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二、拓展性作业
9. 如图3-2-10，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为$(-a,2a)$，$(3a,2a)$，其中$a＞0$，点A为BC的中点，若$BC=4$，解决下列问题：
(1) BC所在直线与x轴的位置关系是
(2) 求出$a$的值，并写出点A，C的坐标。
(3) 在$y$轴上是否存在一点$P$，使得$△ PAC$的面积等于5？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
9. 如图3-2-10，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为$(-a,2a)$，$(3a,2a)$，其中$a＞0$，点A为BC的中点，若$BC=4$，解决下列问题：
(1) BC所在直线与x轴的位置关系是
平行
。(2) 求出$a$的值，并写出点A，C的坐标。
(3) 在$y$轴上是否存在一点$P$，使得$△ PAC$的面积等于5？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。
答案
9. (1) 平行
(2) 解: 因为 $BC=4$，所以 $3a-(-a)=4$，解得 $a=1$，所以点 $B$ 的坐标为 $(-1,2)$，点 $C$ 的坐标为 $(3,2)$。因为点 $A$ 为 $BC$ 的中点，所以点 $A$ 的坐标为 $(1,2)$。
(3) 解:存在。理由:设 $P(0,m)$。因为 $AC=2$，所以 $S_{△ PAC}=\frac{1}{2}×2×|m-2|=5$，解得 $m=-3$ 或 $m=7$，所以点 $P$ 的坐标为 $(0,-3)$ 或 $(0,7)$。
(2) 解: 因为 $BC=4$，所以 $3a-(-a)=4$，解得 $a=1$，所以点 $B$ 的坐标为 $(-1,2)$，点 $C$ 的坐标为 $(3,2)$。因为点 $A$ 为 $BC$ 的中点，所以点 $A$ 的坐标为 $(1,2)$。
(3) 解:存在。理由:设 $P(0,m)$。因为 $AC=2$，所以 $S_{△ PAC}=\frac{1}{2}×2×|m-2|=5$，解得 $m=-3$ 或 $m=7$，所以点 $P$ 的坐标为 $(0,-3)$ 或 $(0,7)$。
解析
【分析】
1. 第(1)问解题思路：观察点B、C的坐标发现二者纵坐标相同，根据平面直角坐标系的性质，纵坐标相同的点所在直线平行于x轴，即可直接判断位置关系。
2. 第(2)问解题思路：平行于x轴的线段长度等于线段两端点横坐标之差的绝对值，结合已知BC=4列方程即可求出a的值，代入得到B、C坐标后，根据中点坐标的计算规律（横坐标为两端点横坐标的平均数，纵坐标与两端点一致）即可求出点A的坐标。
3. 第(3)问解题思路：先假设y轴上存在点P，y轴上点的横坐标都为0，故设P(0,m)。先求出AC的长度，由于AC平行于x轴，因此△PAC中AC边上的高为点P到直线AC的竖直距离，即P与A的纵坐标差的绝对值，代入三角形面积公式列方程，若方程有解则点P存在，求解即可得到P的坐标。
【解析】
(1) 点B、C的纵坐标均为2a，纵坐标相等，因此BC所在直线与x轴平行。
(2) 解：
∵BC平行于x轴，BC的长度为两点横坐标的差，因此
$3a - (-a) = 4$
化简得$4a=4$，解得$a=1$。
将$a=1$代入坐标得：点C坐标为$(3×1,2×1)=(3,2)$，点B坐标为$(-1,2)$。
∵点A为BC的中点，横坐标为B、C横坐标的平均数，纵坐标不变，因此点A的横坐标为$\frac{-1+3}{2}=1$，纵坐标为2，即$A(1,2)$。
(3) 解：存在，理由如下：
设y轴上点P的坐标为$(0,m)$，
∵$A(1,2)$，$C(3,2)$，
∴$AC=3-1=2$，
△PAC以AC为底时，高为点P到直线$y=2$的竖直距离，即$|m-2|$，
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ PAC}=\frac{1}{2}×AC×|m-2|=\frac{1}{2}×2×|m-2|=5$
化简得$|m-2|=5$，
∴$m-2=5$或$m-2=-5$，解得$m=7$或$m=-3$，
因此点P的坐标为$(0,7)$或$(0,-3)$。
【答案】
(1) 平行
(2) $a=1$，$A(1,2)$，$C(3,2)$
(3) 存在，点P的坐标为$(0,-3)$或$(0,7)$
【知识点】
1. 平行于x轴的直线特征
2. 中点坐标计算
3. 三角形面积计算
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础综合题，解题的核心是利用平行于坐标轴的直线的坐标特点简化距离、面积的计算，解决存在性问题时要注意绝对值对应两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问解题思路：观察点B、C的坐标发现二者纵坐标相同，根据平面直角坐标系的性质，纵坐标相同的点所在直线平行于x轴，即可直接判断位置关系。
2. 第(2)问解题思路：平行于x轴的线段长度等于线段两端点横坐标之差的绝对值，结合已知BC=4列方程即可求出a的值，代入得到B、C坐标后，根据中点坐标的计算规律（横坐标为两端点横坐标的平均数，纵坐标与两端点一致）即可求出点A的坐标。
3. 第(3)问解题思路：先假设y轴上存在点P，y轴上点的横坐标都为0，故设P(0,m)。先求出AC的长度，由于AC平行于x轴，因此△PAC中AC边上的高为点P到直线AC的竖直距离，即P与A的纵坐标差的绝对值，代入三角形面积公式列方程，若方程有解则点P存在，求解即可得到P的坐标。
【解析】
(1) 点B、C的纵坐标均为2a，纵坐标相等，因此BC所在直线与x轴平行。
(2) 解：
∵BC平行于x轴，BC的长度为两点横坐标的差，因此
$3a - (-a) = 4$
化简得$4a=4$，解得$a=1$。
将$a=1$代入坐标得：点C坐标为$(3×1,2×1)=(3,2)$，点B坐标为$(-1,2)$。
∵点A为BC的中点，横坐标为B、C横坐标的平均数，纵坐标不变，因此点A的横坐标为$\frac{-1+3}{2}=1$，纵坐标为2，即$A(1,2)$。
(3) 解：存在，理由如下：
设y轴上点P的坐标为$(0,m)$，
∵$A(1,2)$，$C(3,2)$，
∴$AC=3-1=2$，
△PAC以AC为底时，高为点P到直线$y=2$的竖直距离，即$|m-2|$，
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ PAC}=\frac{1}{2}×AC×|m-2|=\frac{1}{2}×2×|m-2|=5$
化简得$|m-2|=5$，
∴$m-2=5$或$m-2=-5$，解得$m=7$或$m=-3$，
因此点P的坐标为$(0,7)$或$(0,-3)$。
【答案】
(1) 平行
(2) $a=1$，$A(1,2)$，$C(3,2)$
(3) 存在，点P的坐标为$(0,-3)$或$(0,7)$
【知识点】
1. 平行于x轴的直线特征
2. 中点坐标计算
3. 三角形面积计算
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础综合题，解题的核心是利用平行于坐标轴的直线的坐标特点简化距离、面积的计算，解决存在性问题时要注意绝对值对应两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
10. 在数学课上,老师提出一个问题让大家思考:如何求出平面直角坐标系中两点之间的距离呢?
(1)勤奋小组的同学提出:若点$A(-4,0)$和点$B(2,0)$都在$x$轴上,则$AB=|-4-2|=6$,若点$C(0,3)$和点$D(0,-5)$都在$y$轴上,则$CD=$
(2)勤思小组的同学进一步提出想法:如图3-2-11①所示,已知点$A(-3,0),B(2,3)$,求$AB$的长度,可以作$BC⊥ x$轴,垂足为$C$,则$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}$,依据是
(3)勤学小组的同学根据前两组同学的想法,提出自己的思路:如图3-2-11②所示,已知点$A(-3,2),B(2,5)$,求$AB$的长度,作$AD⊥ x$轴,垂足为$D$,作$BE⊥ x$轴,垂足为$E$,作$AF⊥ BE$,垂足为$F$,则$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}$,而$AF=|-3-2|=5,BF=|2-5|=3$,所以$AB=\sqrt{(-3-2)^2+(2-5)^2}=\sqrt{34}$,由此他们总结出平面直角坐标系中两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$之间的距离的求解方法:当$A,B$的纵坐标相等时,$AB=$
请你利用勤学小组归纳的方法解决以下问题:
①已知$A(3,-1),B(5,4)$,请求出$AB$的长度;
②已知在平面直角坐标系中,$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(1,1),B(4,2),C(2,8)$,请求出$△ ABC$的面积。
图3-2-11
(1)勤奋小组的同学提出:若点$A(-4,0)$和点$B(2,0)$都在$x$轴上,则$AB=|-4-2|=6$,若点$C(0,3)$和点$D(0,-5)$都在$y$轴上,则$CD=$
8
;若点$A(-4,5)$和点$B(2,5)$,则$AB=|-4-2|=6$,若点$C(4,3)$和点$D(4,-5)$,则$CD=$8
。像这样,如果两个点在同一条坐标轴上或在同一条平行于坐标轴的直线上时,两点之间的距离比较好算,但两个点是任意位置时,他们没有想出办法来解决。(2)勤思小组的同学进一步提出想法:如图3-2-11①所示,已知点$A(-3,0),B(2,3)$,求$AB$的长度,可以作$BC⊥ x$轴,垂足为$C$,则$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}$,依据是
勾股定理
,而$AC=|-3-2|=5,BC=|0-3|=3$,所以$AB=$$\sqrt{34}$
。(3)勤学小组的同学根据前两组同学的想法,提出自己的思路:如图3-2-11②所示,已知点$A(-3,2),B(2,5)$,求$AB$的长度,作$AD⊥ x$轴,垂足为$D$,作$BE⊥ x$轴,垂足为$E$,作$AF⊥ BE$,垂足为$F$,则$AB=\sqrt{AF^2+BF^2}$,而$AF=|-3-2|=5,BF=|2-5|=3$,所以$AB=\sqrt{(-3-2)^2+(2-5)^2}=\sqrt{34}$,由此他们总结出平面直角坐标系中两点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$之间的距离的求解方法:当$A,B$的纵坐标相等时,$AB=$
$|x_1-x_2|$
;当$A,B$的横坐标相等时,$AB=$$|y_1-y_2|$
;当$AB$为一条倾斜的线段时,$AB=$$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
。(请用含$x_1,x_2,y_1,y_2$的式子表示)请你利用勤学小组归纳的方法解决以下问题:
①已知$A(3,-1),B(5,4)$,请求出$AB$的长度;
②已知在平面直角坐标系中,$△ ABC$的顶点坐标分别为$A(1,1),B(4,2),C(2,8)$,请求出$△ ABC$的面积。
图3-2-11
答案
10. (1) 8 8
(2) 勾股定理 $\sqrt{34}$
(3) $|x_1-x_2|$ $|y_1-y_2|$ $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
①解:因为 $A(3,-1),B(5,4)$，所以 $AB=\sqrt{(5-3)^2+(4+1)^2}=\sqrt{29}$。
②解:因为 $A(1,1),B(4,2),C(2,8)$，所以 $AB=\sqrt{(4-1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{10}$，$AC=\sqrt{(2-1)^2+(8-1)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{(4-2)^2+(2-8)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，所以 $AB^2+BC^2=AC^2$，所以 $∠ ABC=90°$，所以 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×\sqrt{10}×2\sqrt{10}=10$。
(2) 勾股定理 $\sqrt{34}$
(3) $|x_1-x_2|$ $|y_1-y_2|$ $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
①解:因为 $A(3,-1),B(5,4)$，所以 $AB=\sqrt{(5-3)^2+(4+1)^2}=\sqrt{29}$。
②解:因为 $A(1,1),B(4,2),C(2,8)$，所以 $AB=\sqrt{(4-1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{10}$，$AC=\sqrt{(2-1)^2+(8-1)^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{(4-2)^2+(2-8)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$，所以 $AB^2+BC^2=AC^2$，所以 $∠ ABC=90°$，所以 $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×\sqrt{10}×2\sqrt{10}=10$。
解析
【分析】
本题围绕平面直角坐标系中两点距离的推导与应用展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：同坐标轴或平行于坐标轴的两点，距离为相同坐标差的绝对值，y轴上的点和平行于y轴的直线上的点，距离为纵坐标差的绝对值，直接计算即可。
2. 第(2)问：过B作x轴垂线构造直角三角形，利用勾股定理求斜边AB的长度，代入AC、BC的长度计算即可。
3. 第(3)问：结合前两问结论归纳三类情况的两点距离公式；应用部分①直接代入距离公式计算；②先计算三角形三边长度，用勾股定理逆定理判断为直角三角形后，再用直角三角形面积公式求解。
【解析】
(1) 点C(0,3)、D(0,-5)在y轴上，$CD=|3-(-5)|=8$；点C(4,3)、D(4,-5)横坐标相同，直线CD平行于y轴，$CD=|3-(-5)|=8$。
(2) 直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，依据是勾股定理；已知$AC=5$，$BC=3$，则$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$。
(3) 当A、B纵坐标相等时，直线AB平行于x轴，$AB=|x_1-x_2|$；当A、B横坐标相等时，直线AB平行于y轴，$AB=|y_1-y_2|$；倾斜线段长度由勾股定理得$AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。
① 代入A(3,-1)、B(5,4)到距离公式：
$AB=\sqrt{(5-3)^2+(4-(-1))^2}=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$。
② 先计算△ABC三边长：
$AB=\sqrt{(4-1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$，
$AC=\sqrt{(2-1)^2+(8-1)^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(4-2)^2+(2-8)^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
验证得$AB^2+BC^2=(\sqrt{10})^2+(2\sqrt{10})^2=10+40=50=(5\sqrt{2})^2=AC^2$，由勾股定理逆定理得$∠ ABC=90°$，
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×\sqrt{10}×2\sqrt{10}=10$。
【答案】
(1) $8$；$8$
(2) 勾股定理；$\sqrt{34}$
(3) $|x_1-x_2|$；$|y_1-y_2|$；$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
① $AB=\sqrt{29}$
② $S_{△ ABC}=10$
【知识点】
勾股定理，两点间距离公式，直角三角形面积计算
【点评】
本题从特殊情形入手推导平面直角坐标系两点间距离公式，考查对公式的理解和灵活应用能力，同时结合勾股定理逆定理判断直角三角形，注重对探究过程和知识迁移能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题围绕平面直角坐标系中两点距离的推导与应用展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：同坐标轴或平行于坐标轴的两点，距离为相同坐标差的绝对值，y轴上的点和平行于y轴的直线上的点，距离为纵坐标差的绝对值，直接计算即可。
2. 第(2)问：过B作x轴垂线构造直角三角形，利用勾股定理求斜边AB的长度，代入AC、BC的长度计算即可。
3. 第(3)问：结合前两问结论归纳三类情况的两点距离公式；应用部分①直接代入距离公式计算；②先计算三角形三边长度，用勾股定理逆定理判断为直角三角形后，再用直角三角形面积公式求解。
【解析】
(1) 点C(0,3)、D(0,-5)在y轴上，$CD=|3-(-5)|=8$；点C(4,3)、D(4,-5)横坐标相同，直线CD平行于y轴，$CD=|3-(-5)|=8$。
(2) 直角三角形两直角边平方和等于斜边平方，依据是勾股定理；已知$AC=5$，$BC=3$，则$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34}$。
(3) 当A、B纵坐标相等时，直线AB平行于x轴，$AB=|x_1-x_2|$；当A、B横坐标相等时，直线AB平行于y轴，$AB=|y_1-y_2|$；倾斜线段长度由勾股定理得$AB=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$。
① 代入A(3,-1)、B(5,4)到距离公式：
$AB=\sqrt{(5-3)^2+(4-(-1))^2}=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$。
② 先计算△ABC三边长：
$AB=\sqrt{(4-1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$，
$AC=\sqrt{(2-1)^2+(8-1)^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$，
$BC=\sqrt{(4-2)^2+(2-8)^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
验证得$AB^2+BC^2=(\sqrt{10})^2+(2\sqrt{10})^2=10+40=50=(5\sqrt{2})^2=AC^2$，由勾股定理逆定理得$∠ ABC=90°$，
则$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×\sqrt{10}×2\sqrt{10}=10$。
【答案】
(1) $8$；$8$
(2) 勾股定理；$\sqrt{34}$
(3) $|x_1-x_2|$；$|y_1-y_2|$；$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
① $AB=\sqrt{29}$
② $S_{△ ABC}=10$
【知识点】
勾股定理，两点间距离公式，直角三角形面积计算
【点评】
本题从特殊情形入手推导平面直角坐标系两点间距离公式，考查对公式的理解和灵活应用能力，同时结合勾股定理逆定理判断直角三角形，注重对探究过程和知识迁移能力的考查。
【难度系数】
0.7
