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2. 已知$m,n$是一元二次方程$x^2 -2x -1=0$的两个实数根，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值为
-2
。答案
-2
解析
【分析】
要求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值，可先对该分式通分化简，将其转化为用两根之和$m+n$、两根之积$mn$表示的形式；再利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出$m+n$和$mn$的值，最后代入化简后的式子计算即可，无需单独求解方程得到$m、n$的具体值，简化运算。
【解析】
解：已知$m,n$是一元二次方程$x^2 -2x -1=0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，
在方程$x^2 -2x -1=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=-1$，
因此可得：$m+n=-\frac{-2}{1}=2$，$mn=\frac{-1}{1}=-1$。
对所求分式通分化简：$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}$，
将$m+n=2$，$mn=-1$代入得：$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{-1}=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式的化简求值
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将所求代数式合理变形为与两根和、两根积相关的形式，能有效规避直接求根带来的繁琐计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
要求$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的值，可先对该分式通分化简，将其转化为用两根之和$m+n$、两根之积$mn$表示的形式；再利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出$m+n$和$mn$的值，最后代入化简后的式子计算即可，无需单独求解方程得到$m、n$的具体值，简化运算。
【解析】
解：已知$m,n$是一元二次方程$x^2 -2x -1=0$的两个实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系：对于方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，
在方程$x^2 -2x -1=0$中，$a=1$，$b=-2$，$c=-1$，
因此可得：$m+n=-\frac{-2}{1}=2$，$mn=\frac{-1}{1}=-1$。
对所求分式通分化简：$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{mn}$，
将$m+n=2$，$mn=-1$代入得：$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{2}{-1}=-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式的化简求值
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，解题核心是将所求代数式合理变形为与两根和、两根积相关的形式，能有效规避直接求根带来的繁琐计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
【典型例题3】已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -4x -2(m+4)=0$.若该方程的一个根是另一个根的3倍,求$m$的值.
答案
解：设该方程的两个根分别为$x_1$，$x_2$，且$x_1=3x_2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 4$，
$x_1 x_2 = -2(m+4)$。
将$x_1=3x_2$代入$x_1+x_2=4$，得：
$3x_2 + x_2 = 4$，
解得$x_2=1$，则$x_1=3$。
把$x_1=3$，$x_2=1$代入$x_1 x_2 = -2(m+4)$，得：
$3×1 = -2(m+4)$，
整理得$3 = -2m -8$，
解得$m=-\dfrac{11}{2}$。
检验：当$m=-\dfrac{11}{2}$时，判别式$\Delta=(-4)^2 -4×1×[-2(m+4)]=4＞0$，方程有两个实数根，符合题意。
所以$m$的值为$-\dfrac{11}{2}$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 4$，
$x_1 x_2 = -2(m+4)$。
将$x_1=3x_2$代入$x_1+x_2=4$，得：
$3x_2 + x_2 = 4$，
解得$x_2=1$，则$x_1=3$。
把$x_1=3$，$x_2=1$代入$x_1 x_2 = -2(m+4)$，得：
$3×1 = -2(m+4)$，
整理得$3 = -2m -8$，
解得$m=-\dfrac{11}{2}$。
检验：当$m=-\dfrac{11}{2}$时，判别式$\Delta=(-4)^2 -4×1×[-2(m+4)]=4＞0$，方程有两个实数根，符合题意。
所以$m$的值为$-\dfrac{11}{2}$。
解析
【分析】
本题已知一元二次方程两根存在3倍的数量关系，求参数m的值，解题思路如下：1. 回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$；2. 结合“一个根是另一个根的3倍”的条件设出两根，先利用两根之和的关系求出两个根的具体值；3. 将求出的两根代入两根之积的表达式，建立关于m的方程求解；4. 最后代入判别式验证，确保方程有两个实数根，保证结果符合题意。
【解析】
设该方程的两个根分别为$x_1$，$x_2$，且$x_1=3x_2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 4$，
$x_1 x_2 = -2(m+4)$。
将$x_1=3x_2$代入$x_1+x_2=4$，得：
$3x_2 + x_2 = 4$，
解得$x_2=1$，则$x_1=3$。
把$x_1=3$，$x_2=1$代入$x_1 x_2 = -2(m+4)$，得：
$3×1 = -2(m+4)$，
整理得$3 = -2m -8$，
解得$m=-\dfrac{11}{2}$。
检验：当$m=-\dfrac{11}{2}$时，判别式$\Delta=(-4)^2 -4×1×[-2(m+4)]=4＞0$，方程有两个实数根，符合题意。
【答案】
$-\dfrac{11}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题时结合根的数量关系和韦达定理即可逐步求出参数，注意最后要验证判别式，避免增根，是该模块的常考基础题。
【难度系数】
0.7
本题已知一元二次方程两根存在3倍的数量关系，求参数m的值，解题思路如下：1. 回忆一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$；2. 结合“一个根是另一个根的3倍”的条件设出两根，先利用两根之和的关系求出两个根的具体值；3. 将求出的两根代入两根之积的表达式，建立关于m的方程求解；4. 最后代入判别式验证，确保方程有两个实数根，保证结果符合题意。
【解析】
设该方程的两个根分别为$x_1$，$x_2$，且$x_1=3x_2$。
根据一元二次方程根与系数的关系，得：
$x_1 + x_2 = 4$，
$x_1 x_2 = -2(m+4)$。
将$x_1=3x_2$代入$x_1+x_2=4$，得：
$3x_2 + x_2 = 4$，
解得$x_2=1$，则$x_1=3$。
把$x_1=3$，$x_2=1$代入$x_1 x_2 = -2(m+4)$，得：
$3×1 = -2(m+4)$，
整理得$3 = -2m -8$，
解得$m=-\dfrac{11}{2}$。
检验：当$m=-\dfrac{11}{2}$时，判别式$\Delta=(-4)^2 -4×1×[-2(m+4)]=4＞0$，方程有两个实数根，符合题意。
【答案】
$-\dfrac{11}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系 2. 一元二次方程根的判别式
【点评】
本题是韦达定理的基础应用题型，解题时结合根的数量关系和韦达定理即可逐步求出参数，注意最后要验证判别式，避免增根，是该模块的常考基础题。
【难度系数】
0.7
3. 已知关于$x$的方程$x^2 + kx + k - 2 = 0$.若方程的一个根为1,求方程的另一个根以及$k$的值.
答案
【解】$\because \Delta =k^2 -4(k-2)=(k-2)^2 +4＞0$，
$\therefore$无论$k$为何值,原方程都有两个不相等的实数根.
设方程$x^2 +kx +k-2=0$的另一个根为$x_1$.
根据题意,得$x_1 +1=-k$,$x_1 × 1=k-2$.
$\therefore x_1 =-k-1=k-2$.
$\therefore k=\frac{1}{2}$.
进而$k-2=-\frac{3}{2}$.
$\therefore$原方程的另一个根为$-\frac{3}{2}$,$k$的值为$\frac{1}{2}$.
$\therefore$无论$k$为何值,原方程都有两个不相等的实数根.
设方程$x^2 +kx +k-2=0$的另一个根为$x_1$.
根据题意,得$x_1 +1=-k$,$x_1 × 1=k-2$.
$\therefore x_1 =-k-1=k-2$.
$\therefore k=\frac{1}{2}$.
进而$k-2=-\frac{3}{2}$.
$\therefore$原方程的另一个根为$-\frac{3}{2}$,$k$的值为$\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个根，求参数k和另一根，有两种解题思路：思路一：根据方程根的定义，将x=1代入原方程先求出k的值，再把k代入原方程求解得到另一个根；思路二：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，更为简便。首先可通过判别式验证方程总有两个不相等的实数根，确认存在另一根后，设另一根为$x_1$，根据两根之和、两根之积与系数的关系列出关于$x_1$和k的关系式，联立即可求解。
【解析】
先判断方程根的情况：
$\because \Delta =k^2 -4(k-2)=(k-2)^2 +4＞0$，
$\therefore$无论$k$为何值，原方程都有两个不相等的实数根。
设方程$x^2 +kx +k-2=0$的另一个根为$x_1$，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$\begin{cases} x_1 +1=-k \\ x_1 × 1=k-2 \end{cases}$
将第一个式子变形得$x_1 =-k-1$，代入第二个式子得：
$-k-1=k-2$
解得$k=\frac{1}{2}$。
将$k=\frac{1}{2}$代入$x_1 =k-2$，得$x_1=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$。
【答案】
$k$的值为$\frac{1}{2}$，方程的另一个根为$-\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题，既可以用代入已知根求参数的方法求解，也可以用韦达定理快速求解，熟练掌握相关公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题已知一元二次方程的一个根，求参数k和另一根，有两种解题思路：思路一：根据方程根的定义，将x=1代入原方程先求出k的值，再把k代入原方程求解得到另一个根；思路二：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，更为简便。首先可通过判别式验证方程总有两个不相等的实数根，确认存在另一根后，设另一根为$x_1$，根据两根之和、两根之积与系数的关系列出关于$x_1$和k的关系式，联立即可求解。
【解析】
先判断方程根的情况：
$\because \Delta =k^2 -4(k-2)=(k-2)^2 +4＞0$，
$\therefore$无论$k$为何值，原方程都有两个不相等的实数根。
设方程$x^2 +kx +k-2=0$的另一个根为$x_1$，根据一元二次方程根与系数的关系可得：
$\begin{cases} x_1 +1=-k \\ x_1 × 1=k-2 \end{cases}$
将第一个式子变形得$x_1 =-k-1$，代入第二个式子得：
$-k-1=k-2$
解得$k=\frac{1}{2}$。
将$k=\frac{1}{2}$代入$x_1 =k-2$，得$x_1=\frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$。
【答案】
$k$的值为$\frac{1}{2}$，方程的另一个根为$-\frac{3}{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程根的判别式；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题，既可以用代入已知根求参数的方法求解，也可以用韦达定理快速求解，熟练掌握相关公式是解题的关键。
【难度系数】
0.8
