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10.若关于$x$的一元二次方程$x^2 + (k + 3)x + 3k = 0$有一个根大于1，则$k$的取值范围是（
A.$-1 ＜ k ＜ 3$
B.$k ＜ -1$
C.$k ＜ -1$且$k ≠ -3$
D.$k ≤ -1$且$k ≠ -3$
B
）A.$-1 ＜ k ＜ 3$
B.$k ＜ -1$
C.$k ＜ -1$且$k ≠ -3$
D.$k ≤ -1$且$k ≠ -3$
答案
10.B
解析
【分析】
这道题可结合本节课所学的因式分解法求解一元二次方程，再根据根的范围推导k的取值，解题思路如下：1. 首先观察方程的结构，用十字相乘法因式分解，直接求出方程的两个实根；2. 先判断其中一个固定根的大小，发现该根恒小于1，因此只需让另一个根大于1即可；3. 列不等式求解，同时注意验证特殊值，排除选项中多余的限制条件。
【解析】
对一元二次方程$x^2 + (k + 3)x + 3k = 0$用十字相乘法因式分解：
$\because x^2 + (k + 3)x + 3k = (x+3)(x+k)$
$\therefore$ 原方程可化为$(x+3)(x+k)=0$
解得方程的两个根为：$x_1=-3$，$x_2=-k$
$\because x_1=-3＜1$，要满足方程有一个根大于1，只需另一个根$x_2=-k＞1$
解不等式$-k＞1$，得$k＜-1$
验证：当$k=-3$时，方程的根为$x=3$和$x=-3$，3大于1，满足条件，$k=-3$属于$k＜-1$的范围，无需额外排除。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式，一元二次方程根的判定
【点评】
本题核心是利用因式分解法快速得到方程的两个根，结合固定根的范围直接对另一个根列不等式求解，解题时注意不要被选项中多余的限制条件误导。
【难度系数】
0.7
这道题可结合本节课所学的因式分解法求解一元二次方程，再根据根的范围推导k的取值，解题思路如下：1. 首先观察方程的结构，用十字相乘法因式分解，直接求出方程的两个实根；2. 先判断其中一个固定根的大小，发现该根恒小于1，因此只需让另一个根大于1即可；3. 列不等式求解，同时注意验证特殊值，排除选项中多余的限制条件。
【解析】
对一元二次方程$x^2 + (k + 3)x + 3k = 0$用十字相乘法因式分解：
$\because x^2 + (k + 3)x + 3k = (x+3)(x+k)$
$\therefore$ 原方程可化为$(x+3)(x+k)=0$
解得方程的两个根为：$x_1=-3$，$x_2=-k$
$\because x_1=-3＜1$，要满足方程有一个根大于1，只需另一个根$x_2=-k＞1$
解不等式$-k＞1$，得$k＜-1$
验证：当$k=-3$时，方程的根为$x=3$和$x=-3$，3大于1，满足条件，$k=-3$属于$k＜-1$的范围，无需额外排除。
【答案】
B
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式，一元二次方程根的判定
【点评】
本题核心是利用因式分解法快速得到方程的两个根，结合固定根的范围直接对另一个根列不等式求解，解题时注意不要被选项中多余的限制条件误导。
【难度系数】
0.7
11.若实数$x,y$满足$(x^2 + y^2)^2 -6(x^2 + y^2)-16=0$,则$x^2 + y^2$的值为
8
.答案
11.8
解析
【分析】观察方程可发现$x^2+y^2$作为整体重复出现，因此可采用换元法简化计算：先将$x^2+y^2$设为变量$t$，结合平方的非负性可知$t≥0$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程，用因式分解法求解后，结合$t$的取值范围舍去不符合要求的根，即可得到最终结果。
【解析】设$ t = x^2 + y^2 $，由平方的非负性可知$ t ≥ 0 $，
原方程可转化为：$ t^2 - 6t - 16 = 0 $，
对等式左侧因式分解得：$ (t - 8)(t + 2) = 0 $，
则$ t - 8 = 0 $或$ t + 2 = 0 $，
解得$ t_1 = 8 $，$ t_2 = -2 $，
∵ $ t ≥ 0 $，
∴ $ t = -2 $不符合题意，舍去，
因此$ x^2 + y^2 = 8 $。
【答案】8
【知识点】换元法；因式分解法解一元二次方程；非负数的性质
【点评】本题重点考查整体换元的数学思想，解题时需注意隐含条件：$x^2$与$y^2$均为非负数，因此二者的和也为非负数，要对解方程得到的根进行取舍，避免出现增解。
【难度系数】0.7
【解析】设$ t = x^2 + y^2 $，由平方的非负性可知$ t ≥ 0 $，
原方程可转化为：$ t^2 - 6t - 16 = 0 $，
对等式左侧因式分解得：$ (t - 8)(t + 2) = 0 $，
则$ t - 8 = 0 $或$ t + 2 = 0 $，
解得$ t_1 = 8 $，$ t_2 = -2 $，
∵ $ t ≥ 0 $，
∴ $ t = -2 $不符合题意，舍去，
因此$ x^2 + y^2 = 8 $。
【答案】8
【知识点】换元法；因式分解法解一元二次方程；非负数的性质
【点评】本题重点考查整体换元的数学思想，解题时需注意隐含条件：$x^2$与$y^2$均为非负数，因此二者的和也为非负数，要对解方程得到的根进行取舍，避免出现增解。
【难度系数】0.7
12.定义一种新运算：$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$.若$\begin{vmatrix} x&-2x-1 \\ 1&x \end{vmatrix}=0$,则$x$的值为 ______ .
答案
12.$-1$
解析
【分析】
解题时首先要准确理解新定义的二阶行列式的运算规则：结果为左上角与右下角元素的乘积，减去左下角与右上角元素的乘积。首先将题目中行列式的各个元素对应到规则中的a、b、c、d，代入规则列出关于x的方程，再将方程整理为一元二次方程的标准形式，最后用因式分解法求解即可得到x的值。
【解析】
根据新运算的定义$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
对应元素$a=x$，$b=1$，$c=-2x-1$，$d=x$，代入得：
$x· x - 1×(-2x-1)=0$
整理得：$x^2 + 2x + 1 = 0$
因式分解得：$(x+1)^2 = 0$
解得：$x=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
新定义运算，整式的乘法，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心考查对新运算规则的转化能力，以及一元二次方程的求解能力，解题时需注意代入运算时的符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解新定义的二阶行列式的运算规则：结果为左上角与右下角元素的乘积，减去左下角与右上角元素的乘积。首先将题目中行列式的各个元素对应到规则中的a、b、c、d，代入规则列出关于x的方程，再将方程整理为一元二次方程的标准形式，最后用因式分解法求解即可得到x的值。
【解析】
根据新运算的定义$\begin{vmatrix} a&c \\ b&d \end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
对应元素$a=x$，$b=1$，$c=-2x-1$，$d=x$，代入得：
$x· x - 1×(-2x-1)=0$
整理得：$x^2 + 2x + 1 = 0$
因式分解得：$(x+1)^2 = 0$
解得：$x=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
新定义运算，整式的乘法，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心考查对新运算规则的转化能力，以及一元二次方程的求解能力，解题时需注意代入运算时的符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
13.若关于$x$的一元二次方程$(m-2)x^2 + 3x + m^2 -4=0$有一个根为0，则该方程的另一个根为
$\frac{3}{4}$
。答案
13.$\frac{3}{4}$
解析
【分析】
解题时首先明确题目给出的是一元二次方程，因此需先满足二次项系数不为0的前提条件；再结合方程有一个根为0的条件，将x=0代入方程即可求出m的可能取值，排除不符合二次项系数要求的m值后，将正确的m代入原方程，用因式分解法即可求出另一个根。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-2)x^2 + 3x + m^2 -4=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m-2≠0$，即$m≠2$
将$x=0$代入方程，得：
$m^2 -4=0$
解得$m=2$或$m=-2$
结合$m≠2$的条件，得$m=-2$
将$m=-2$代入原方程，得：
$(-2-2)x^2 +3x + (-2)^2 -4=0$
化简得：$-4x^2 +3x=0$
因式分解得：$x(-4x+3)=0$
∴ $x=0$或$-4x+3=0$
解得$x_1=0$，$x_2=\frac{3}{4}$
即方程的另一个根为$\frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 方程的根的性质
3. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制，误取m=2导致解题错误。解题时需先确定参数的取值范围，再结合已知条件计算，熟练掌握因式分解法可快速求解方程的根。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确题目给出的是一元二次方程，因此需先满足二次项系数不为0的前提条件；再结合方程有一个根为0的条件，将x=0代入方程即可求出m的可能取值，排除不符合二次项系数要求的m值后，将正确的m代入原方程，用因式分解法即可求出另一个根。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-2)x^2 + 3x + m^2 -4=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m-2≠0$，即$m≠2$
将$x=0$代入方程，得：
$m^2 -4=0$
解得$m=2$或$m=-2$
结合$m≠2$的条件，得$m=-2$
将$m=-2$代入原方程，得：
$(-2-2)x^2 +3x + (-2)^2 -4=0$
化简得：$-4x^2 +3x=0$
因式分解得：$x(-4x+3)=0$
∴ $x=0$或$-4x+3=0$
解得$x_1=0$，$x_2=\frac{3}{4}$
即方程的另一个根为$\frac{3}{4}$
【答案】
$\frac{3}{4}$
【知识点】
1. 一元二次方程的定义
2. 方程的根的性质
3. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制，误取m=2导致解题错误。解题时需先确定参数的取值范围，再结合已知条件计算，熟练掌握因式分解法可快速求解方程的根。
【难度系数】
0.7
14. 把小圆形场地的半径增加6 m就是大圆形场地的半径，大圆形场地的面积是小圆形场地面积的2倍，求小圆形场地的半径.
答案
14.【解】设小圆形场地的半径为$r\ \mathrm{m}$,则大圆形场地的半径为$(r+6)\mathrm{m}$.
根据题意,得$π(r+6)^2=2π r^2$.
解得$r_1=6+6\sqrt{2},r_2=6-6\sqrt{2}$(不合题意,舍去).
故小圆形场地的半径为$(6+6\sqrt{2})\mathrm{m}$.
根据题意,得$π(r+6)^2=2π r^2$.
解得$r_1=6+6\sqrt{2},r_2=6-6\sqrt{2}$(不合题意,舍去).
故小圆形场地的半径为$(6+6\sqrt{2})\mathrm{m}$.
解析
【分析】
这是一道结合圆面积公式的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确未知量，设小圆半径为r，即可直接表示出大圆半径；再回忆圆的面积公式$S=π R^2$，抓住“大圆面积是小圆面积的2倍”这一核心等量关系；接着根据等量关系列出一元二次方程；最后解方程后结合半径为正数的实际意义舍去不符合要求的根，就能得到正确结果。
【解析】
设小圆形场地的半径为$r\ \mathrm{m}$，则大圆形场地的半径为$(r+6)\mathrm{m}$。
根据题意结合圆的面积公式，列方程得：
$π(r+6)^2=2π r^2$
两边同时除以$π$，化简得：
$(r+6)^2=2r^2$
展开并整理为一元二次方程的一般形式：
$r^2-12r-36=0$
代入求根公式解得：
$r=\frac{12\pm\sqrt{(-12)^2+4×36}}{2}=\frac{12\pm12\sqrt{2}}{2}=6\pm6\sqrt{2}$
由于圆形场地的半径为正数，$r=6-6\sqrt{2}＜0$，不符合实际，因此舍去该根。
【答案】
$(6+6\sqrt{2})\mathrm{m}$
【知识点】
圆的面积公式、一元二次方程解法、实际问题列方程
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题关键是找准面积的等量关系列方程，同时要注意结合实际场景的取值范围，对一元二次方程的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
这是一道结合圆面积公式的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确未知量，设小圆半径为r，即可直接表示出大圆半径；再回忆圆的面积公式$S=π R^2$，抓住“大圆面积是小圆面积的2倍”这一核心等量关系；接着根据等量关系列出一元二次方程；最后解方程后结合半径为正数的实际意义舍去不符合要求的根，就能得到正确结果。
【解析】
设小圆形场地的半径为$r\ \mathrm{m}$，则大圆形场地的半径为$(r+6)\mathrm{m}$。
根据题意结合圆的面积公式，列方程得：
$π(r+6)^2=2π r^2$
两边同时除以$π$，化简得：
$(r+6)^2=2r^2$
展开并整理为一元二次方程的一般形式：
$r^2-12r-36=0$
代入求根公式解得：
$r=\frac{12\pm\sqrt{(-12)^2+4×36}}{2}=\frac{12\pm12\sqrt{2}}{2}=6\pm6\sqrt{2}$
由于圆形场地的半径为正数，$r=6-6\sqrt{2}＜0$，不符合实际，因此舍去该根。
【答案】
$(6+6\sqrt{2})\mathrm{m}$
【知识点】
圆的面积公式、一元二次方程解法、实际问题列方程
【点评】
本题是几何与代数结合的基础应用题，解题关键是找准面积的等量关系列方程，同时要注意结合实际场景的取值范围，对一元二次方程的根进行取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
15. 阅读材料,解答问题.
解方程$(x+1)^2 -5(x+1)-6=0.$
解:设 $x + 1 = y$, 则原方程可化为
$y^2 -5y -6=0.$
左边分解因式,得$(y-6)(y+1)=0.$
于是 $y-6=0$,或 $y+1=0$,
即 $y_1=6,y_2=-1.$
当 $y=6$ 时,$x+1=6$,解得 $x=5.$
当 $y=-1$ 时,$x+1=-1$,解得 $x=-2.$
所以原方程的解为 $x_1=5,x_2=-2.$
上述解方程的方法,我们称为换元法,利用换元法可以达到简化或降次的目的,运用了转化的思想.
请利用换元法解方程:$(2m - \sqrt{2})^2 -4(2m - \sqrt{2})+3=0.$
解方程$(x+1)^2 -5(x+1)-6=0.$
解:设 $x + 1 = y$, 则原方程可化为
$y^2 -5y -6=0.$
左边分解因式,得$(y-6)(y+1)=0.$
于是 $y-6=0$,或 $y+1=0$,
即 $y_1=6,y_2=-1.$
当 $y=6$ 时,$x+1=6$,解得 $x=5.$
当 $y=-1$ 时,$x+1=-1$,解得 $x=-2.$
所以原方程的解为 $x_1=5,x_2=-2.$
上述解方程的方法,我们称为换元法,利用换元法可以达到简化或降次的目的,运用了转化的思想.
请利用换元法解方程:$(2m - \sqrt{2})^2 -4(2m - \sqrt{2})+3=0.$
答案
15.【解】设 $2m-\sqrt{2}=n$,则原方程可化为 $n^2-4n+3=0$.
左边分解因式,得$(n-3)(n-1)=0$.
于是$n-3=0$,或$n-1=0$,
即 $n_1=3,n_2=1$.
当 $n=3$ 时,$2m-\sqrt{2}=3$,解得 $m=\frac{\sqrt{2}+3}{2}$.
当 $n=1$ 时,$2m-\sqrt{2}=1$,解得 $m=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$.
所以原方程的解为 $m_1=\frac{\sqrt{2}+3}{2},m_2=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$.
左边分解因式,得$(n-3)(n-1)=0$.
于是$n-3=0$,或$n-1=0$,
即 $n_1=3,n_2=1$.
当 $n=3$ 时,$2m-\sqrt{2}=3$,解得 $m=\frac{\sqrt{2}+3}{2}$.
当 $n=1$ 时,$2m-\sqrt{2}=1$,解得 $m=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$.
所以原方程的解为 $m_1=\frac{\sqrt{2}+3}{2},m_2=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$.
解析
【分析】
观察待解方程可发现，式子“$2m-\sqrt{2}$”作为整体重复出现，我们可以利用材料给出的换元法，将这个整体设为新的未知数$n$，把原方程转化为关于$n$的普通一元二次方程，先求解$n$的值，再将$n$的值代回所设的关系式求出$m$的取值，即可得到原方程的解。解题步骤依次为：设元换元→解新一元二次方程→回代求原未知数→写出最终解。
【解析】
解：设 $2m-\sqrt{2}=n$，则原方程可化为 $n^2-4n+3=0$。
左边分解因式，得$(n-3)(n-1)=0$。
于是$n-3=0$，或$n-1=0$，
即 $n_1=3,n_2=1$。
当 $n=3$ 时，$2m-\sqrt{2}=3$，解得 $m=\frac{\sqrt{2}+3}{2}$。
当 $n=1$ 时，$2m-\sqrt{2}=1$，解得 $m=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$。
所以原方程的解为 $m_1=\frac{\sqrt{2}+3}{2},m_2=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$。
【答案】
$m_1=\frac{3+\sqrt{2}}{2},m_2=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
换元法、因式分解法解一元二次方程、整体思想
【点评】
本题考查换元法在解方程中的应用，核心是通过整体代换简化方程结构，降低解方程的难度，解题时要注意换元后求出的新未知数的解必须回代，才能得到原方程的解，熟练掌握一元二次方程的因式分解解法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
观察待解方程可发现，式子“$2m-\sqrt{2}$”作为整体重复出现，我们可以利用材料给出的换元法，将这个整体设为新的未知数$n$，把原方程转化为关于$n$的普通一元二次方程，先求解$n$的值，再将$n$的值代回所设的关系式求出$m$的取值，即可得到原方程的解。解题步骤依次为：设元换元→解新一元二次方程→回代求原未知数→写出最终解。
【解析】
解：设 $2m-\sqrt{2}=n$，则原方程可化为 $n^2-4n+3=0$。
左边分解因式，得$(n-3)(n-1)=0$。
于是$n-3=0$，或$n-1=0$，
即 $n_1=3,n_2=1$。
当 $n=3$ 时，$2m-\sqrt{2}=3$，解得 $m=\frac{\sqrt{2}+3}{2}$。
当 $n=1$ 时，$2m-\sqrt{2}=1$，解得 $m=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$。
所以原方程的解为 $m_1=\frac{\sqrt{2}+3}{2},m_2=\frac{\sqrt{2}+1}{2}$。
【答案】
$m_1=\frac{3+\sqrt{2}}{2},m_2=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
换元法、因式分解法解一元二次方程、整体思想
【点评】
本题考查换元法在解方程中的应用，核心是通过整体代换简化方程结构，降低解方程的难度，解题时要注意换元后求出的新未知数的解必须回代，才能得到原方程的解，熟练掌握一元二次方程的因式分解解法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
