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1. 如图1-4-1,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$, $AC=8\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,$D$是$AB$边上的一个动点,线段$CD$的最小值是(
A.$2.4\ \mathrm{cm}$
B.$4.8\ \mathrm{cm}$
C.$5\ \mathrm{cm}$
D.$6\ \mathrm{cm}$
B
)。A.$2.4\ \mathrm{cm}$
B.$4.8\ \mathrm{cm}$
C.$5\ \mathrm{cm}$
D.$6\ \mathrm{cm}$
答案
1. B
解析
【分析】
要解决动点D在线段AB上时CD的最小值问题，首先回忆点到直线的距离性质：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短。因此当CD垂直于AB时，CD的长度最小，此时CD是Rt△ABC斜边上的高。接下来只需要先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再通过三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等式，即可求出最短CD的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8\mathrm{cm}$，$BC=6\mathrm{cm}$，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\mathrm{cm}$
根据垂线段最短的性质，当$CD⊥ AB$时，线段$CD$的长度最小。
三角形$ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}× AC× BC$，也可表示为$\frac{1}{2}× AB× CD$，因此有：
$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× CD$
化简得：$48=10CD$，解得$CD=4.8\mathrm{cm}$
即线段$CD$的最小值是$4.8\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
垂线段最短；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是动点最值的基础题型，解题的关键是明确垂线段最短确定CD最短的位置，再灵活运用面积法求解直角三角形斜边上的高，这类题型是几何中的常考类型，需熟练掌握面积法的应用技巧。
【难度系数】
0.7
要解决动点D在线段AB上时CD的最小值问题，首先回忆点到直线的距离性质：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短。因此当CD垂直于AB时，CD的长度最小，此时CD是Rt△ABC斜边上的高。接下来只需要先利用勾股定理求出斜边AB的长度，再通过三角形面积的两种计算方法（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）建立等式，即可求出最短CD的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=8\mathrm{cm}$，$BC=6\mathrm{cm}$，根据勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10\mathrm{cm}$
根据垂线段最短的性质，当$CD⊥ AB$时，线段$CD$的长度最小。
三角形$ABC$的面积可表示为$\frac{1}{2}× AC× BC$，也可表示为$\frac{1}{2}× AB× CD$，因此有：
$\frac{1}{2}×8×6=\frac{1}{2}×10× CD$
化简得：$48=10CD$，解得$CD=4.8\mathrm{cm}$
即线段$CD$的最小值是$4.8\mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
垂线段最短；勾股定理；三角形面积计算
【点评】
本题是动点最值的基础题型，解题的关键是明确垂线段最短确定CD最短的位置，再灵活运用面积法求解直角三角形斜边上的高，这类题型是几何中的常考类型，需熟练掌握面积法的应用技巧。
【难度系数】
0.7
2. 图1-4-2是一个底面圆周长为24 m、高为5 m的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A到点B所经过的最短路线长为（
A.12 m
B.15 m
C.13 m
D.10 m
C
）。A.12 m
B.15 m
C.13 m
D.10 m
答案
2. C
解析
【分析】
要计算圆柱侧面上两点之间的最短路线，需先将立体的圆柱侧面展开为平面图形，依据“两点之间，线段最短”，连接两点的线段长度就是最短路线。展开后得到长方形，长方形的长等于圆柱底面圆的周长，宽等于圆柱的高，再找到点A、B在展开图中的对应位置，构造直角三角形，最后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
将圆柱的侧面沿过点A的母线展开，得到一个长方形：
1. 长方形的长等于底面圆的周长24 m，宽等于圆柱的高5 m；
2. 点A到点B的水平距离为底面周长的一半，即$24÷2=12\ \mathrm{m}$，竖直距离等于圆柱的高5 m；
3. 根据勾股定理，最短路线长为直角三角形的斜边长：$\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{m}$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
圆柱侧面展开、勾股定理、最短路径计算
【点评】
本题是曲面最短路径的典型应用题，解题核心是将立体曲面转化为平面图形，再结合两点之间线段最短的原理和勾股定理求解，需注意路径对应的水平长度是底面周长的一半，而非整个周长。
【难度系数】
0.7
要计算圆柱侧面上两点之间的最短路线，需先将立体的圆柱侧面展开为平面图形，依据“两点之间，线段最短”，连接两点的线段长度就是最短路线。展开后得到长方形，长方形的长等于圆柱底面圆的周长，宽等于圆柱的高，再找到点A、B在展开图中的对应位置，构造直角三角形，最后用勾股定理计算线段长度即可。
【解析】
将圆柱的侧面沿过点A的母线展开，得到一个长方形：
1. 长方形的长等于底面圆的周长24 m，宽等于圆柱的高5 m；
2. 点A到点B的水平距离为底面周长的一半，即$24÷2=12\ \mathrm{m}$，竖直距离等于圆柱的高5 m；
3. 根据勾股定理，最短路线长为直角三角形的斜边长：$\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\ \mathrm{m}$。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
圆柱侧面展开、勾股定理、最短路径计算
【点评】
本题是曲面最短路径的典型应用题，解题核心是将立体曲面转化为平面图形，再结合两点之间线段最短的原理和勾股定理求解，需注意路径对应的水平长度是底面周长的一半，而非整个周长。
【难度系数】
0.7
3. 如图1-4-3，在一块长方形水泥地ABCD上，放着一个特制的长方体集装箱。已知AD=6 m，AB=4 m，该集装箱的横截面是边长为2 m的正方形，较长边与AD平行，一只蚂蚁从点A爬过集装箱到达点C处，爬行的最短距离是
图1-4-3
10
m。图1-4-3
答案
3. 10
解析
【分析】
这是典型的立体表面最短路径求解问题，核心解题思路是“化立体为平面”：首先将蚂蚁爬行经过的集装箱表面与水泥地所在的平面展开为同一平面，根据“两点之间，线段最短”，此时A、C两点的连线段就是最短爬行路径；接下来确定展开后直角三角形的两条直角边长度：已知集装箱横截面是边长为2m的正方形，且长边与AD平行，因此展开后，沿AD方向的边长与原AD长度相等，为6m，沿AB方向的总长度为原AB长度加上2倍的正方形横截面边长（即爬过集装箱需要额外经过的两段边长），即4+2×2=8m；最后利用勾股定理计算线段AC的长度即可得到答案。
【解析】
解：将集装箱的表面展开，使点A、C所在平面处于同一平面内，根据两点之间线段最短，此时线段AC的长度即为蚂蚁爬行的最短距离。
由题意得，展开后构成的直角三角形的两条直角边长度分别为：
一条直角边：$ AD = 6\ \mathrm{m} $
另一条直角边：$ AB + 2× 2 = 4 + 4 = 8\ \mathrm{m} $
根据勾股定理，最短路径长度为：
$ AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{m} $
【答案】
10
【知识点】
最短路径问题；勾股定理；立体图形展开
【点评】
本题是最短路径的常规应用题型，解题的关键是掌握立体图形平面展开的方法，结合两点之间线段最短的原理确定最短路径，再用勾股定理计算，解题时要注意准确对应展开前后各边的长度，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
这是典型的立体表面最短路径求解问题，核心解题思路是“化立体为平面”：首先将蚂蚁爬行经过的集装箱表面与水泥地所在的平面展开为同一平面，根据“两点之间，线段最短”，此时A、C两点的连线段就是最短爬行路径；接下来确定展开后直角三角形的两条直角边长度：已知集装箱横截面是边长为2m的正方形，且长边与AD平行，因此展开后，沿AD方向的边长与原AD长度相等，为6m，沿AB方向的总长度为原AB长度加上2倍的正方形横截面边长（即爬过集装箱需要额外经过的两段边长），即4+2×2=8m；最后利用勾股定理计算线段AC的长度即可得到答案。
【解析】
解：将集装箱的表面展开，使点A、C所在平面处于同一平面内，根据两点之间线段最短，此时线段AC的长度即为蚂蚁爬行的最短距离。
由题意得，展开后构成的直角三角形的两条直角边长度分别为：
一条直角边：$ AD = 6\ \mathrm{m} $
另一条直角边：$ AB + 2× 2 = 4 + 4 = 8\ \mathrm{m} $
根据勾股定理，最短路径长度为：
$ AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\ \mathrm{m} $
【答案】
10
【知识点】
最短路径问题；勾股定理；立体图形展开
【点评】
本题是最短路径的常规应用题型，解题的关键是掌握立体图形平面展开的方法，结合两点之间线段最短的原理确定最短路径，再用勾股定理计算，解题时要注意准确对应展开前后各边的长度，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
4. 有一根70 cm长的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm，40 cm，30 cm的木箱中，能放进去吗？
答案
4. 解:如答图 1-4-1 所示,
$AA' = 30\ \mathrm{cm}$,$A' B' = 50\ \mathrm{cm}$,$B' C' = 40\ \mathrm{cm}$。易知$△ A' B' C'$,$△ AA' C'$都为直角三角形。由勾股定理得$A' C'^2 = A' B'^2 + B' C'^2$。在直角三角形$AA' C'$中,$AC'$最长,则$AC'^2 = AA'^2 + A' C'^2 = AA'^2 + A' B'^2 + B' C'^2 = 30^2 + 50^2 + 40^2 = 5000 ＞ 70^2$。
故 70 cm 长的木棒能放入长、宽、高分别为 50 cm,40 cm,30 cm 的木箱中。
解析
【分析】
要判断木棒能否放入木箱，首先要明确木箱内能容纳的最长线段是长方体的体对角线，我们只需要计算出体对角线的长度，再和木棒长度比较即可。解题时可分两步运用勾股定理：第一步先计算长方体底面的对角线长度，第二步将底面对角线和长方体的高作为直角边，再次用勾股定理求出体对角线的长度，通过比较体对角线与木棒的长度大小得到最终结论。
【解析】
如答图1-4-1所示， 已知木箱的高$AA' = 30\ \mathrm{cm}$，底面长$A' B' = 50\ \mathrm{cm}$，底面宽$B' C' = 40\ \mathrm{cm}$。
1. 计算底面对角线$A'C'$的平方：
在$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中，根据勾股定理可得$A' C'^2 = A' B'^2 + B' C'^2$。
2. 计算体对角线$AC'$的平方：
在$\mathrm{Rt}△ AA'C'$中，$AC'$是木箱内的最长线段，根据勾股定理可得：
$AC'^2 = AA'^2 + A' C'^2 = AA'^2 + A' B'^2 + B' C'^2$
代入数值计算得：$AC'^2 = 30^2 + 50^2 + 40^2 = 900+2500+1600=5000$
木棒长度的平方为$70^2=4900$，因为$5000＞4900$，所以体对角线长度大于70cm。
【答案】
如答图 1-4-1 所示, $AA' = 30\ \mathrm{cm}$,$A' B' = 50\ \mathrm{cm}$,$B' C' = 40\ \mathrm{cm}$。
易知$△ A' B' C'$,$△ AA' C'$都为直角三角形。由勾股定理得$A' C'^2 = A' B'^2 + B' C'^2$。在直角三角形$AA' C'$中,$AC'$最长,则$AC'^2 = AA'^2 + A' C'^2 = AA'^2 + A' B'^2 + B' C'^2 = 30^2 + 50^2 + 40^2 = 5000 ＞ 70^2$。
故 70 cm 长的木棒能放入长、宽、高分别为 50 cm,40 cm,30 cm 的木箱中。
【知识点】
勾股定理的应用；长方体体对角线计算
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类基础题，解题关键是明确长方体内最长线段为体对角线，通过两次勾股定理计算即可得出结果，计算时直接比较平方大小可简化运算，避免开方计算的麻烦。
【难度系数】
0.8
要判断木棒能否放入木箱，首先要明确木箱内能容纳的最长线段是长方体的体对角线，我们只需要计算出体对角线的长度，再和木棒长度比较即可。解题时可分两步运用勾股定理：第一步先计算长方体底面的对角线长度，第二步将底面对角线和长方体的高作为直角边，再次用勾股定理求出体对角线的长度，通过比较体对角线与木棒的长度大小得到最终结论。
【解析】
如答图1-4-1所示，
已知木箱的高$AA' = 30\ \mathrm{cm}$，底面长$A' B' = 50\ \mathrm{cm}$，底面宽$B' C' = 40\ \mathrm{cm}$。1. 计算底面对角线$A'C'$的平方：
在$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$中，根据勾股定理可得$A' C'^2 = A' B'^2 + B' C'^2$。
2. 计算体对角线$AC'$的平方：
在$\mathrm{Rt}△ AA'C'$中，$AC'$是木箱内的最长线段，根据勾股定理可得：
$AC'^2 = AA'^2 + A' C'^2 = AA'^2 + A' B'^2 + B' C'^2$
代入数值计算得：$AC'^2 = 30^2 + 50^2 + 40^2 = 900+2500+1600=5000$
木棒长度的平方为$70^2=4900$，因为$5000＞4900$，所以体对角线长度大于70cm。
【答案】
如答图 1-4-1 所示,
$AA' = 30\ \mathrm{cm}$,$A' B' = 50\ \mathrm{cm}$,$B' C' = 40\ \mathrm{cm}$。易知$△ A' B' C'$,$△ AA' C'$都为直角三角形。由勾股定理得$A' C'^2 = A' B'^2 + B' C'^2$。在直角三角形$AA' C'$中,$AC'$最长,则$AC'^2 = AA'^2 + A' C'^2 = AA'^2 + A' B'^2 + B' C'^2 = 30^2 + 50^2 + 40^2 = 5000 ＞ 70^2$。
故 70 cm 长的木棒能放入长、宽、高分别为 50 cm,40 cm,30 cm 的木箱中。
【知识点】
勾股定理的应用；长方体体对角线计算
【点评】
本题属于勾股定理的实际应用类基础题，解题关键是明确长方体内最长线段为体对角线，通过两次勾股定理计算即可得出结果，计算时直接比较平方大小可简化运算，避免开方计算的麻烦。
【难度系数】
0.8
5. 如图1-4-4，在正三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A'镶有一圈金属丝，已知此正三棱镜的高为8 cm，底面边长为2 cm，则这圈金属丝至少有多长？
图1-4-4
图1-4-4
答案
5. 解:如答图 1-4-2,
将正三棱镜侧面展开,根据题意,可得 $AB = 3 × 2 = 6\ \mathrm{cm}$,$A' B = 8\ \mathrm{cm}$,则由勾股定理得 $AA'^2 = AB^2 + A' B^2 = 6^2 + 8^2 = 100$,所以 $AA' = 10\ \mathrm{cm}$。
答:这圈金属丝至少有 10 cm 长。
解析
【分析】
要求正三棱柱侧面上从A到A'的金属丝最短长度，属于立体图形表面的最短路径问题，解题思路是先将正三棱柱的侧面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径为展开图中两点连线的线段长，再结合已知边长，用勾股定理计算该线段长度即可。
【解析】
将正三棱柱的侧面沿侧棱展开，得到对应长方形：
1. 计算展开图的边长：正三棱柱底面为边长2cm的正三角形，因此展开后长方形的长$AB=3×2=6\ \mathrm{cm}$，长方形的宽等于正三棱柱的高，即$A'B=8\ \mathrm{cm}$；
2. 根据两点之间线段最短，金属丝的最短长度为线段$AA'$的长度；
3. 在$\mathrm{Rt}△ AA'B$中，由勾股定理可得：
$AA'^2=AB^2+A'B^2=6^2+8^2=36+64=100$，
因此$AA'=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
如答图 1-4-2, 将正三棱镜侧面展开,根据题意,可得 $AB = 3 × 2 = 6\ \mathrm{cm}$,$A' B = 8\ \mathrm{cm}$,则由勾股定理得 $AA'^2 = AB^2 + A' B^2 = 6^2 + 8^2 = 100$,所以 $AA' = 10\ \mathrm{cm}$。答:这圈金属丝至少有 10 cm 长。
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，立体图形侧面展开
【点评】
本题是勾股定理在实际路径问题中的典型应用，解题核心是掌握“立体转平面”的转化思想，将立体表面的路径问题转化为平面上的线段长度计算，计算时需注意展开图形对应边长的准确性。
【难度系数】
0.7
要求正三棱柱侧面上从A到A'的金属丝最短长度，属于立体图形表面的最短路径问题，解题思路是先将正三棱柱的侧面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径为展开图中两点连线的线段长，再结合已知边长，用勾股定理计算该线段长度即可。
【解析】
将正三棱柱的侧面沿侧棱展开，得到对应长方形：
1. 计算展开图的边长：正三棱柱底面为边长2cm的正三角形，因此展开后长方形的长$AB=3×2=6\ \mathrm{cm}$，长方形的宽等于正三棱柱的高，即$A'B=8\ \mathrm{cm}$；
2. 根据两点之间线段最短，金属丝的最短长度为线段$AA'$的长度；
3. 在$\mathrm{Rt}△ AA'B$中，由勾股定理可得：
$AA'^2=AB^2+A'B^2=6^2+8^2=36+64=100$，
因此$AA'=\sqrt{100}=10\ \mathrm{cm}$。
【答案】
如答图 1-4-2,
将正三棱镜侧面展开,根据题意,可得 $AB = 3 × 2 = 6\ \mathrm{cm}$,$A' B = 8\ \mathrm{cm}$,则由勾股定理得 $AA'^2 = AB^2 + A' B^2 = 6^2 + 8^2 = 100$,所以 $AA' = 10\ \mathrm{cm}$。答:这圈金属丝至少有 10 cm 长。【知识点】
最短路径问题，勾股定理，立体图形侧面展开
【点评】
本题是勾股定理在实际路径问题中的典型应用，解题核心是掌握“立体转平面”的转化思想，将立体表面的路径问题转化为平面上的线段长度计算，计算时需注意展开图形对应边长的准确性。
【难度系数】
0.7
6. 如图1-4-5，已知长方体的长为2 cm，宽为1 cm，高为4 cm。一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到$B'$点，那么沿哪条路爬最近？最短的路程是多少？
答案
6. 解:根据题意,如答图 1-4-3 所示,
最短路线有以下三种情况:(1)如答图 1-4-3①,由勾股定理得 $AB'^2 = AB^2 + BB'^2 = (2+1)^2 + 4^2 = 25$;
(2)如答图 1-4-3②,由勾股定理得 $AB'^2 = AC^2 + B' C^2 = 2^2 + (4+1)^2 = 4 + 25 = 29$;
(3)如答图 1-4-3③,由勾股定理得 $AB'^2 = AD^2 + B' D^2 = 1^2 + (4+2)^2 = 1 + 36 = 37$。
综上所述,最短路线应为(1)所示,所以 $AB'^2 = 25$,即 $AB' = 5\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
要解决长方体表面的最短路径问题，需先将立体图形转化为平面图形，依据“两点之间，线段最短”，把蚂蚁爬行经过的两个相邻面展开到同一平面内，此时A到$B'$的线段长度就是该种展开方式下的最短路径。由于长方体有3种不同的相邻面组合方式，因此需要分三种情况分别计算路径长度，再比较大小，最小的结果就是所求的最短路程。
【解析】
将长方体表面展开，共有三种可能的最短路径情况：
(1) 把含A的前面和含$B'$的右面展开到同一平面，由勾股定理得：
$AB'^2 = AB^2 + BB'^2 = (2+1)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，即$AB'=5\ \mathrm{cm}$；
(2) 把含A的前面和含$B'$的上面展开到同一平面，由勾股定理得：
$AB'^2 = AC^2 + B'C^2 = 2^2 + (4+1)^2 = 4 + 25 = 29$，即$AB'=\sqrt{29}\ \mathrm{cm}$；
(3) 把含A的左面和含$B'$的上面展开到同一平面，由勾股定理得：
$AB'^2 = AD^2 + B'D^2 = 1^2 + (4+2)^2 = 1 + 36 = 37$，即$AB'=\sqrt{37}\ \mathrm{cm}$。
比较可得$5＜\sqrt{29}＜\sqrt{37}$，因此沿第一种展开方式对应的路径爬行最近。
【答案】
6. 解:根据题意,如答图 1-4-3 所示, 最短路线有以下三种情况:
(1)如答图 1-4-3①,由勾股定理得 $AB'^2 = AB^2 + BB'^2 = (2+1)^2 + 4^2 = 25$;
(2)如答图 1-4-3②,由勾股定理得 $AB'^2 = AC^2 + B' C^2 = 2^2 + (4+1)^2 = 4 + 25 = 29$;
(3)如答图 1-4-3③,由勾股定理得 $AB'^2 = AD^2 + B' D^2 = 1^2 + (4+2)^2 = 1 + 36 = 37$。
综上所述,最短路线应为(1)所示,所以 $AB'^2 = 25$,即 $AB' = 5\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
勾股定理、最短路径问题、长方体展开图
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的经典题型，解题核心是将立体表面转化为平面图形，结合两点之间线段最短的原理，用勾股定理计算路径长度，解题时需注意分类讨论所有可能的展开情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解决长方体表面的最短路径问题，需先将立体图形转化为平面图形，依据“两点之间，线段最短”，把蚂蚁爬行经过的两个相邻面展开到同一平面内，此时A到$B'$的线段长度就是该种展开方式下的最短路径。由于长方体有3种不同的相邻面组合方式，因此需要分三种情况分别计算路径长度，再比较大小，最小的结果就是所求的最短路程。
【解析】
将长方体表面展开，共有三种可能的最短路径情况：
(1) 把含A的前面和含$B'$的右面展开到同一平面，由勾股定理得：
$AB'^2 = AB^2 + BB'^2 = (2+1)^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，即$AB'=5\ \mathrm{cm}$；
(2) 把含A的前面和含$B'$的上面展开到同一平面，由勾股定理得：
$AB'^2 = AC^2 + B'C^2 = 2^2 + (4+1)^2 = 4 + 25 = 29$，即$AB'=\sqrt{29}\ \mathrm{cm}$；
(3) 把含A的左面和含$B'$的上面展开到同一平面，由勾股定理得：
$AB'^2 = AD^2 + B'D^2 = 1^2 + (4+2)^2 = 1 + 36 = 37$，即$AB'=\sqrt{37}\ \mathrm{cm}$。
比较可得$5＜\sqrt{29}＜\sqrt{37}$，因此沿第一种展开方式对应的路径爬行最近。
【答案】
6. 解:根据题意,如答图 1-4-3 所示,
最短路线有以下三种情况:(1)如答图 1-4-3①,由勾股定理得 $AB'^2 = AB^2 + BB'^2 = (2+1)^2 + 4^2 = 25$;
(2)如答图 1-4-3②,由勾股定理得 $AB'^2 = AC^2 + B' C^2 = 2^2 + (4+1)^2 = 4 + 25 = 29$;
(3)如答图 1-4-3③,由勾股定理得 $AB'^2 = AD^2 + B' D^2 = 1^2 + (4+2)^2 = 1 + 36 = 37$。
综上所述,最短路线应为(1)所示,所以 $AB'^2 = 25$,即 $AB' = 5\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
勾股定理、最短路径问题、长方体展开图
【点评】
本题是立体图形表面最短路径的经典题型，解题核心是将立体表面转化为平面图形，结合两点之间线段最短的原理，用勾股定理计算路径长度，解题时需注意分类讨论所有可能的展开情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
7. 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图1-4-6。已知圆筒的高为108 cm，其横截面周长为36 cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
答案
7. 解:如答图 1-4-4,
在$\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,因为 $AC = 36\ \mathrm{cm}$,$BC = 108 ÷ 4 = 27(\mathrm{cm})$,由勾股定理得 $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 36^2 + 27^2 = 2025 = 45^2$,所以 $AB = 45\ \mathrm{cm}$,所以应裁剪 $45 × 4 = 180(\mathrm{cm})$ 长的油纸。解析
【分析】
遇到圆柱侧面缠绕带状物体求长度的问题，可采用“化曲为直”的思路求解：首先将圆柱侧面沿高展开为长方形，此时斜向缠绕的油纸就转化为长方形内的斜线段。由于油纸均匀缠绕4圈，我们可以先计算1圈油纸的长度：展开后1圈对应的长方形的长为圆柱横截面的周长36cm，对应的竖直高度为圆筒总高除以4，这两个长度就是直角三角形的两条直角边，用勾股定理求出1圈油纸的长度后，乘4即可得到油纸总长度。
【解析】
将圆筒侧面沿高展开得到长方形，取1圈油纸对应的部分构建直角三角形$△ABC$：
1. 计算单圈油纸对应的竖直高度：共缠绕4圈，圆筒总高为108cm，因此$BC=108÷4=27\ \mathrm{cm}$；
2. 直角三角形另一条直角边$AC$为圆筒横截面周长，即$AC=36\ \mathrm{cm}$；
3. 根据勾股定理计算单圈油纸长度$AB$：$AB^2=AC^2+BC^2=36^2+27^2=1296+729=2025=45^2$，因此$AB=45\ \mathrm{cm}$；
4. 计算油纸总长度：$45×4=180\ \mathrm{cm}$。
【答案】
7. 解:如答图 1-4-4, 在$\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,因为 $AC = 36\ \mathrm{cm}$,$BC = 108 ÷ 4 = 27(\mathrm{cm})$,由勾股定理得 $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 36^2 + 27^2 = 2025 = 45^2$,所以 $AB = 45\ \mathrm{cm}$,所以应裁剪 $45 × 4 = 180(\mathrm{cm})$ 长的油纸。
【知识点】
圆柱侧面展开、勾股定理、化曲为直思想
【点评】
本题核心是将圆柱侧面的曲面问题转化为平面几何问题，通过拆分缠绕圈数，把每圈路径转化为直角三角形的斜边，结合勾股定理即可求解，能有效锻炼空间想象能力和转化思维。
【难度系数】
0.6
遇到圆柱侧面缠绕带状物体求长度的问题，可采用“化曲为直”的思路求解：首先将圆柱侧面沿高展开为长方形，此时斜向缠绕的油纸就转化为长方形内的斜线段。由于油纸均匀缠绕4圈，我们可以先计算1圈油纸的长度：展开后1圈对应的长方形的长为圆柱横截面的周长36cm，对应的竖直高度为圆筒总高除以4，这两个长度就是直角三角形的两条直角边，用勾股定理求出1圈油纸的长度后，乘4即可得到油纸总长度。
【解析】
将圆筒侧面沿高展开得到长方形，取1圈油纸对应的部分构建直角三角形$△ABC$：
1. 计算单圈油纸对应的竖直高度：共缠绕4圈，圆筒总高为108cm，因此$BC=108÷4=27\ \mathrm{cm}$；
2. 直角三角形另一条直角边$AC$为圆筒横截面周长，即$AC=36\ \mathrm{cm}$；
3. 根据勾股定理计算单圈油纸长度$AB$：$AB^2=AC^2+BC^2=36^2+27^2=1296+729=2025=45^2$，因此$AB=45\ \mathrm{cm}$；
4. 计算油纸总长度：$45×4=180\ \mathrm{cm}$。
【答案】
7. 解:如答图 1-4-4,
在$\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,因为 $AC = 36\ \mathrm{cm}$,$BC = 108 ÷ 4 = 27(\mathrm{cm})$,由勾股定理得 $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 36^2 + 27^2 = 2025 = 45^2$,所以 $AB = 45\ \mathrm{cm}$,所以应裁剪 $45 × 4 = 180(\mathrm{cm})$ 长的油纸。【知识点】
圆柱侧面展开、勾股定理、化曲为直思想
【点评】
本题核心是将圆柱侧面的曲面问题转化为平面几何问题，通过拆分缠绕圈数，把每圈路径转化为直角三角形的斜边，结合勾股定理即可求解，能有效锻炼空间想象能力和转化思维。
【难度系数】
0.6
