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8.【问题再现】
（1）如图1-4-7①，有一个圆柱，它的高为12 cm，底面圆的周长为18 cm。在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【方法应用】
（2）如图1-4-7②，长方体的上、下底面都是正方形，底面边长为3 m，高为10 m。在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止。求彩条的最短长度。
（1）如图1-4-7①，有一个圆柱，它的高为12 cm，底面圆的周长为18 cm。在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？
【方法应用】
（2）如图1-4-7②，长方体的上、下底面都是正方形，底面边长为3 m，高为10 m。在其侧面从点A开始，绕侧面两周，嵌入装饰彩条至点B停止。求彩条的最短长度。
答案
8. 解:(1)如答图 1-4-5①,
蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是圆柱侧面展开图中线段 AB 的长度。由题意得 $AC = 9\ \mathrm{cm}$,$BC = 12\ \mathrm{cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理得 $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 12^2 + 9^2 = 225$,所以 $AB = 15\ \mathrm{cm}$。
所以蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是 15 cm。
(2)如答图 1-4-5②,
彩条的最短长度是长方体侧面展开图(展开两次)中线段 AB 的长度。$AC = 3 × 8 = 24(\mathrm{m})$,$BC = 10\ \mathrm{m}$,
由勾股定理得 $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 676$,所以 $AB = 26\ \mathrm{m}$。
所以彩条的最短长度是 26 m。
解析
【分析】
要解决立体图形表面的最短路径问题，核心思路是“化曲为直”：将立体图形的侧面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径，再结合勾股定理计算路径长度。
对于（1）问的圆柱场景：把圆柱侧面沿过点A的母线剪开得到长方形，A、B两点在展开图中的水平距离是底面周长的一半，竖直距离等于圆柱的高，构造直角三角形用勾股定理计算即可。
对于（2）问的长方体绕侧两周场景：需要把长方体侧面展开2次，此时A、B两点在展开图中的水平距离是2倍的底面正方形周长，竖直距离等于长方体的高，再用勾股定理计算最短长度。
【解析】
（1）将圆柱侧面展开得到长方形，蚂蚁爬行的最短路程就是展开图中线段AB的长度。
由题意得，$BC$为圆柱的高，$BC=12\ \mathrm{cm}$；$AC$为底面圆周长的一半，$AC=\frac{1}{2}×18=9\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，根据勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2=9^2+12^2=225$，解得$AB=15\ \mathrm{cm}$。
（2）将长方体侧面展开2次得到长方形，彩条的最短长度就是展开图中线段AB的长度。
由题意得，$BC$为长方体的高，$BC=10\ \mathrm{m}$；底面正方形边长为3m，绕侧面两周的水平长度$AC=2×4×3=24\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，根据勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2=24^2+10^2=676$，解得$AB=26\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 如答图 1-4-5①, 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm。
(2) 如答图 1-4-5②, 彩条的最短长度是26 m。
【知识点】
勾股定理的应用，立体图形侧面展开，最短路径计算
【点评】
本题是平面展开最短路径的典型题型，解题关键是掌握“化曲为直”的转化思想，将立体图形的路径问题转化为平面内的线段长度计算问题；需要注意绕多周的路径问题要对应展开对应次数的侧面，避免水平长度计算错误。
【难度系数】
0.7
要解决立体图形表面的最短路径问题，核心思路是“化曲为直”：将立体图形的侧面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径，再结合勾股定理计算路径长度。
对于（1）问的圆柱场景：把圆柱侧面沿过点A的母线剪开得到长方形，A、B两点在展开图中的水平距离是底面周长的一半，竖直距离等于圆柱的高，构造直角三角形用勾股定理计算即可。
对于（2）问的长方体绕侧两周场景：需要把长方体侧面展开2次，此时A、B两点在展开图中的水平距离是2倍的底面正方形周长，竖直距离等于长方体的高，再用勾股定理计算最短长度。
【解析】
（1）将圆柱侧面展开得到长方形，蚂蚁爬行的最短路程就是展开图中线段AB的长度。
由题意得，$BC$为圆柱的高，$BC=12\ \mathrm{cm}$；$AC$为底面圆周长的一半，$AC=\frac{1}{2}×18=9\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，根据勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2=9^2+12^2=225$，解得$AB=15\ \mathrm{cm}$。
（2）将长方体侧面展开2次得到长方形，彩条的最短长度就是展开图中线段AB的长度。
由题意得，$BC$为长方体的高，$BC=10\ \mathrm{m}$；底面正方形边长为3m，绕侧面两周的水平长度$AC=2×4×3=24\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，根据勾股定理：
$AB^2=AC^2+BC^2=24^2+10^2=676$，解得$AB=26\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 如答图 1-4-5①,
蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15 cm。(2) 如答图 1-4-5②,
彩条的最短长度是26 m。【知识点】
勾股定理的应用，立体图形侧面展开，最短路径计算
【点评】
本题是平面展开最短路径的典型题型，解题关键是掌握“化曲为直”的转化思想，将立体图形的路径问题转化为平面内的线段长度计算问题；需要注意绕多周的路径问题要对应展开对应次数的侧面，避免水平长度计算错误。
【难度系数】
0.7
二、拓展性作业
9. 图1-4-8是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是由一个长方体去掉一个“半圆柱”而成的，中间可供滑行部分的截面是弧长为5 m的半圆，其边缘$AD=BC=12\ \mathrm{m}$（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱好者从B点滑到D点，求他滑行的最短距离。
图1-4-8
9. 图1-4-8是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是由一个长方体去掉一个“半圆柱”而成的，中间可供滑行部分的截面是弧长为5 m的半圆，其边缘$AD=BC=12\ \mathrm{m}$（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱好者从B点滑到D点，求他滑行的最短距离。
图1-4-8
答案
9. 解:将半圆面展开,如答图 1-4-6 所示,
因为 $BC = 12\ \mathrm{m}$,$CD = 5\ \mathrm{m}$,$∠ BCD = 90°$,所以在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,由勾股定理得 $BD^2 = BC^2 + CD^2 = 169$,所以 $BD = 13\ \mathrm{m}$。答:他滑行的最短距离为 13 m。
解析
【分析】
要计算曲面上两点的最短滑行距离，需先将曲面转化为平面图形，依据“两点之间，线段最短”求解。首先把U形池的半圆柱滑行侧面展开为平面，此时B、D两点位于同一平面内，连接BD即为最短路径。展开后形成直角△BCD，其中直角边BC长12m，另一条直角边CD的长度等于半圆的弧长5m，最后用勾股定理计算斜边BD的长度即可得到最短距离。
【解析】
将半圆柱滑行面展开，得到平面图形如答图1-4-6所示：
由题意可知：$BC = 12\ \mathrm{m}$，$CD$的长度等于半圆的弧长，即$CD=5\ \mathrm{m}$，且$∠ BCD=90°$，$△ BCD$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，根据勾股定理：
$BD^2 = BC^2 + CD^2 = 12^2 +5^2=144+25=169$
因此$BD=\sqrt{169}=13\ \mathrm{m}$。
【答案】
他滑行的最短距离为$\boldsymbol{13\ \mathrm{m}}$
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，立体图形展开
【点评】
本题是立体图形最短路径计算的典型题型，解题核心是将曲面转化为平面图形，结合两点之间线段最短的原理和勾股定理求解，解题时要准确对应展开前后的边长，避免错用数据导致计算错误。
【难度系数】
0.7
要计算曲面上两点的最短滑行距离，需先将曲面转化为平面图形，依据“两点之间，线段最短”求解。首先把U形池的半圆柱滑行侧面展开为平面，此时B、D两点位于同一平面内，连接BD即为最短路径。展开后形成直角△BCD，其中直角边BC长12m，另一条直角边CD的长度等于半圆的弧长5m，最后用勾股定理计算斜边BD的长度即可得到最短距离。
【解析】
将半圆柱滑行面展开，得到平面图形如答图1-4-6所示：
由题意可知：$BC = 12\ \mathrm{m}$，$CD$的长度等于半圆的弧长，即$CD=5\ \mathrm{m}$，且$∠ BCD=90°$，$△ BCD$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，根据勾股定理：
$BD^2 = BC^2 + CD^2 = 12^2 +5^2=144+25=169$
因此$BD=\sqrt{169}=13\ \mathrm{m}$。
【答案】
他滑行的最短距离为$\boldsymbol{13\ \mathrm{m}}$
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，立体图形展开
【点评】
本题是立体图形最短路径计算的典型题型，解题核心是将曲面转化为平面图形，结合两点之间线段最短的原理和勾股定理求解，解题时要准确对应展开前后的边长，避免错用数据导致计算错误。
【难度系数】
0.7
10. 如图1-4-9①,一圆柱的底面半径为5 cm,BC是底面直径,高AB为5 cm,求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C(点A与点C正对)的最短路线。小明设计了两条路线。
路线1:侧面展开图中的线段AC,如图1-4-9②所示。
设路线1的长度为$l_1$,则 $l_1^2=AC^2=AB^2+BC^2=5^2+(5π)^2=25+25π^2$。
路线2:高线AB+底面直径BC。
设路线2的长度为$l_2$,则 $l_2^2=(5+10)^2=225$。
为比较$l_1,l_2$的大小,采用“作差法”:
因为 $l_1^2 - l_2^2=25(π^2 -8)＞0$,所以 $l_1^2＞l_2^2$,所以 $l_1＞l_2$,所以小明认为路线2较短。
(1)小亮对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成“圆柱的底面半径为1 cm,高AB为5 cm”。请你用上述方法帮小亮比较出$l_1$与$l_2$的大小。
(2)请你帮他们继续研究:在一般情况下,若圆柱的底面半径为r cm,高为h cm。蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C,当$\frac{r}{h}$满足什么条件时,路线2较短?请说明理由。
路线1:侧面展开图中的线段AC,如图1-4-9②所示。
设路线1的长度为$l_1$,则 $l_1^2=AC^2=AB^2+BC^2=5^2+(5π)^2=25+25π^2$。
路线2:高线AB+底面直径BC。
设路线2的长度为$l_2$,则 $l_2^2=(5+10)^2=225$。
为比较$l_1,l_2$的大小,采用“作差法”:
因为 $l_1^2 - l_2^2=25(π^2 -8)＞0$,所以 $l_1^2＞l_2^2$,所以 $l_1＞l_2$,所以小明认为路线2较短。
(1)小亮对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成“圆柱的底面半径为1 cm,高AB为5 cm”。请你用上述方法帮小亮比较出$l_1$与$l_2$的大小。
(2)请你帮他们继续研究:在一般情况下,若圆柱的底面半径为r cm,高为h cm。蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C,当$\frac{r}{h}$满足什么条件时,路线2较短?请说明理由。
答案
10. 解:(1)由题意,得圆柱的底面半径 $r = 1\ \mathrm{cm}$,高 $h = 5\ \mathrm{cm}$,
路线 1:侧面展开图中,水平距离为半圆弧长 $π r = π\ \mathrm{cm}$,垂直距离为 $h = 5\ \mathrm{cm}$,
所以 $l_1^2 = h^2 + (π r)^2 = 5^2 + π^2 = 25 + π^2$;
路线 2:$l_2 = h + 2r = 5 + 2 = 7(\mathrm{cm})$,
所以 $l_2^2 = 49$,所以 $l_1^2 - l_2^2 = 25 + π^2 - 49 = π^2 - 24 ＜ 0$,
所以 $l_1 ＜ l_2$,
所以路线 1 较短。
(2)当 $\frac{r}{h} ＞ \frac{4}{π^2 - 4}$ 时,路线 2 较短。理由如下:
因为圆柱的底面半径为 $r\ \mathrm{cm}$,高为 $h\ \mathrm{cm}$,
所以路线 1:$l_1^2 = h^2 + (π r)^2 = h^2 + π^2 r^2$;
路线 2:$l_2 = h + 2r$,
所以 $l_2^2 = (h + 2r)^2 = h^2 + 4hr + 4r^2$,
所以 $l_1^2 - l_2^2 = h^2 + π^2 r^2 - h^2 - 4hr - 4r^2 = π^2 r^2 - 4r^2 - 4hr = r^2(π^2 - 4) - 4hr$,
当路线 2 较短时,$l_2 ＜ l_1$,
即 $l_2^2 ＜ l_1^2$,所以 $l_1^2 - l_2^2 ＞ 0$,
所以 $r^2(π^2 - 4) - 4hr ＞ 0$,
所以 $r^2(π^2 - 4) ＞ 4hr$。
又因为 $r ＞ 0$,
所以 $r(π^2 - 4) ＞ 4h$,
所以 $\frac{r}{h} ＞ \frac{4}{π^2 - 4}$。
路线 1:侧面展开图中,水平距离为半圆弧长 $π r = π\ \mathrm{cm}$,垂直距离为 $h = 5\ \mathrm{cm}$,
所以 $l_1^2 = h^2 + (π r)^2 = 5^2 + π^2 = 25 + π^2$;
路线 2:$l_2 = h + 2r = 5 + 2 = 7(\mathrm{cm})$,
所以 $l_2^2 = 49$,所以 $l_1^2 - l_2^2 = 25 + π^2 - 49 = π^2 - 24 ＜ 0$,
所以 $l_1 ＜ l_2$,
所以路线 1 较短。
(2)当 $\frac{r}{h} ＞ \frac{4}{π^2 - 4}$ 时,路线 2 较短。理由如下:
因为圆柱的底面半径为 $r\ \mathrm{cm}$,高为 $h\ \mathrm{cm}$,
所以路线 1:$l_1^2 = h^2 + (π r)^2 = h^2 + π^2 r^2$;
路线 2:$l_2 = h + 2r$,
所以 $l_2^2 = (h + 2r)^2 = h^2 + 4hr + 4r^2$,
所以 $l_1^2 - l_2^2 = h^2 + π^2 r^2 - h^2 - 4hr - 4r^2 = π^2 r^2 - 4r^2 - 4hr = r^2(π^2 - 4) - 4hr$,
当路线 2 较短时,$l_2 ＜ l_1$,
即 $l_2^2 ＜ l_1^2$,所以 $l_1^2 - l_2^2 ＞ 0$,
所以 $r^2(π^2 - 4) - 4hr ＞ 0$,
所以 $r^2(π^2 - 4) ＞ 4hr$。
又因为 $r ＞ 0$,
所以 $r(π^2 - 4) ＞ 4h$,
所以 $\frac{r}{h} ＞ \frac{4}{π^2 - 4}$。
解析
【分析】
本题解题思路清晰，分两小问逐步推导：
(1) 给定r=1cm、h=5cm的具体数值时，首先明确两条路线的计算规则：路线1对应圆柱侧面展开图中直角三角形的斜边，用勾股定理计算其平方；路线2为高加底面直径，计算其平方后，通过作差法比较两个平方的大小（长度均为正数，平方越大对应长度越大），即可判断路线长短。
(2) 推导一般情况的取值范围时，先写出l₁²、l₂²关于r、h的通用表达式，再作差化简。若路线2较短，则满足l₂＜l₁，即l₁²-l₂²＞0，结合r、h均为正数的隐含条件变形不等式，最终得到$\frac{r}{h}$的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得圆柱底面半径$r=1\ \mathrm{cm}$，高$h=5\ \mathrm{cm}$：
路线1：侧面展开图的水平长度为底面半圆弧长$π r=π\ \mathrm{cm}$，垂直长度为高$h=5\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$l_1^2 = h^2 + (π r)^2 = 5^2 + π^2 = 25 + π^2$
路线2：长度为高加底面直径，即$l_2 = h + 2r = 5 + 2×1 =7\ \mathrm{cm}$，因此$l_2^2 = 7^2 = 49$
作差比较：$l_1^2 - l_2^2 = 25 + π^2 - 49 = π^2 - 24$，由于$π^2\approx9.87＜24$，因此$l_1^2 - l_2^2 ＜0$，即$l_1^2 ＜ l_2^2$。
因为$l_1、l_2$均为正数，所以$l_1 ＜ l_2$，路线1较短。
(2) 当$\frac{r}{h} ＞ \frac{4}{π^2 -4}$时，路线2较短，理由如下：
已知圆柱底面半径为$r\ \mathrm{cm}$，高为$h\ \mathrm{cm}$：
路线1的长度平方：$l_1^2 = h^2 + (π r)^2 = h^2 + π^2 r^2$
路线2的长度平方：$l_2^2 = (h + 2r)^2 = h^2 +4hr +4r^2$
两式作差化简：
$l_1^2 - l_2^2 = h^2 + π^2 r^2 - (h^2 +4hr +4r^2) = r^2(π^2 -4) -4hr$
若路线2较短，则$l_2 ＜ l_1$，即$l_2^2 ＜ l_1^2$，因此$l_1^2 - l_2^2 ＞0$，代入得：
$r^2(π^2 -4) -4hr ＞0$
移项得$r^2(π^2 -4) ＞4hr$，由于$r＞0、h＞0、π^2-4＞0$，不等式两边同时除以正数$hr(π^2 -4)$，不等号方向不变，整理得：
$\frac{r}{h} ＞ \frac{4}{π^2 -4}$
【答案】
(1) $l_1 ＜ l_2$，路线1较短；
(2) 当$\frac{r}{h} ＞ \frac{4}{π^2 -4}$时，路线2较短。
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理的应用，作差法比较大小
【点评】
本题将立体图形最短路径问题与代数运算、不等式推导结合，核心是把曲面路径转化为平面线段求解，通过作差法比较长度大小，既考查空间想象能力，也锻炼代数推导与逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
本题解题思路清晰，分两小问逐步推导：
(1) 给定r=1cm、h=5cm的具体数值时，首先明确两条路线的计算规则：路线1对应圆柱侧面展开图中直角三角形的斜边，用勾股定理计算其平方；路线2为高加底面直径，计算其平方后，通过作差法比较两个平方的大小（长度均为正数，平方越大对应长度越大），即可判断路线长短。
(2) 推导一般情况的取值范围时，先写出l₁²、l₂²关于r、h的通用表达式，再作差化简。若路线2较短，则满足l₂＜l₁，即l₁²-l₂²＞0，结合r、h均为正数的隐含条件变形不等式，最终得到$\frac{r}{h}$的取值范围。
【解析】
(1) 由题意得圆柱底面半径$r=1\ \mathrm{cm}$，高$h=5\ \mathrm{cm}$：
路线1：侧面展开图的水平长度为底面半圆弧长$π r=π\ \mathrm{cm}$，垂直长度为高$h=5\ \mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$l_1^2 = h^2 + (π r)^2 = 5^2 + π^2 = 25 + π^2$
路线2：长度为高加底面直径，即$l_2 = h + 2r = 5 + 2×1 =7\ \mathrm{cm}$，因此$l_2^2 = 7^2 = 49$
作差比较：$l_1^2 - l_2^2 = 25 + π^2 - 49 = π^2 - 24$，由于$π^2\approx9.87＜24$，因此$l_1^2 - l_2^2 ＜0$，即$l_1^2 ＜ l_2^2$。
因为$l_1、l_2$均为正数，所以$l_1 ＜ l_2$，路线1较短。
(2) 当$\frac{r}{h} ＞ \frac{4}{π^2 -4}$时，路线2较短，理由如下：
已知圆柱底面半径为$r\ \mathrm{cm}$，高为$h\ \mathrm{cm}$：
路线1的长度平方：$l_1^2 = h^2 + (π r)^2 = h^2 + π^2 r^2$
路线2的长度平方：$l_2^2 = (h + 2r)^2 = h^2 +4hr +4r^2$
两式作差化简：
$l_1^2 - l_2^2 = h^2 + π^2 r^2 - (h^2 +4hr +4r^2) = r^2(π^2 -4) -4hr$
若路线2较短，则$l_2 ＜ l_1$，即$l_2^2 ＜ l_1^2$，因此$l_1^2 - l_2^2 ＞0$，代入得：
$r^2(π^2 -4) -4hr ＞0$
移项得$r^2(π^2 -4) ＞4hr$，由于$r＞0、h＞0、π^2-4＞0$，不等式两边同时除以正数$hr(π^2 -4)$，不等号方向不变，整理得：
$\frac{r}{h} ＞ \frac{4}{π^2 -4}$
【答案】
(1) $l_1 ＜ l_2$，路线1较短；
(2) 当$\frac{r}{h} ＞ \frac{4}{π^2 -4}$时，路线2较短。
【知识点】
圆柱侧面展开图，勾股定理的应用，作差法比较大小
【点评】
本题将立体图形最短路径问题与代数运算、不等式推导结合，核心是把曲面路径转化为平面线段求解，通过作差法比较长度大小，既考查空间想象能力，也锻炼代数推导与逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
