根据周长和面积数值相等建立方程，最后求解绝对值方程即可得到a的值，注意排除a=0的情况。
【解析】
∵点P(10,a)是“等周积点”，且不在坐标轴上，
∴a≠0，过P作x轴、y轴的垂线，所得长方形的长为|10|=10，宽为|a|。
根据“等周积点”的定义，长方形周长数值=面积数值，可列方程：
$2×(10 + |a|) = 10×|a|$
展开得：$20 + 2|a| = 10|a|$
移项合并得：$8|a| = 20$
解得：$|a| = \frac{5}{2}$
∴$a = \pm\frac{5}{2}$
【答案】
$\pm \frac{5}{2}$
【知识点】
新定义问题，平面直角坐标系，绝对值方程
【点评】
本题考查新定义类题型的解法，核心是把新定义的文字规则转化为数学等量关系，解题时要注意坐标可正可负，对应线段长度需要加绝对值，避免漏解。
【难度系数】
0.6
6. 在一次夏令营活动中，老师将一份行动计划藏在没有任何标记的点C处，只告诉大家两个标志点A，B的坐标分别为$(-3,1),(-2,-3)$，以及点C的坐标为$(3,2)$，如图3-2-16。图中每个小正方形的边长表示1 km。
(1)请在图3-2-16中建立平面直角坐标系并确定点C的位置；
(2)若同学们打算从点B处直接赶往点C处，已知$BC=5\sqrt{2}\ \mathrm{km}$，请用方向和距离描述点C相对于点B的位置。
图3-2-16
(1)请在图3-2-16中建立平面直角坐标系并确定点C的位置；
(2)若同学们打算从点B处直接赶往点C处，已知$BC=5\sqrt{2}\ \mathrm{km}$，请用方向和距离描述点C相对于点B的位置。
图3-2-16
答案
6. 解:(1)根据 $A(-3,1),B(-2,-3)$画出平面直角坐标系,描出点 $C(3,2)$,如
。(2)如
,取 $E(3,-3)$。因为 $C(3,2),B(-2,-3)$,
$BC=5\sqrt{2}\ \mathrm{km},BE=CE=5\ \mathrm{km}$,
$∠ BEC=90°$,
所以 $∠ EBC=45°$,
所以点 $C$ 在点 $B$ 的东北方向上,距离点 $B$ $5\sqrt{2}\ \mathrm{km}$ 处。
解析
【分析】
(1) 要建立平面直角坐标系，需先根据已知点A、B的坐标确定原点、x轴和y轴的位置：A点坐标为$(-3,1)$，说明原点在A点右侧3个单位、下方1个单位的位置，规定x轴水平向右为正方向，y轴竖直向上为正方向，建立坐标系后再根据C点坐标$(3,2)$描出对应点即可。
(2) 要描述点C相对于点B的位置，需确定方向和距离：距离题目已给出，方向可通过构造直角三角形判断，取横坐标与C相同、纵坐标与B相同的点$E(3,-3)$，可证$△ BEC$为等腰直角三角形，得出方位角后即可完整描述相对位置。
【解析】
(1) ① 根据$A(-3,1)$、$B(-2,-3)$的坐标确定原点O的位置，以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系；② 根据点C的坐标$(3,2)$，在坐标系中找到横坐标为3、纵坐标为2的位置，描出点C，结果如。
(2) 如，取点$E(3,-3)$：
由$B(-2,-3)$、$E(3,-3)$可得，$BE=3-(-2)=5\ \mathrm{km}$；
由$C(3,2)$、$E(3,-3)$可得，$CE=2-(-3)=5\ \mathrm{km}$；
且$∠BEC=90°$，因此$△ BEC$是等腰直角三角形，$∠EBC=45°$。
已知$BC=5\sqrt{2}\ \mathrm{km}$，因此点C在点B的东北方向，距离点B$5\sqrt{2}\ \mathrm{km}$处。
【答案】
(1) 建立平面直角坐标系并描出点C如；
(2) 点C在点B的东北方向上，距离点B$5\sqrt{2}\ \mathrm{km}$处。
【知识点】
1. 平面直角坐标系建立
2. 坐标描点
3. 方位角定位
【点评】
本题结合实际活动场景，考查了平面直角坐标系的实际应用和相对位置的描述，解题的核心是准确根据已知点坐标确定坐标系，再结合等腰直角三角形的性质判断方位，兼具基础性和实用性。
【难度系数】
0.8
(1) 要建立平面直角坐标系，需先根据已知点A、B的坐标确定原点、x轴和y轴的位置：A点坐标为$(-3,1)$，说明原点在A点右侧3个单位、下方1个单位的位置，规定x轴水平向右为正方向，y轴竖直向上为正方向，建立坐标系后再根据C点坐标$(3,2)$描出对应点即可。
(2) 要描述点C相对于点B的位置，需确定方向和距离：距离题目已给出，方向可通过构造直角三角形判断，取横坐标与C相同、纵坐标与B相同的点$E(3,-3)$，可证$△ BEC$为等腰直角三角形，得出方位角后即可完整描述相对位置。
【解析】
(1) ① 根据$A(-3,1)$、$B(-2,-3)$的坐标确定原点O的位置，以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立平面直角坐标系；② 根据点C的坐标$(3,2)$，在坐标系中找到横坐标为3、纵坐标为2的位置，描出点C，结果如
。(2) 如
，取点$E(3,-3)$：由$B(-2,-3)$、$E(3,-3)$可得，$BE=3-(-2)=5\ \mathrm{km}$；
由$C(3,2)$、$E(3,-3)$可得，$CE=2-(-3)=5\ \mathrm{km}$；
且$∠BEC=90°$，因此$△ BEC$是等腰直角三角形，$∠EBC=45°$。
已知$BC=5\sqrt{2}\ \mathrm{km}$，因此点C在点B的东北方向，距离点B$5\sqrt{2}\ \mathrm{km}$处。
【答案】
(1) 建立平面直角坐标系并描出点C如
；(2) 点C在点B的东北方向上，距离点B$5\sqrt{2}\ \mathrm{km}$处。
【知识点】
1. 平面直角坐标系建立
2. 坐标描点
3. 方位角定位
【点评】
本题结合实际活动场景，考查了平面直角坐标系的实际应用和相对位置的描述，解题的核心是准确根据已知点坐标确定坐标系，再结合等腰直角三角形的性质判断方位，兼具基础性和实用性。
【难度系数】
0.8
