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10.“类比法”在中学数学的众多解题方法中一直占据着非常重要的地位,掌握并熟练使用类比方法,不但能够启发解题思路,提供解题线索,而且还可以帮助学生系统掌握和巩固新知识,大力增强其发散思维以及创造思维能力。
学习完“角”后,爱动脑筋的小明不禁思考:当线段上共有n个点(含端点)时,则共有$\frac{n(n-1)}{2}$条线段;那么当从点O分别引n条射线时,共有多少个角呢?于是,他便类比线段规律的研究思路,探究如图所示角的相关结论。
如图①,从点O分别引两条射线,则得到一个角∠AOB。(图中的角均指不大于平角的角)
(1)探究:a.如图②,从点O分别引三条射线,则图中得到个角；
b.如图③,从点O分别引四条射线,则图中得到个角；
c.依此类推,从点O分别引n条射线,则得到个角(用含n的式子表示)。
(2)应用:利用第(1)问中发现的规律解决问题:
2022年足球世界杯在卡塔尔举行,共有32支国家足球队参赛。比赛分小组赛、$\frac{1}{8}$决赛、$\frac{1}{4}$决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行。32支球队平均分成8个小组进行循环赛(小组内每两支球队举行一场比赛);每小组前两名球队进入$\frac{1}{8}$决赛,然后实行淘汰赛(一场定胜负:胜者晋级,负者淘汰),胜者进入$\frac{1}{4}$决赛……请你计算2022年足球世界杯共进行了多少场比赛。
学习完“角”后,爱动脑筋的小明不禁思考:当线段上共有n个点(含端点)时,则共有$\frac{n(n-1)}{2}$条线段;那么当从点O分别引n条射线时,共有多少个角呢?于是,他便类比线段规律的研究思路,探究如图所示角的相关结论。
如图①,从点O分别引两条射线,则得到一个角∠AOB。(图中的角均指不大于平角的角)
(1)探究:a.如图②,从点O分别引三条射线,则图中得到个角；
b.如图③,从点O分别引四条射线,则图中得到个角；
c.依此类推,从点O分别引n条射线,则得到个角(用含n的式子表示)。
(2)应用:利用第(1)问中发现的规律解决问题:
2022年足球世界杯在卡塔尔举行,共有32支国家足球队参赛。比赛分小组赛、$\frac{1}{8}$决赛、$\frac{1}{4}$决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行。32支球队平均分成8个小组进行循环赛(小组内每两支球队举行一场比赛);每小组前两名球队进入$\frac{1}{8}$决赛,然后实行淘汰赛(一场定胜负:胜者晋级,负者淘汰),胜者进入$\frac{1}{4}$决赛……请你计算2022年足球世界杯共进行了多少场比赛。
答案
解：
(1) a. 3
b. 6
c. $\frac{n(n-1)}{2}$
(2) 计算比赛总场数：
小组赛阶段：
32支球队平均分成8个小组，每组球队数量为$32÷8=4$支。
小组内每两支球队比赛一场，代入(1)中规律，每组比赛场数为$\frac{4×(4-1)}{2}=6$场。
8个小组的小组赛总场数为$8×6=48$场。
淘汰赛阶段：
进入$\frac{1}{8}$决赛的球队共$8×2=16$支：
$\frac{1}{8}$决赛场数：$16÷2=8$场
$\frac{1}{4}$决赛场数：$8÷2=4$场
半决赛场数：$4÷2=2$场
三四名决赛：1场
决赛：1场
淘汰赛总场数：$8+4+2+1+1=16$场
世界杯总比赛场数：$48+16=64$场
答：2022年足球世界杯共进行了64场比赛。
(1) a. 3
b. 6
c. $\frac{n(n-1)}{2}$
(2) 计算比赛总场数：
小组赛阶段：
32支球队平均分成8个小组，每组球队数量为$32÷8=4$支。
小组内每两支球队比赛一场，代入(1)中规律，每组比赛场数为$\frac{4×(4-1)}{2}=6$场。
8个小组的小组赛总场数为$8×6=48$场。
淘汰赛阶段：
进入$\frac{1}{8}$决赛的球队共$8×2=16$支：
$\frac{1}{8}$决赛场数：$16÷2=8$场
$\frac{1}{4}$决赛场数：$8÷2=4$场
半决赛场数：$4÷2=2$场
三四名决赛：1场
决赛：1场
淘汰赛总场数：$8+4+2+1+1=16$场
世界杯总比赛场数：$48+16=64$场
答：2022年足球世界杯共进行了64场比赛。
解析
【分析】
解题时我们可以类比线段的计数思路：角由两条共端点的射线组成，每两条射线可唯一确定一个角，和“两点确定一条线段”的计数逻辑完全一致。
(1)部分：数角时可以按固定边依次计数，避免重复或遗漏：a.3条射线时，分别以每条射线为边数出不重复的角相加即可；b.4条射线时用同样的方法累加计数；c.推广到n条射线时，总角数就是从1连续加到(n-1)，利用等差数列求和即可得到通用公式。
(2)部分：小组赛是单循环赛，每两支球队赛一场，和角的计数模型完全匹配，可直接代入(1)的公式计算小组赛场次；淘汰赛按阶段逐次计算场次，注意不要遗漏三四名决赛，最后将两类场次相加得到总场数。
【解析】
解：(1) a. 从点O引3条射线时，共有∠AOC、∠AOB、∠COB，共3个角；
b. 从点O引4条射线时，共有∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB，共6个角；
c. 从点O引n条射线时，总角数为$1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$个。
(2) 计算世界杯总比赛场数：
① 小组赛阶段：
每组球队数量：$32÷8=4$支
每组单循环赛场次：代入(1)的规律得$\frac{4×(4-1)}{2}=6$场
8个小组总小组赛场次：$8×6=48$场
② 淘汰赛阶段：
进入淘汰赛的球队共$8×2=16$支
$\frac{1}{8}$决赛场数：$16÷2=8$场
$\frac{1}{4}$决赛场数：$8÷2=4$场
半决赛场数：$4÷2=2$场
三四名决赛：1场
决赛：1场
淘汰赛总场数：$8+4+2+1+1=16$场
③ 总比赛场数：$48+16=64$场
答：2022年足球世界杯共进行了64场比赛。
【答案】
(1) a. $\boldsymbol{3}$；b. $\boldsymbol{6}$；c. $\boldsymbol{\frac{n(n-1)}{2}}$
(2) $\boldsymbol{64}$场
【知识点】
角的计数、类比推理、规律应用
【点评】
本题将线段计数的方法迁移到角的计数，再延伸到实际比赛场次的计算，既考查了规律探究的能力，也考查了知识迁移和解决实际问题的能力，能很好地锻炼发散思维。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以类比线段的计数思路：角由两条共端点的射线组成，每两条射线可唯一确定一个角，和“两点确定一条线段”的计数逻辑完全一致。
(1)部分：数角时可以按固定边依次计数，避免重复或遗漏：a.3条射线时，分别以每条射线为边数出不重复的角相加即可；b.4条射线时用同样的方法累加计数；c.推广到n条射线时，总角数就是从1连续加到(n-1)，利用等差数列求和即可得到通用公式。
(2)部分：小组赛是单循环赛，每两支球队赛一场，和角的计数模型完全匹配，可直接代入(1)的公式计算小组赛场次；淘汰赛按阶段逐次计算场次，注意不要遗漏三四名决赛，最后将两类场次相加得到总场数。
【解析】
解：(1) a. 从点O引3条射线时，共有∠AOC、∠AOB、∠COB，共3个角；
b. 从点O引4条射线时，共有∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB，共6个角；
c. 从点O引n条射线时，总角数为$1+2+3+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$个。
(2) 计算世界杯总比赛场数：
① 小组赛阶段：
每组球队数量：$32÷8=4$支
每组单循环赛场次：代入(1)的规律得$\frac{4×(4-1)}{2}=6$场
8个小组总小组赛场次：$8×6=48$场
② 淘汰赛阶段：
进入淘汰赛的球队共$8×2=16$支
$\frac{1}{8}$决赛场数：$16÷2=8$场
$\frac{1}{4}$决赛场数：$8÷2=4$场
半决赛场数：$4÷2=2$场
三四名决赛：1场
决赛：1场
淘汰赛总场数：$8+4+2+1+1=16$场
③ 总比赛场数：$48+16=64$场
答：2022年足球世界杯共进行了64场比赛。
【答案】
(1) a. $\boldsymbol{3}$；b. $\boldsymbol{6}$；c. $\boldsymbol{\frac{n(n-1)}{2}}$
(2) $\boldsymbol{64}$场
【知识点】
角的计数、类比推理、规律应用
【点评】
本题将线段计数的方法迁移到角的计数，再延伸到实际比赛场次的计算，既考查了规律探究的能力，也考查了知识迁移和解决实际问题的能力，能很好地锻炼发散思维。
【难度系数】
0.7
