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基础知识·预习
问题1 如果知道方程的根，那么方程可以写成什么形式？
问题2 一元二次方程的根与系数有什么关系？
问题1 如果知道方程的根，那么方程可以写成什么形式？
问题2 一元二次方程的根与系数有什么关系？
答案
解：
问题1：若一元二次方程的两个实数根为$x_1$，$x_2$，则该方程可以写成因式形式：
$a(x-x_1)(x-x_2)=0$（其中$a≠0$，为非零常数），展开后即为一元二次方程的一般形式。
问题2：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$，方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$时，根与系数满足如下关系：
两根之和：$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$
两根之积：$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
问题1：若一元二次方程的两个实数根为$x_1$，$x_2$，则该方程可以写成因式形式：
$a(x-x_1)(x-x_2)=0$（其中$a≠0$，为非零常数），展开后即为一元二次方程的一般形式。
问题2：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$，方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$时，根与系数满足如下关系：
两根之和：$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$
两根之积：$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
解析
【分析】
这两个是一元二次方程根相关的基础概念问题，解题思路如下：
1. 问题1：逆向运用因式分解法解一元二次方程的逻辑，我们用因式分解法解方程时，若方程能拆解为两个一次因式乘积等于0的形式，令每个因式为0就能得到方程的根；反过来已知两个根，就可以逆推写出对应的因式乘积形式，注意要保留非零常数$a$保证方程为一元二次方程。
2. 问题2：先明确根与系数关系成立的前提是方程有两个实数根（即判别式$\Delta≥0$），再结合一元二次方程的一般式，对应记忆两根之和、两根之积与各项系数的对应关系即可。
【解析】
问题1解答：
若一元二次方程的两个实数根为$x_1$，$x_2$，则该方程可以写成因式形式：
$a(x-x_1)(x-x_2)=0$（其中$a≠0$，为非零常数），展开后即为一元二次方程的一般形式。
问题2解答：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$，方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$时，根与系数满足如下关系：
两根之和：$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$
两根之积：$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
【答案】
问题1：若一元二次方程的两个实数根为$x_1$，$x_2$，则该方程可以写成$a(x-x_1)(x-x_2)=0$（$a≠0$，为非零常数），展开后为一元二次方程的一般形式。
问题2：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当$\Delta=b^2-4ac≥0$，方程有两个实数根$x_1$、$x_2$时，$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$。
【知识点】
1. 由根构造一元二次方程
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 一元二次方程判别式
【点评】
这两道题是一元二次方程根与系数模块的入门基础题，是后续利用韦达定理求代数式值、构造方程等拓展题型的核心依据，学习时要准确记忆结论，尤其要注意根与系数关系成立的前提条件，避免忽略判别式的限制导致错误。
【难度系数】
0.8
这两个是一元二次方程根相关的基础概念问题，解题思路如下：
1. 问题1：逆向运用因式分解法解一元二次方程的逻辑，我们用因式分解法解方程时，若方程能拆解为两个一次因式乘积等于0的形式，令每个因式为0就能得到方程的根；反过来已知两个根，就可以逆推写出对应的因式乘积形式，注意要保留非零常数$a$保证方程为一元二次方程。
2. 问题2：先明确根与系数关系成立的前提是方程有两个实数根（即判别式$\Delta≥0$），再结合一元二次方程的一般式，对应记忆两根之和、两根之积与各项系数的对应关系即可。
【解析】
问题1解答：
若一元二次方程的两个实数根为$x_1$，$x_2$，则该方程可以写成因式形式：
$a(x-x_1)(x-x_2)=0$（其中$a≠0$，为非零常数），展开后即为一元二次方程的一般形式。
问题2解答：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$，方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$时，根与系数满足如下关系：
两根之和：$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$
两根之积：$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
【答案】
问题1：若一元二次方程的两个实数根为$x_1$，$x_2$，则该方程可以写成$a(x-x_1)(x-x_2)=0$（$a≠0$，为非零常数），展开后为一元二次方程的一般形式。
问题2：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），当$\Delta=b^2-4ac≥0$，方程有两个实数根$x_1$、$x_2$时，$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$。
【知识点】
1. 由根构造一元二次方程
2. 根与系数的关系（韦达定理）
3. 一元二次方程判别式
【点评】
这两道题是一元二次方程根与系数模块的入门基础题，是后续利用韦达定理求代数式值、构造方程等拓展题型的核心依据，学习时要准确记忆结论，尤其要注意根与系数关系成立的前提条件，避免忽略判别式的限制导致错误。
【难度系数】
0.8
【典型例题1】不解方程，求下列方程两个根$x_1,x_2$的和与积。
(1)$2x^2 + 5x = 0$。
(2)$x^2 + 1 = 3x + 4$。
【解】(1)$x_1 + x_2 = -\dfrac{5}{2}, x_1x_2 = 0$。
(2)移项，合并同类项，得$x^2 - 3x - 3 = 0$。
$\therefore x_1 + x_2 = 3, x_1x_2 = -3$。
规律方法 解决这类问题时，通常将一元二次方程化成一般形式$ax^2 + bx + c = 0$，找准$a,b,c$（一定要带前面的符号），然后再利用“$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$”和“$x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$”求解。
(1)$2x^2 + 5x = 0$。
(2)$x^2 + 1 = 3x + 4$。
【解】(1)$x_1 + x_2 = -\dfrac{5}{2}, x_1x_2 = 0$。
(2)移项，合并同类项，得$x^2 - 3x - 3 = 0$。
$\therefore x_1 + x_2 = 3, x_1x_2 = -3$。
规律方法 解决这类问题时，通常将一元二次方程化成一般形式$ax^2 + bx + c = 0$，找准$a,b,c$（一定要带前面的符号），然后再利用“$x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$”和“$x_1x_2 = \dfrac{c}{a}$”求解。
答案
解：
(1) 方程$2x^2+5x=0$是一元二次方程的一般形式，其中$a=2$，$b=5$，$c=0$。
由一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{5}{2}$，
$x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{0}{2}=0$。
(2) 将原方程移项、合并同类项，化为一般形式：
$x^2 - 3x - 3 = 0$，
其中$a=1$，$b=-3$，$c=-3$。
由一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-3}{1}=3$，
$x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-3}{1}=-3$。
(1) 方程$2x^2+5x=0$是一元二次方程的一般形式，其中$a=2$，$b=5$，$c=0$。
由一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{5}{2}$，
$x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{0}{2}=0$。
(2) 将原方程移项、合并同类项，化为一般形式：
$x^2 - 3x - 3 = 0$，
其中$a=1$，$b=-3$，$c=-3$。
由一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-3}{1}=3$，
$x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-3}{1}=-3$。
解析
【分析】
本题要求不解方程求一元二次方程两根的和与积，核心解题思路是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。解题步骤如下：①先确认方程是否为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若不是则先通过移项、合并同类项化为一般形式；②准确找出一般形式中对应系数$a、b、c$的取值，注意要带上系数前的符号；③将系数代入韦达定理公式$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$、$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$计算即可得到结果。
【解析】
(1) 方程$2x^2 + 5x = 0$为一元二次方程的一般形式，其中$a=2$，$b=5$，$c=0$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{5}{2}$，
$x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{0}{2}=0$。
(2) 先将原方程移项、合并同类项，化为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 3x - 3 = 0$，
其中$a=1$，$b=-3$，$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-3}{1}=3$，
$x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-3}{1}=-3$。
【答案】
(1)$x_1+x_2=-\dfrac{5}{2}$，$x_1x_2=0$；(2)$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-3$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题的易错点是未将方程化为一般形式就直接找系数，或者确定$b、c$时忽略符号，掌握韦达定理的使用前提和系数取值规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
本题要求不解方程求一元二次方程两根的和与积，核心解题思路是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。解题步骤如下：①先确认方程是否为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若不是则先通过移项、合并同类项化为一般形式；②准确找出一般形式中对应系数$a、b、c$的取值，注意要带上系数前的符号；③将系数代入韦达定理公式$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$、$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$计算即可得到结果。
【解析】
(1) 方程$2x^2 + 5x = 0$为一元二次方程的一般形式，其中$a=2$，$b=5$，$c=0$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{5}{2}$，
$x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{0}{2}=0$。
(2) 先将原方程移项、合并同类项，化为一元二次方程的一般形式：
$x^2 - 3x - 3 = 0$，
其中$a=1$，$b=-3$，$c=-3$。
根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-\dfrac{-3}{1}=3$，
$x_1x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-3}{1}=-3$。
【答案】
(1)$x_1+x_2=-\dfrac{5}{2}$，$x_1x_2=0$；(2)$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=-3$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是根与系数关系的基础应用题型，解题的易错点是未将方程化为一般形式就直接找系数，或者确定$b、c$时忽略符号，掌握韦达定理的使用前提和系数取值规则即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
1. 下列一元二次方程中，两根之和为2、两根之积为0的是 （
A.$x^2 - 2x = 0$
B.$x^2 + 3x + 2 = 0$
C.$x^2 + 2x + 3 = 0$
D.$x^2 - 2x + 3 = 0$
A
）A.$x^2 - 2x = 0$
B.$x^2 + 3x + 2 = 0$
C.$x^2 + 2x + 3 = 0$
D.$x^2 - 2x + 3 = 0$
答案
A
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，需先满足判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$（保证有两个实数根），此时两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。我们可以逐个验证每个选项是否满足“两根之和为2、两根之积为0”的要求，验证时要注意先排除无实根的选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若存在两个实数根，则满足：
$\Delta = b^2-4ac≥0$，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，其中$x_1、x_2$为方程的两根。
我们逐个分析选项：
A. 方程$x^2 - 2x = 0$中，$a=1，b=-2，c=0$
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×0 = 4≥0$，存在两个实根；
两根之和：$-\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1}=2$，两根之积：$\frac{c}{a}=\frac{0}{1}=0$，完全符合要求。
B. 方程$x^2 + 3x + 2 = 0$中，两根之和为$-\frac{3}{1}=-3≠2$，不符合要求，排除。
C. 方程$x^2 + 2x + 3 = 0$中，$\Delta = 2^2 - 4×1×3 = -8＜0$，无实根，且两根之和为$-\frac{2}{1}=-2≠2$，不符合要求，排除。
D. 方程$x^2 - 2x + 3 = 0$中，$\Delta = (-2)^2 - 4×1×3 = -8＜0$，无实根，不符合要求，排除。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
韦达定理（根与系数的关系），根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心是掌握韦达定理的内容及适用前提，解题时需注意不要忽略判别式的验证，避免误选无实根的选项。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的应用，解题思路如下：首先明确对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，需先满足判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$（保证有两个实数根），此时两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。我们可以逐个验证每个选项是否满足“两根之和为2、两根之积为0”的要求，验证时要注意先排除无实根的选项。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若存在两个实数根，则满足：
$\Delta = b^2-4ac≥0$，$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$，其中$x_1、x_2$为方程的两根。
我们逐个分析选项：
A. 方程$x^2 - 2x = 0$中，$a=1，b=-2，c=0$
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×0 = 4≥0$，存在两个实根；
两根之和：$-\frac{b}{a} = -\frac{-2}{1}=2$，两根之积：$\frac{c}{a}=\frac{0}{1}=0$，完全符合要求。
B. 方程$x^2 + 3x + 2 = 0$中，两根之和为$-\frac{3}{1}=-3≠2$，不符合要求，排除。
C. 方程$x^2 + 2x + 3 = 0$中，$\Delta = 2^2 - 4×1×3 = -8＜0$，无实根，且两根之和为$-\frac{2}{1}=-2≠2$，不符合要求，排除。
D. 方程$x^2 - 2x + 3 = 0$中，$\Delta = (-2)^2 - 4×1×3 = -8＜0$，无实根，不符合要求，排除。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
韦达定理（根与系数的关系），根的判别式
【点评】
本题是基础题型，核心是掌握韦达定理的内容及适用前提，解题时需注意不要忽略判别式的验证，避免误选无实根的选项。
【难度系数】
0.8
【典型例题2】已知方程$2x^2 +5x -1=0$的两个根为$x_1,x_2$,不解方程,求下列各式的值.
(1)$x_1{}^2 +x_2{}^2$.
(2)$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$.
思路导引 先把$x_1{}^2 +x_2{}^2$和$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$分别化为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式,再利用一元二次方程的根与系数的关系求解.
【解】(1)因为$x_1+x_2=-\frac{5}{2},x_1x_2=-\frac{1}{2}$,
所以$x_1{}^2 +x_2{}^2=(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2=(-\frac{5}{2})^2 -2×(-\frac{1}{2})=\frac{29}{4}$.
(2)因为$x_1x_2=-\frac{1}{2}$,且由(1)可得$x_1{}^2 +x_2{}^2=\frac{29}{4}$,所以
(1)$x_1{}^2 +x_2{}^2$.
(2)$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$.
思路导引 先把$x_1{}^2 +x_2{}^2$和$\frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}$分别化为含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式,再利用一元二次方程的根与系数的关系求解.
【解】(1)因为$x_1+x_2=-\frac{5}{2},x_1x_2=-\frac{1}{2}$,
所以$x_1{}^2 +x_2{}^2=(x_1+x_2)^2 -2x_1x_2=(-\frac{5}{2})^2 -2×(-\frac{1}{2})=\frac{29}{4}$.
(2)因为$x_1x_2=-\frac{1}{2}$,且由(1)可得$x_1{}^2 +x_2{}^2=\frac{29}{4}$,所以
答案
解：
由一元二次方程根与系数的关系，可得
$x_1 + x_2 = -\frac{5}{2}$，$x_1x_2 = -\frac{1}{2}$。
(1)
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
$= (-\frac{5}{2})^2 - 2×(-\frac{1}{2})$
$= \frac{25}{4} + 1$
$= \frac{29}{4}$
(2)
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}$
将$x_1^2+x_2^2=\frac{29}{4}$，$x_1x_2=-\frac{1}{2}$代入得：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{\frac{29}{4}}{-\frac{1}{2}} = -\frac{29}{2}$
由一元二次方程根与系数的关系，可得
$x_1 + x_2 = -\frac{5}{2}$，$x_1x_2 = -\frac{1}{2}$。
(1)
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
$= (-\frac{5}{2})^2 - 2×(-\frac{1}{2})$
$= \frac{25}{4} + 1$
$= \frac{29}{4}$
(2)
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}$
将$x_1^2+x_2^2=\frac{29}{4}$，$x_1x_2=-\frac{1}{2}$代入得：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{\frac{29}{4}}{-\frac{1}{2}} = -\frac{29}{2}$
解析
【分析】
本题要求不解方程求代数式的值，解题思路如下：①首先回忆一元二次方程根与系数的关系，对于$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，先代入系数算出本题的$x_1+x_2$和$x_1x_2$；②对所求代数式做恒等变形，将其转化为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式：第一问的$x_1^2+x_2^2$可通过完全平方公式变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，第二问的分式求和先通分，变形为$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}$，可直接复用第一问的结果；③最后代入数值计算，注意符号运算避免出错。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$2x^2+5x-1=0$，$a=2,b=5,c=-1$，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{5}{2}$，$x_1x_2 = -\frac{1}{2}$。
(1) 计算$x_1^2 + x_2^2$：
由完全平方公式变形得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入数值计算：
$= (-\frac{5}{2})^2 - 2×(-\frac{1}{2})$
$= \frac{25}{4} + 1$
$= \frac{29}{4}$
(2) 计算$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$：
先通分化简得：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}$
将$x_1^2+x_2^2=\frac{29}{4}$，$x_1x_2=-\frac{1}{2}$代入得：
$= \frac{\frac{29}{4}}{-\frac{1}{2}} = -\frac{29}{2}$
【答案】
(1) $\frac{29}{4}$；(2) $-\frac{29}{2}$
【知识点】
1. 根与系数的关系（韦达定理）
2. 完全平方公式变形
3. 分式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的典型基础应用题，解题核心是将所求代数式转化为仅含两根之和、两根之积的形式，无需解方程即可得到结果，熟练掌握常见的代数式变形技巧是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.75
本题要求不解方程求代数式的值，解题思路如下：①首先回忆一元二次方程根与系数的关系，对于$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，先代入系数算出本题的$x_1+x_2$和$x_1x_2$；②对所求代数式做恒等变形，将其转化为仅含$x_1+x_2$和$x_1x_2$的形式：第一问的$x_1^2+x_2^2$可通过完全平方公式变形为$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2$，第二问的分式求和先通分，变形为$\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}$，可直接复用第一问的结果；③最后代入数值计算，注意符号运算避免出错。
【解析】
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$2x^2+5x-1=0$，$a=2,b=5,c=-1$，可得：
$x_1 + x_2 = -\frac{5}{2}$，$x_1x_2 = -\frac{1}{2}$。
(1) 计算$x_1^2 + x_2^2$：
由完全平方公式变形得：
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$
代入数值计算：
$= (-\frac{5}{2})^2 - 2×(-\frac{1}{2})$
$= \frac{25}{4} + 1$
$= \frac{29}{4}$
(2) 计算$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$：
先通分化简得：
$\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2}$
将$x_1^2+x_2^2=\frac{29}{4}$，$x_1x_2=-\frac{1}{2}$代入得：
$= \frac{\frac{29}{4}}{-\frac{1}{2}} = -\frac{29}{2}$
【答案】
(1) $\frac{29}{4}$；(2) $-\frac{29}{2}$
【知识点】
1. 根与系数的关系（韦达定理）
2. 完全平方公式变形
3. 分式化简求值
【点评】
本题是根与系数关系的典型基础应用题，解题核心是将所求代数式转化为仅含两根之和、两根之积的形式，无需解方程即可得到结果，熟练掌握常见的代数式变形技巧是解决此类问题的关键。
【难度系数】
0.75
