1. 在解方程$(x+2)(x-3)=0$时,可以把$(x+2)(x-3)=0$转化成两个一元一次方程.若一个方程为$x-3=0$,则另一个方程为$\quad (\quad)$

A.$x+3=0$
B.$x-6=0$
C.$x-2=0$
D.$x+2=0$

1.D

【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程的核心依据，解题思路如下：首先回忆因式分解法解方程的原理：若两个因式的乘积为0，那么这两个因式中至少有一个的值为0，即若ab=0，则a=0或b=0。观察原方程左边的两个因式分别是$(x+2)$和$(x-3)$，已知其中一个因式对应方程为$x-3=0$，那么另一个因式等于0即可得到剩下的一元一次方程。
【解析】
根据因式分解法解一元二次方程的“零乘积原理”：如果两个因式的乘积等于0，那么其中至少有一个因式为0。
对于方程$(x+2)(x-3)=0$，可得：
$x+2=0$ 或 $x-3=0$
已知其中一个方程是$x-3=0$，因此另一个方程为$x+2=0$。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解方程，零乘积原理
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对因式分解法解方程依据的理解，只要熟练掌握零乘积的性质就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.9

2.方程 $x(x-2)=2-x$ 的解是 （）

A.$x=-1$
B.$x=2$
C.$x_1=-1,x_2=2$
D.$x_1=1,x_2=2$

2.C

【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程左右两边的代数式，发现$(x-2)$与$(2-x)$互为相反数，切记不能直接两边同时除以$(x-2)$，否则会漏掉$x=2$这个根；正确做法是先将右边的项移到方程左边，将方程变形为等号右边为0的形式，再提取公因式$(x-2)$，把方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程移项，得
$x(x-2)+(x-2)=0$
提取公因式$(x-2)$，得
$(x-2)(x+1)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得
$x-2=0$ 或 $x+1=0$
分别解两个一元一次方程：
当$x-2=0$时，$x_1=2$；
当$x+1=0$时，$x_2=-1$。
因此原方程的解为$x_1=-1,x_2=2$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查因式分解法的应用，解题时需注意不要直接在方程两边除以含有未知数的整式，否则容易造成漏根，熟练掌握移项、提取公因式的操作即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3.若多项式$x^2+mx-n$可以分解为$(x+3)(x-7)$，则关于$x$的一元二次方程$x^2+mx-n=0$的两个根$x_1,x_2$分别为（）

A.3和7
B.$-3$和$-7$
C.3和$-7$
D.$-3$和7

3.D

【分析】
解题时首先回忆因式分解法解一元二次方程的核心原理：若一元二次方程左边的二次三项式可分解为两个一次因式的乘积，则方程等价于这两个一次因式分别等于0，求解得到的两个一次方程的解就是原一元二次方程的根。本题已经给出多项式的分解结果，我们直接将其代入方程，转化为两个一次方程求解即可。
【解析】
解：
∵ 多项式$x^2+mx-n$可以分解为$(x+3)(x-7)$
∴ 一元二次方程$x^2+mx-n=0$可变形为：
$(x+3)(x-7)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，可得：
$x+3=0$ 或 $x-7=0$
分别解得：$x_1=-3$，$x_2=7$
因此方程的两个根为-3和7，故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查因式分解法解一元二次方程的原理，无需复杂计算，只要熟练掌握因式分解法解方程的逻辑，就能快速得到答案，是对一元二次方程解法的基础应用考查。
【难度系数】
0.85

4. 在解方程$(x-2)^2 -9x^2=0$时，用法较简便，此方程的根为$x_1=$，$x_2=$。$(x_1＜x_2)$

4. 因式分解 $-1$ $\frac{1}{2}$

【分析】
首先观察方程结构，左边是$(x-2)^2$减$9x^2$，符合平方差公式$a^2-b^2$的形式，不需要展开整理为一元二次方程一般式，用因式分解法求解最简便。解题思路为：先利用平方差公式将左边分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，最后按$x_1＜x_2$的要求填写根即可。
【解析】
1. 先将方程改写为平方差形式：
$(x-2)^2 - (3x)^2 = 0$
2. 利用平方差公式因式分解：
$[(x-2)+3x][(x-2)-3x] = 0$
3. 化简两个因式得：
$(4x-2)(-2x-2) = 0$
4. 转化为两个一元一次方程：
$4x-2=0$ 或 $-2x-2=0$
5. 分别解方程：
解$4x-2=0$，得$x=\frac{1}{2}$；
解$-2x-2=0$，得$x=-1$。
6. 结合$x_1＜x_2$的要求，得$x_1=-1$，$x_2=\frac{1}{2}$。
【答案】
因式分解；$-1$；$\frac{1}{2}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；平方差公式
【点评】
本题考查一元二次方程的简便解法，当方程左边可直接因式分解时，优先选择因式分解法求解，能简化计算过程，降低计算失误概率。
【难度系数】
0.8

5.一个三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是方程$x(x-5)-2(x-5)=0$的一个根，则这个三角形的周长为。

5.15

【分析】
解题思路分为三步：第一步，用因式分解法求解给定的一元二次方程，得到第三边长的两个可能取值；第二步，根据三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），筛选出符合条件的第三边长；第三步，将三角形三边长度相加得到周长。思考时要注意，方程的根不一定都能作为三角形的边长，必须经过三边关系验证，避免出现错解。
【解析】
1. 解方程$x(x-5)-2(x-5)=0$：
提取公因式$(x-5)$，将方程因式分解得：
$(x-5)(x-2)=0$
令每个因式等于0，得：
$x-5=0$或$x-2=0$
解得$x_1=5$，$x_2=2$，即第三边的可能长度为2或5。
2. 验证第三边是否符合三角形三边关系：
已知三角形两边长为4和6，若第三边长为2，此时$2+4=6$，不满足“三角形两边之和大于第三边”的要求，无法构成三角形，故舍去$x=2$；
若第三边长为5，此时$4+5＞6$，$4+6＞5$，$5+6＞4$，同时满足两边之差小于第三边，符合三边关系。
3. 计算周长：
三角形的周长为$4+6+5=15$。
【答案】
15
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 三角形三边关系
3. 三角形周长计算
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的求解与三角形的性质结合考查，易错点是求解出方程的根后，忽略验证根是否满足三角形三边的限制条件，直接代入计算得到错误结果，解题时要养成验证结果合理性的习惯。
【难度系数】
0.7

6. 用因式分解法解下列方程.
(1)$3y^2 - 6y = 0$.
(2)$x^2 - 8x + 16 = 0$.
(3)$(x - 5)(x - 6) = 30$.
(4)$(x - 4)^2 = (5 - 2x)^2$.

6.【解】(1)左边分解因式,得$3y(y-2)=0$.
于是$3y=0$,或$y-2=0$,
即 $y_1=0,y_2=2$.
(2)左边分解因式,得$(x-4)^2=0$.
于是$x-4=0$,
即 $x_1=x_2=4$.
(3)移项,得$(x-5)(x-6)-30=0$.
整理,得$x^2-11x=0$.
左边分解因式,得$x(x-11)=0$.
于是$x=0$,或$x-11=0$,
即 $x_1=0,x_2=11$.
(4)移项,得$(x-4)^2-(5-2x)^2=0$.
左边分解因式,得$(x-4+5-2x)[x-4-(5-2x)]=0$.
整理,得$(1-x)(3x-9)=0$.
于是$1-x=0$,或$3x-9=0$,
即 $x_1=1,x_2=3$.

【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：若若干个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0，据此可将一元二次方程降次转化为一元一次方程求解，解题步骤可归纳为：一移（将方程整理为右边为0的形式）、二分（将方程左边分解为两个一次因式的乘积）、三解（分别令两个因式为0，求解得到方程的根）。
各小题的思考方向：
(1)方程左边有公因式3y，直接提取公因式即可分解；
(2)左边符合完全平方公式的结构，直接用完全平方公式分解；
(3)右边不为0，不可直接令两个因式分别等于常数，需先展开左边、移项合并同类项，再提取公因式分解；
(4)两边均为平方式，先移项将右侧平方式移到左侧，再用平方差公式分解，可避免直接开平方出现漏根的问题。
【解析】
(1)左边分解因式，得$3y(y-2)=0$。
于是$3y=0$，或$y-2=0$，
即 $y_1=0,y_2=2$。
(2)左边分解因式，得$(x-4)^2=0$。
于是$x-4=0$，
即 $x_1=x_2=4$。
(3)移项，得$(x-5)(x-6)-30=0$。
整理，得$x^2-11x=0$。
左边分解因式，得$x(x-11)=0$。
于是$x=0$，或$x-11=0$，
即 $x_1=0,x_2=11$。
(4)移项，得$(x-4)^2-(5-2x)^2=0$。
左边分解因式，得$(x-4+5-2x)[x-4-(5-2x)]=0$。
整理，得$(1-x)(3x-9)=0$。
于是$1-x=0$，或$3x-9=0$，
即 $x_1=1,x_2=3$。
【答案】
(1)$y_1=0,y_2=2$；(2)$x_1=x_2=4$；(3)$x_1=0,x_2=11$；(4)$x_1=1,x_2=3$
【知识点】
因式分解法解方程、提公因式法因式分解、公式法因式分解
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考查对因式分解法解方程逻辑的理解，要求熟练掌握常见的因式分解方法，解题时注意不要直接对未整理为右式为0的方程拆分因式，也不要对平方式直接开平方避免漏根。
【难度系数】
0.7

7.用适当的方法解下列方程.
(1)$4(x-2)^2 -49=0$.
(2)$-x^2 +4x =x^2 -3$.
(3)$x^2 - \sqrt{3}x - \frac{1}{4}=0$.
(4)$x^2 - (\sqrt{2}+1)x + \sqrt{2}=0$.

7.【解】(1)移项,得$4(x-2)^2=49$.
整理,得$(x-2)^2=\frac{49}{4}$.
由此可得$x-2=\pm\frac{7}{2}$,
$x-2=\frac{7}{2}$,或$x-2=-\frac{7}{2}$,
即 $x_1=\frac{11}{2},x_2=-\frac{3}{2}$.
(2)移项,得$-2x^2+4x=-3$.
二次项系数化为1,得$x^2-2x=\frac{3}{2}$.
配方,得$x^2-2x+1^2=\frac{3}{2}+1^2$,
即$(x-1)^2=\frac{5}{2}$.
由此可得$x-1=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$,
$x-1=\frac{\sqrt{10}}{2}$,或$x-1=-\frac{\sqrt{10}}{2}$,
即 $x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$.
(3)因为$a=1,b=-\sqrt{3},c=-\frac{1}{4}$,
所以$\Delta =b^2-4ac=(-\sqrt{3})^2-4×1×(-\frac{1}{4})=4＞0$.
方程有两个不相等的实数根 $x =\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-\sqrt{3})\pm\sqrt{4}}{2×1}=\frac{\sqrt{3}\pm2}{2}$,
即 $x_1=\frac{\sqrt{3}+2}{2},x_2=\frac{\sqrt{3}-2}{2}$.
(4)左边分解因式,得$(x-1)(x-\sqrt{2})=0$.
于是$x-1=0$,或$x-\sqrt{2}=0$,
即 $x_1=1,x_2=\sqrt{2}$.

【分析】
解这组一元二次方程需根据方程的结构特征选择最优解法，降低计算难度：
(1) 方程为含未知数的平方等于常数的形式，选用直接开平方法：先移项整理为$(x-a)^2 = b(b≥0)$的形式，再开平方转化为两个一元一次方程求解；
(2) 移项整理后二次项系数可化为1，一次项系数为整数，选用配方法：先整理为$x^2+px=q$的形式，左右两边加上一次项系数一半的平方配方后，再开平方求解；
(3) 方程系数含无理数，配方、因式分解操作不便，选用公式法：先确定一般式中$a、b、c$的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可；
(4) 方程左侧二次三项式可通过十字相乘法分解因式，选用因式分解法：将左侧分解为两个一次因式的乘积，令每个因式为0即可得到方程的解。
【解析】
(1) 移项，得$4(x-2)^2=49$，
整理，得$(x-2)^2=\frac{49}{4}$，
由此可得$x-2=\pm\frac{7}{2}$，
$x-2=\frac{7}{2}$，或$x-2=-\frac{7}{2}$，
即 $x_1=\frac{11}{2},x_2=-\frac{3}{2}$。
(2) 移项，得$-2x^2+4x=-3$，
二次项系数化为1，得$x^2-2x=\frac{3}{2}$，
配方，得$x^2-2x+1^2=\frac{3}{2}+1^2$，
即$(x-1)^2=\frac{5}{2}$，
由此可得$x-1=\pm\frac{\sqrt{10}}{2}$，
$x-1=\frac{\sqrt{10}}{2}$，或$x-1=-\frac{\sqrt{10}}{2}$，
即 $x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$。
(3) 这里$a=1,b=-\sqrt{3},c=-\frac{1}{4}$，
所以$\Delta =b^2-4ac=(-\sqrt{3})^2-4×1×(-\frac{1}{4})=4＞0$，
方程有两个不相等的实数根 $x =\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-\sqrt{3})\pm\sqrt{4}}{2×1}=\frac{\sqrt{3}\pm2}{2}$，
即 $x_1=\frac{\sqrt{3}+2}{2},x_2=\frac{\sqrt{3}-2}{2}$。
(4) 左边分解因式，得$(x-1)(x-\sqrt{2})=0$，
于是$x-1=0$，或$x-\sqrt{2}=0$，
即 $x_1=1,x_2=\sqrt{2}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{11}{2},x_2=-\frac{3}{2}$；
(2)$x_1=\frac{2+\sqrt{10}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$；
(3)$x_1=\frac{\sqrt{3}+2}{2},x_2=\frac{\sqrt{3}-2}{2}$；
(4)$x_1=1,x_2=\sqrt{2}$。
【知识点】
一元二次方程的解法，求根公式，因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，核心考查不同解法的灵活选择能力，根据方程特征选对解法可大幅减少计算量，提升运算正确率。
【难度系数】
0.8

8.关于方程$(x-2)^2=3(x-2)$，下列说法不正确的是（）

A.该方程是一元二次方程
B.解方程时,两边同时除以$(x-2)$即可
C.该方程适合用因式分解法求解
D.该方程有两个不相等的实数根

8.B

【分析】
这是一道关于一元二次方程概念和解法的正误判断题，解题时需逐个分析选项：①判断A选项需先将方程整理为一般形式，结合一元二次方程的定义判定；②判断B选项需回忆等式的性质，除以含未知数的整式时必须保证该整式不为0，否则会漏根；③判断C选项观察方程两边都有公因式$(x-2)$，移项后可提取公因式，符合因式分解法的适用条件；④判断D选项可解方程求出根，或用根的判别式判断根的个数。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 分析选项A：将原方程展开整理得$x^2-7x+10=0$，该方程只含1个未知数$x$，最高次数为2，是整式方程，属于一元二次方程，A说法正确，不符合题意。
2. 分析选项B：若直接两边除以$(x-2)$，需满足$x-2≠0$的前提，但$x=2$是原方程的一个根，直接除以$(x-2)$会漏掉$x=2$这个解，操作错误，B说法错误，符合题意。
3. 分析选项C：将原方程移项得$(x-2)^2-3(x-2)=0$，提取公因式$(x-2)$可得$(x-2)(x-5)=0$，非常适合用因式分解法求解，C说法正确，不符合题意。
4. 分析选项D：解方程得$x_1=2$，$x_2=5$，有两个不相等的实数根；或用判别式计算$\Delta=(-7)^2-4×1×10=9＞0$，也可得出该结论，D说法正确，不符合题意。
综上，本题选说法不正确的选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的判定；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别
【点评】
本题易错点是忽略等式两边除以含未知数的整式时，要先确认该整式不为0，否则会出现漏根的错误，解题时遇到两边有相同公因式的一元二次方程，优先选择移项提取公因式的方法求解。
【难度系数】
0.7

9.若菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是一元二次方程$(x-6)(x-8)=0$的两个根，则菱形ABCD的边长是（）

A.8
B.6
C.5
D.14

9.C

【分析】
解题思路分为三步：第一步先求解一元二次方程，得到菱形两条对角线的长度；第二步回忆菱形的核心性质：菱形的对角线互相垂直平分，由此可知两条对角线的一半和菱形的边长恰好构成直角三角形；第三步利用勾股定理计算直角三角形的斜边，即可得到菱形的边长。
【解析】
1. 解一元二次方程$(x-6)(x-8)=0$：
根据因式分解法解方程的规则，可得$x-6=0$或$x-8=0$，解得$x_1=6$，$x_2=8$，即菱形的两条对角线$AC$、$BD$的长分别为6和8。
2. 结合菱形性质计算对角线一半的长度：
菱形的对角线互相垂直平分，因此两条对角线的一半分别为$6÷2=3$，$8÷2=4$。
3. 用勾股定理计算边长：
菱形的边长与两条对角线的一半构成直角三角形，边长为斜边，由勾股定理得：
边长$=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
【答案】
C
【知识点】
因式分解法解方程、菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础综合题，将代数方程求解和几何性质应用结合考查，难度较低，熟练掌握各基础知识点就能快速解题。
【难度系数】
0.8