登录
1. 用因式分解法解下列方程.
(1) $4x^2 - 4x - 3 = 0$.
(2) $(x + 3)^2 = (2x - 5)^2$.
(3) $(3x - 1)(x - 1) = (4x + 1)(x - 1)$.
(1) $4x^2 - 4x - 3 = 0$.
(2) $(x + 3)^2 = (2x - 5)^2$.
(3) $(3x - 1)(x - 1) = (4x + 1)(x - 1)$.
答案
1.【解】(1)左边分解因式,得$(2x-3)(2x+1)=0$.
于是$2x-3=0$,或$2x+1=0$,
即 $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{1}{2}$.
(2)移项,得$(x+3)^2-(2x-5)^2=0$.
左边分解因式,得$[(x+3)+(2x-5)][(x+3)-(2x-5)]=0$.
整理,得$(3x-2)(-x+8)=0$.
于是$3x-2=0$,或$-x+8=0$,
即 $x_1=\frac{2}{3},x_2=8$.
(3)移项,得$(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0$.
左边分解因式,得$(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0$.
整理,得$(x-1)(-x-2)=0$.
于是$x-1=0$,或$-x-2=0$,
即 $x_1=1,x_2=-2$.
于是$2x-3=0$,或$2x+1=0$,
即 $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{1}{2}$.
(2)移项,得$(x+3)^2-(2x-5)^2=0$.
左边分解因式,得$[(x+3)+(2x-5)][(x+3)-(2x-5)]=0$.
整理,得$(3x-2)(-x+8)=0$.
于是$3x-2=0$,或$-x+8=0$,
即 $x_1=\frac{2}{3},x_2=8$.
(3)移项,得$(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0$.
左边分解因式,得$(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0$.
整理,得$(x-1)(-x-2)=0$.
于是$x-1=0$,或$-x-2=0$,
即 $x_1=1,x_2=-2$.
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为“几个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为一元一次方程求解。各小题思路如下：
(1) 方程左边是二次三项式，可通过十字相乘法分解为两个一次因式的乘积；
(2) 方程左右两边都是平方的形式，先移项使右边为0，再用平方差公式分解因式；
(3) 方程两边有公因式$(x-1)$，先移项使右边为0，再提取公因式分解，注意不能直接两边除以$(x-1)$，否则会漏掉$x=1$这个根。
【解析】
(1) 左边分解因式，得$(2x-3)(2x+1)=0$。
于是$2x-3=0$，或$2x+1=0$，
即 $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{1}{2}$。
(2) 移项，得$(x+3)^2-(2x-5)^2=0$。
左边分解因式，得$[(x+3)+(2x-5)][(x+3)-(2x-5)]=0$。
整理，得$(3x-2)(-x+8)=0$。
于是$3x-2=0$，或$-x+8=0$，
即 $x_1=\frac{2}{3},x_2=8$。
(3) 移项，得$(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0$。
左边分解因式，得$(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0$。
整理，得$(x-1)(-x-2)=0$。
于是$x-1=0$，或$-x-2=0$，
即 $x_1=1,x_2=-2$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{1}{2}$；
(2) $x_1=\frac{2}{3},x_2=8$；
(3) $x_1=1,x_2=-2$。
【知识点】
1. 因式分解法解方程
2. 十字相乘法
3. 平方差公式
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础题型，覆盖了十字相乘、平方差公式、提取公因式三类常见的因式分解场景，解题时需注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的情况，熟练掌握各类因式分解方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心是将方程转化为“几个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若ab=0，则a=0或b=0”转化为一元一次方程求解。各小题思路如下：
(1) 方程左边是二次三项式，可通过十字相乘法分解为两个一次因式的乘积；
(2) 方程左右两边都是平方的形式，先移项使右边为0，再用平方差公式分解因式；
(3) 方程两边有公因式$(x-1)$，先移项使右边为0，再提取公因式分解，注意不能直接两边除以$(x-1)$，否则会漏掉$x=1$这个根。
【解析】
(1) 左边分解因式，得$(2x-3)(2x+1)=0$。
于是$2x-3=0$，或$2x+1=0$，
即 $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{1}{2}$。
(2) 移项，得$(x+3)^2-(2x-5)^2=0$。
左边分解因式，得$[(x+3)+(2x-5)][(x+3)-(2x-5)]=0$。
整理，得$(3x-2)(-x+8)=0$。
于是$3x-2=0$，或$-x+8=0$，
即 $x_1=\frac{2}{3},x_2=8$。
(3) 移项，得$(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)=0$。
左边分解因式，得$(x-1)[(3x-1)-(4x+1)]=0$。
整理，得$(x-1)(-x-2)=0$。
于是$x-1=0$，或$-x-2=0$，
即 $x_1=1,x_2=-2$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{3}{2},x_2=-\frac{1}{2}$；
(2) $x_1=\frac{2}{3},x_2=8$；
(3) $x_1=1,x_2=-2$。
【知识点】
1. 因式分解法解方程
2. 十字相乘法
3. 平方差公式
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础题型，覆盖了十字相乘、平方差公式、提取公因式三类常见的因式分解场景，解题时需注意不要随意约去含未知数的整式，避免出现漏根的情况，熟练掌握各类因式分解方法是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
【典型例题 2】用适当的方法解下列方程.
(1)$(x-1)^2 -9=0$.
(2)$3x^2 -4x=2x$.
(3)$(x-2)^2 +10(x-2)+25=0$.
(4)$3x^2 -8x +2=0$.
【解】(1)移项,得$(x-1)^2=9$.
由此可得$x-1=\pm3$,
$x-1=3$,或$x-1=-3$,
即$x_1=4,x_2=-2$.
(2)整理,得$3x^2 -6x=0$.
左边分解因式,得$3x(x-2)=0$.
于是$3x=0$,或$x-2=0$,
即$x_1=0,x_2=2$.
(3)左边分解因式,得$(x-2+5)^2=0$,
即$(x+3)^2=0$.
于是$x+3=0$,
即$x_1=x_2=-3$.
(4)因为$a=3,b=-8,c=2$,
所以$\Delta =b^2 -4ac=(-8)^2 -4×3×2=40＞0$.方程有两个不相等的实数根$x=$
规律方法 解一元二次方程常用的方法.
(1)$(x-1)^2 -9=0$.
(2)$3x^2 -4x=2x$.
(3)$(x-2)^2 +10(x-2)+25=0$.
(4)$3x^2 -8x +2=0$.
【解】(1)移项,得$(x-1)^2=9$.
由此可得$x-1=\pm3$,
$x-1=3$,或$x-1=-3$,
即$x_1=4,x_2=-2$.
(2)整理,得$3x^2 -6x=0$.
左边分解因式,得$3x(x-2)=0$.
于是$3x=0$,或$x-2=0$,
即$x_1=0,x_2=2$.
(3)左边分解因式,得$(x-2+5)^2=0$,
即$(x+3)^2=0$.
于是$x+3=0$,
即$x_1=x_2=-3$.
(4)因为$a=3,b=-8,c=2$,
所以$\Delta =b^2 -4ac=(-8)^2 -4×3×2=40＞0$.方程有两个不相等的实数根$x=$
规律方法 解一元二次方程常用的方法.
答案
解：
(1) 移项，得$(x-1)^2=9$。
由此可得$x-1=\pm3$，
$x-1=3$，或$x-1=-3$，
即$x_1=4$，$x_2=-2$。
(2) 整理，得$3x^2-6x=0$。
左边分解因式，得$3x(x-2)=0$。
于是$3x=0$，或$x-2=0$，
即$x_1=0$，$x_2=2$。
(3) 左边分解因式，得$(x-2+5)^2=0$，
即$(x+3)^2=0$。
于是$x+3=0$，
即$x_1=x_2=-3$。
(4) 因为$a=3$，$b=-8$，$c=2$，
所以$\Delta =b^2-4ac=(-8)^2-4×3×2=40＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-8)\pm\sqrt{40}}{2×3}=\frac{8\pm2\sqrt{10}}{6}=\frac{4\pm\sqrt{10}}{3}$，
即$x_1=\frac{4+\sqrt{10}}{3}$，$x_2=\frac{4-\sqrt{10}}{3}$。
(1) 移项，得$(x-1)^2=9$。
由此可得$x-1=\pm3$，
$x-1=3$，或$x-1=-3$，
即$x_1=4$，$x_2=-2$。
(2) 整理，得$3x^2-6x=0$。
左边分解因式，得$3x(x-2)=0$。
于是$3x=0$，或$x-2=0$，
即$x_1=0$，$x_2=2$。
(3) 左边分解因式，得$(x-2+5)^2=0$，
即$(x+3)^2=0$。
于是$x+3=0$，
即$x_1=x_2=-3$。
(4) 因为$a=3$，$b=-8$，$c=2$，
所以$\Delta =b^2-4ac=(-8)^2-4×3×2=40＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-8)\pm\sqrt{40}}{2×3}=\frac{8\pm2\sqrt{10}}{6}=\frac{4\pm\sqrt{10}}{3}$，
即$x_1=\frac{4+\sqrt{10}}{3}$，$x_2=\frac{4-\sqrt{10}}{3}$。
解析
【分析】
解一元二次方程时，需先观察方程的结构特征，选择最简便的解法：
(1) 方程左边是完全平方式、右边是常数，适合用直接开平方法，先移项将完全平方式单独放在等号一侧，再开平方转化为一元一次方程求解；
(2) 方程整理后不含常数项，有公因式可提，适合用因式分解法，先整理为一般形式，再提公因式将左边分解为两个一次因式乘积，令每个因式为0求解；
(3) 将$(x-2)$看作整体，左边符合完全平方公式的结构，适合用因式分解法，利用完全平方公式分解因式后求解；
(4) 方程为一般形式，且无法用直接开平方法、因式分解法简便求解，选择公式法，先确定$a、b、c$的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 移项，得$(x-1)^2=9$。
由此可得$x-1=\pm3$，
$x-1=3$，或$x-1=-3$，
即$x_1=4$，$x_2=-2$。
(2) 整理，得$3x^2-6x=0$。
左边分解因式，得$3x(x-2)=0$。
于是$3x=0$，或$x-2=0$，
即$x_1=0$，$x_2=2$。
(3) 左边分解因式，得$(x-2+5)^2=0$，
即$(x+3)^2=0$。
于是$x+3=0$，
即$x_1=x_2=-3$。
(4) 因为$a=3$，$b=-8$，$c=2$，
所以$\Delta =b^2-4ac=(-8)^2-4×3×2=40＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-8)\pm\sqrt{40}}{2×3}=\frac{8\pm2\sqrt{10}}{6}=\frac{4\pm\sqrt{10}}{3}$，
即$x_1=\frac{4+\sqrt{10}}{3}$，$x_2=\frac{4-\sqrt{10}}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=-2$；
(2)$x_1=0,x_2=2$；
(3)$x_1=x_2=-3$；
(4)$x_1=\frac{4+\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{4-\sqrt{10}}{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题的关键是根据方程的结构特征选择最优解法，既能提高解题速度，也能减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程时，需先观察方程的结构特征，选择最简便的解法：
(1) 方程左边是完全平方式、右边是常数，适合用直接开平方法，先移项将完全平方式单独放在等号一侧，再开平方转化为一元一次方程求解；
(2) 方程整理后不含常数项，有公因式可提，适合用因式分解法，先整理为一般形式，再提公因式将左边分解为两个一次因式乘积，令每个因式为0求解；
(3) 将$(x-2)$看作整体，左边符合完全平方公式的结构，适合用因式分解法，利用完全平方公式分解因式后求解；
(4) 方程为一般形式，且无法用直接开平方法、因式分解法简便求解，选择公式法，先确定$a、b、c$的值，计算判别式判断根的情况，再代入求根公式计算即可。
【解析】
(1) 移项，得$(x-1)^2=9$。
由此可得$x-1=\pm3$，
$x-1=3$，或$x-1=-3$，
即$x_1=4$，$x_2=-2$。
(2) 整理，得$3x^2-6x=0$。
左边分解因式，得$3x(x-2)=0$。
于是$3x=0$，或$x-2=0$，
即$x_1=0$，$x_2=2$。
(3) 左边分解因式，得$(x-2+5)^2=0$，
即$(x+3)^2=0$。
于是$x+3=0$，
即$x_1=x_2=-3$。
(4) 因为$a=3$，$b=-8$，$c=2$，
所以$\Delta =b^2-4ac=(-8)^2-4×3×2=40＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-(-8)\pm\sqrt{40}}{2×3}=\frac{8\pm2\sqrt{10}}{6}=\frac{4\pm\sqrt{10}}{3}$，
即$x_1=\frac{4+\sqrt{10}}{3}$，$x_2=\frac{4-\sqrt{10}}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=4,x_2=-2$；
(2)$x_1=0,x_2=2$；
(3)$x_1=x_2=-3$；
(4)$x_1=\frac{4+\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{4-\sqrt{10}}{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，解题的关键是根据方程的结构特征选择最优解法，既能提高解题速度，也能减少计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
2. 用适当的方法解下列方程.
(1) $2x^2 - 8 = 0$.
(2) $x^2 - 2\sqrt{2}x - 4 = 0$.
(3) $2x^2 + 3x - 1 = 0$.
(4) $(2x + 1)^2 = 2x + 1$.
(1) $2x^2 - 8 = 0$.
(2) $x^2 - 2\sqrt{2}x - 4 = 0$.
(3) $2x^2 + 3x - 1 = 0$.
(4) $(2x + 1)^2 = 2x + 1$.
答案
2.【解】(1)移项,得$2x^2=8$.
二次项系数化为1,得$x^2=4$.
由此可得$x=\pm2$,
即 $x_1=2,x_2=-2$.
(2)移项,得$x^2-2\sqrt{2}x=4$.
配方,得$x^2-2\sqrt{2}x+(\sqrt{2})^2=4+(\sqrt{2})^2$,
即$(x-\sqrt{2})^2=6$.
由此可得$x-\sqrt{2}=\pm\sqrt{6}$,
$x-\sqrt{2}=\sqrt{6}$,或$x-\sqrt{2}=-\sqrt{6}$,
即 $x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$.
(3)因为$a=2,b=3,c=-1$,
所以$\Delta =b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17＞0$.
方程有两个不相等的实数根 $x =\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$,
即 $x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$.
(4)移项,得$(2x+1)^2-(2x+1)=0$.
左边分解因式,得$(2x+1)(2x+1-1)=0$.
于是$2x+1=0$,或$2x+1-1=0$,
即 $x_1=-\frac{1}{2},x_2=0$.
二次项系数化为1,得$x^2=4$.
由此可得$x=\pm2$,
即 $x_1=2,x_2=-2$.
(2)移项,得$x^2-2\sqrt{2}x=4$.
配方,得$x^2-2\sqrt{2}x+(\sqrt{2})^2=4+(\sqrt{2})^2$,
即$(x-\sqrt{2})^2=6$.
由此可得$x-\sqrt{2}=\pm\sqrt{6}$,
$x-\sqrt{2}=\sqrt{6}$,或$x-\sqrt{2}=-\sqrt{6}$,
即 $x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$.
(3)因为$a=2,b=3,c=-1$,
所以$\Delta =b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17＞0$.
方程有两个不相等的实数根 $x =\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$,
即 $x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$.
(4)移项,得$(2x+1)^2-(2x+1)=0$.
左边分解因式,得$(2x+1)(2x+1-1)=0$.
于是$2x+1=0$,或$2x+1-1=0$,
即 $x_1=-\frac{1}{2},x_2=0$.
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的解法，需结合每个方程的特征选择最简便的求解方法：(1)方程无一次项，移项后可直接化为$x^2=a$的形式，适合用直接开平方法求解；(2)方程一次项系数为$-2\sqrt{2}$，配方为完全平方形式计算更简便，适合用配方法求解；(3)方程各项系数无特殊特征，不便于直接开方或因式分解，适合用公式法求解；(4)方程左右两侧有公因式$(2x+1)$，移项后提取公因式即可降次，适合用因式分解法求解。
【解析】
(1)移项,得$2x^2=8$.
二次项系数化为1,得$x^2=4$.
由此可得$x=\pm2$,
即 $x_1=2,x_2=-2$.
(2)移项,得$x^2-2\sqrt{2}x=4$.
配方,得$x^2-2\sqrt{2}x+(\sqrt{2})^2=4+(\sqrt{2})^2$,
即$(x-\sqrt{2})^2=6$.
由此可得$x-\sqrt{2}=\pm\sqrt{6}$,
$x-\sqrt{2}=\sqrt{6}$,或$x-\sqrt{2}=-\sqrt{6}$,
即 $x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$.
(3)因为$a=2,b=3,c=-1$,
所以$\Delta =b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17＞0$.
方程有两个不相等的实数根 $x =\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$,
即 $x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$.
(4)移项,得$(2x+1)^2-(2x+1)=0$.
左边分解因式,得$(2x+1)(2x+1-1)=0$.
于是$2x+1=0$,或$2x+1-1=0$,
即 $x_1=-\frac{1}{2},x_2=0$.
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=-2$
(2)$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$
(3)$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$
(4)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=0$
【知识点】
一元二次方程的解法、公式法、因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，核心考查根据方程结构特征灵活选择求解方法的能力，选对合适的方法可有效降低计算量，提升解题准确率。
【难度系数】
0.85
本题考查一元二次方程的解法，需结合每个方程的特征选择最简便的求解方法：(1)方程无一次项，移项后可直接化为$x^2=a$的形式，适合用直接开平方法求解；(2)方程一次项系数为$-2\sqrt{2}$，配方为完全平方形式计算更简便，适合用配方法求解；(3)方程各项系数无特殊特征，不便于直接开方或因式分解，适合用公式法求解；(4)方程左右两侧有公因式$(2x+1)$，移项后提取公因式即可降次，适合用因式分解法求解。
【解析】
(1)移项,得$2x^2=8$.
二次项系数化为1,得$x^2=4$.
由此可得$x=\pm2$,
即 $x_1=2,x_2=-2$.
(2)移项,得$x^2-2\sqrt{2}x=4$.
配方,得$x^2-2\sqrt{2}x+(\sqrt{2})^2=4+(\sqrt{2})^2$,
即$(x-\sqrt{2})^2=6$.
由此可得$x-\sqrt{2}=\pm\sqrt{6}$,
$x-\sqrt{2}=\sqrt{6}$,或$x-\sqrt{2}=-\sqrt{6}$,
即 $x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$.
(3)因为$a=2,b=3,c=-1$,
所以$\Delta =b^2-4ac=3^2-4×2×(-1)=17＞0$.
方程有两个不相等的实数根 $x =\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$,
即 $x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$.
(4)移项,得$(2x+1)^2-(2x+1)=0$.
左边分解因式,得$(2x+1)(2x+1-1)=0$.
于是$2x+1=0$,或$2x+1-1=0$,
即 $x_1=-\frac{1}{2},x_2=0$.
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=-2$
(2)$x_1=\sqrt{2}+\sqrt{6},x_2=\sqrt{2}-\sqrt{6}$
(3)$x_1=\frac{-3+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$
(4)$x_1=-\frac{1}{2},x_2=0$
【知识点】
一元二次方程的解法、公式法、因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，核心考查根据方程结构特征灵活选择求解方法的能力，选对合适的方法可有效降低计算量，提升解题准确率。
【难度系数】
0.85
