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5. 已知$∠α=30°18'$，$∠β=30.18°$，$∠γ=30.3°$，则相等的两个角是 （）
A.$∠α=∠β$
B.$∠β=∠γ$
C.$∠α=∠γ$
D.无法确定
A.$∠α=∠β$
B.$∠β=∠γ$
C.$∠α=∠γ$
D.无法确定
答案
C
解析
【分析】
本题是不同单位表示的角度大小比较问题，解题核心是先统一角度单位，再进行大小比较。首先回忆度和分的换算规则：1°=60'，我们可以把含有分的∠α换算成用度表示的形式，再和另外两个角对比，就能找出相等的角。
【解析】
首先进行角度单位换算：
∵ 1°=60'，
∴ 18' = 18÷60 = 0.3°，
∴ ∠α=30°18' = 30° + 0.3° = 30.3°，
又已知∠γ=30.3°，∠β=30.18°，
∴ ∠α=∠γ。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
度分秒的换算；角的大小比较
【点评】
本题属于基础题型，易错点是容易误将度分的换算当成十进制计算，掌握度分秒之间的60进制换算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题是不同单位表示的角度大小比较问题，解题核心是先统一角度单位，再进行大小比较。首先回忆度和分的换算规则：1°=60'，我们可以把含有分的∠α换算成用度表示的形式，再和另外两个角对比，就能找出相等的角。
【解析】
首先进行角度单位换算：
∵ 1°=60'，
∴ 18' = 18÷60 = 0.3°，
∴ ∠α=30°18' = 30° + 0.3° = 30.3°，
又已知∠γ=30.3°，∠β=30.18°，
∴ ∠α=∠γ。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
度分秒的换算；角的大小比较
【点评】
本题属于基础题型，易错点是容易误将度分的换算当成十进制计算，掌握度分秒之间的60进制换算规则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
6. 如图是小明家和学校所在位置的简单地图,已知$OA=2\ \mathrm{km},OB=3.5\ \mathrm{km},OP=4\ \mathrm{km}$,点C为OP的中点,解答下列问题:
(1)图中哪些地方与小明家的距离相同?为什么?
(2)请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置。
(1)图中哪些地方与小明家的距离相同?为什么?
(2)请用方向与距离描述学校、商场、停车场相对于小明家的位置。
答案
解：
(1) 学校和公园与小明家的距离相同。
理由如下：
∵ 点C为OP的中点，OP=4 km，
∴ $OC=\frac{1}{2}OP=2\ \mathrm{km}$。
又∵ OA=2 km，
∴ OA=OC，
即学校、公园到小明家的距离都为2 km，二者与小明家的距离相同。
(2) 学校在小明家东偏北45°方向，距离小明家2 km的位置；
商场在小明家西偏北60°方向，距离小明家3.5 km的位置；
停车场在小明家东偏南30°方向，距离小明家4 km的位置。
(1) 学校和公园与小明家的距离相同。
理由如下：
∵ 点C为OP的中点，OP=4 km，
∴ $OC=\frac{1}{2}OP=2\ \mathrm{km}$。
又∵ OA=2 km，
∴ OA=OC，
即学校、公园到小明家的距离都为2 km，二者与小明家的距离相同。
(2) 学校在小明家东偏北45°方向，距离小明家2 km的位置；
商场在小明家西偏北60°方向，距离小明家3.5 km的位置；
停车场在小明家东偏南30°方向，距离小明家4 km的位置。
解析
【分析】
(1) 要判断哪些地点和小明家距离相同，首先需要明确各地点到小明家O点的距离：已知OA、OB、OP的长度，点C是OP中点，可根据线段中点的定义先求出OC的长度，再和其他线段长度对比，即可找到距离相等的地点。
(2) 用方向和距离描述位置时，先遵循“上北下南、左西右东”的方位规则，确定每个地点相对于O点的偏向和夹角，再结合对应线段的长度，就能规范描述各地点的位置。
【解析】
(1) 学校和公园与小明家的距离相同，理由如下：
∵ 点C为OP的中点，$OP=4\ \mathrm{km}$，
∴ $OC=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{km}$，
又
∵ $OA=2\ \mathrm{km}$，
∴ $OA=OC$，即学校、公园到小明家的距离都为2 km，二者与小明家的距离相同。
(2) 根据图中标注的方位规则和角度、线段长度信息：
学校在小明家东偏北$45°$方向，距离小明家$2\ \mathrm{km}$的位置；
商场在小明家西偏北$60°$方向，距离小明家$3.5\ \mathrm{km}$的位置；
停车场在小明家东偏南$30°$方向，距离小明家$4\ \mathrm{km}$的位置。
【答案】
(1) 学校和公园与小明家的距离相同，理由：点C是OP中点，$OC=2\ \mathrm{km}$，和$OA=2\ \mathrm{km}$相等，故二者距离小明家距离相同；
(2) 学校在小明家东偏北$45°$方向，距离$2\ \mathrm{km}$处；商场在小明家西偏北$60°$方向，距离$3.5\ \mathrm{km}$处；停车场在小明家东偏南$30°$方向，距离$4\ \mathrm{km}$处。
【知识点】
线段中点的定义，方位角的应用
【点评】
本题结合生活场景出题，考查线段中点性质和用方向、距离确定位置的方法，解题时只要准确识别夹角、方位和线段长度即可解决，属于基础题。
【难度系数】
0.85
(1) 要判断哪些地点和小明家距离相同，首先需要明确各地点到小明家O点的距离：已知OA、OB、OP的长度，点C是OP中点，可根据线段中点的定义先求出OC的长度，再和其他线段长度对比，即可找到距离相等的地点。
(2) 用方向和距离描述位置时，先遵循“上北下南、左西右东”的方位规则，确定每个地点相对于O点的偏向和夹角，再结合对应线段的长度，就能规范描述各地点的位置。
【解析】
(1) 学校和公园与小明家的距离相同，理由如下：
∵ 点C为OP的中点，$OP=4\ \mathrm{km}$，
∴ $OC=\frac{1}{2}OP=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{km}$，
又
∵ $OA=2\ \mathrm{km}$，
∴ $OA=OC$，即学校、公园到小明家的距离都为2 km，二者与小明家的距离相同。
(2) 根据图中标注的方位规则和角度、线段长度信息：
学校在小明家东偏北$45°$方向，距离小明家$2\ \mathrm{km}$的位置；
商场在小明家西偏北$60°$方向，距离小明家$3.5\ \mathrm{km}$的位置；
停车场在小明家东偏南$30°$方向，距离小明家$4\ \mathrm{km}$的位置。
【答案】
(1) 学校和公园与小明家的距离相同，理由：点C是OP中点，$OC=2\ \mathrm{km}$，和$OA=2\ \mathrm{km}$相等，故二者距离小明家距离相同；
(2) 学校在小明家东偏北$45°$方向，距离$2\ \mathrm{km}$处；商场在小明家西偏北$60°$方向，距离$3.5\ \mathrm{km}$处；停车场在小明家东偏南$30°$方向，距离$4\ \mathrm{km}$处。
【知识点】
线段中点的定义，方位角的应用
【点评】
本题结合生活场景出题，考查线段中点性质和用方向、距离确定位置的方法，解题时只要准确识别夹角、方位和线段长度即可解决，属于基础题。
【难度系数】
0.85
7. 已知两个钝角的度数分别是$x$和$y$,$A,B,C,D$四人计算$\frac{1}{5}(x+y)$的结果依次为$35°,42°,72°,90°$,你认为计算结果正确的是（）
A.A
B.B
C.C
D.D
A.A
B.B
C.C
D.D
答案
B
解析
【分析】
解题的核心是先明确钝角的取值范围，再通过两个钝角的范围推导它们的和的取值范围，最后求出$\frac{1}{5}(x+y)$的取值范围，和四个选项对比即可选出正确结果。第一步：回忆钝角的定义，确定单个钝角的度数区间；第二步：将两个钝角的范围相加，得到$x+y$的取值范围；第三步：给$x+y$的范围同时乘以$\frac{1}{5}$，得到计算结果的合理范围；第四步：匹配选项，找到落在范围内的结果即可。
【解析】
根据钝角的定义可知，钝角的度数大于90°且小于180°，因此：
$\begin{cases} 90° ＜ x ＜ 180° \\ 90° ＜ y ＜ 180° \end{cases}$
将两个不等式相加，可得：
$90° + 90° ＜ x+y ＜ 180° + 180°$
即$180° ＜ x+y ＜ 360°$
对不等式三边同时乘以$\frac{1}{5}$，得：
$\frac{1}{5} × 180° ＜ \frac{1}{5}(x+y) ＜ \frac{1}{5} × 360°$
计算得$36° ＜ \frac{1}{5}(x+y) ＜ 72°$
观察四个选项，只有$42°$落在上述区间内，因此计算结果正确的是B。
【答案】
B
【知识点】
1. 钝角的定义
2. 角的和差运算
3. 不等式的性质
【点评】
本题解题关键是紧扣钝角的取值范围，通过推导得到所求算式的合理区间，需要注意钝角的边界值90°和180°是取不到的，因此最终区间的边界值也不能取到，避免误选C选项。
【难度系数】
0.7
解题的核心是先明确钝角的取值范围，再通过两个钝角的范围推导它们的和的取值范围，最后求出$\frac{1}{5}(x+y)$的取值范围，和四个选项对比即可选出正确结果。第一步：回忆钝角的定义，确定单个钝角的度数区间；第二步：将两个钝角的范围相加，得到$x+y$的取值范围；第三步：给$x+y$的范围同时乘以$\frac{1}{5}$，得到计算结果的合理范围；第四步：匹配选项，找到落在范围内的结果即可。
【解析】
根据钝角的定义可知，钝角的度数大于90°且小于180°，因此：
$\begin{cases} 90° ＜ x ＜ 180° \\ 90° ＜ y ＜ 180° \end{cases}$
将两个不等式相加，可得：
$90° + 90° ＜ x+y ＜ 180° + 180°$
即$180° ＜ x+y ＜ 360°$
对不等式三边同时乘以$\frac{1}{5}$，得：
$\frac{1}{5} × 180° ＜ \frac{1}{5}(x+y) ＜ \frac{1}{5} × 360°$
计算得$36° ＜ \frac{1}{5}(x+y) ＜ 72°$
观察四个选项，只有$42°$落在上述区间内，因此计算结果正确的是B。
【答案】
B
【知识点】
1. 钝角的定义
2. 角的和差运算
3. 不等式的性质
【点评】
本题解题关键是紧扣钝角的取值范围，通过推导得到所求算式的合理区间，需要注意钝角的边界值90°和180°是取不到的，因此最终区间的边界值也不能取到，避免误选C选项。
【难度系数】
0.7
8. 计算$34° - 10°15' = \_\_\_\_\_\_$；$31°15' × 4 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
解：
$34° - 10°15'$
$= 33°60' - 10°15'$
$= 23°45'$
$31°15' × 4$
$= 31° × 4 + 15' × 4$
$= 124° + 60'$
$= 124° + 1°$
$= 125°$
答案依次为$\boldsymbol{23°45'}$；$\boldsymbol{125°}$。
$34° - 10°15'$
$= 33°60' - 10°15'$
$= 23°45'$
$31°15' × 4$
$= 31° × 4 + 15' × 4$
$= 124° + 60'$
$= 124° + 1°$
$= 125°$
答案依次为$\boldsymbol{23°45'}$；$\boldsymbol{125°}$。
解析
【分析】
解决角度运算问题首先要明确度与分的换算规则：1°=60'，角度运算采用60进制。①计算减法时，被减数34°的分位为0，不够减15'，需要从度位借1°转化为60'，得到33°60'，再分别将度与度相减、分与分相减即可；②计算乘法时，将度和分分别与乘数4相乘，再把得到的分按照60进制进位为度，与度位的结果相加即可。
【解析】
计算$34° - 10°15'$：
先将$34°$转化为$33°60'$，再进行运算：
$34° - 10°15'$
$= 33°60' - 10°15'$
$= (33°-10°)+(60'-15')$
$= 23°45'$
计算$31°15' × 4$：
分别将度和分与4相乘，再进位换算：
$31°15' × 4$
$= 31° × 4 + 15' × 4$
$= 124° + 60'$
$= 124° + 1°$
$= 125°$
【答案】
$23°45'$；$125°$
【知识点】
度分秒单位换算；角度减法运算；角度乘法运算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，解题关键是牢记度分秒为60进制，避免和十进制运算混淆，运算时注意借位、进位的规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解决角度运算问题首先要明确度与分的换算规则：1°=60'，角度运算采用60进制。①计算减法时，被减数34°的分位为0，不够减15'，需要从度位借1°转化为60'，得到33°60'，再分别将度与度相减、分与分相减即可；②计算乘法时，将度和分分别与乘数4相乘，再把得到的分按照60进制进位为度，与度位的结果相加即可。
【解析】
计算$34° - 10°15'$：
先将$34°$转化为$33°60'$，再进行运算：
$34° - 10°15'$
$= 33°60' - 10°15'$
$= (33°-10°)+(60'-15')$
$= 23°45'$
计算$31°15' × 4$：
分别将度和分与4相乘，再进位换算：
$31°15' × 4$
$= 31° × 4 + 15' × 4$
$= 124° + 60'$
$= 124° + 1°$
$= 125°$
【答案】
$23°45'$；$125°$
【知识点】
度分秒单位换算；角度减法运算；角度乘法运算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，解题关键是牢记度分秒为60进制，避免和十进制运算混淆，运算时注意借位、进位的规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
9. 如图,已知线段$a$和$∠ AOB$,小红同学进行了以下作图:①在$OA$边上截取$OD=a$;②在$OB$边上截取$OE=a$;③连接$DE$交射线$OC$于点$F$。
(1)请在$∠ AOB$中完成小红同学的作图(保留作图痕迹,标上字母);
(2)设$∠ DFC=∠ 1,∠ CFE=∠ 2,∠ BOC=∠ 3,∠ COA=∠ 4$,将$∠ 1,∠ 2,∠ 3,∠ 4$在图中标记出来。
(1)请在$∠ AOB$中完成小红同学的作图(保留作图痕迹,标上字母);
(2)设$∠ DFC=∠ 1,∠ CFE=∠ 2,∠ BOC=∠ 3,∠ COA=∠ 4$,将$∠ 1,∠ 2,∠ 3,∠ 4$在图中标记出来。
答案
解：
(1) 作图过程：
① 用圆规量取线段a的长度，以点O为圆心，线段a的长为半径画弧，交OA边于点D，标注点D；
② 保持圆规两脚间距不变，以点O为圆心画弧，交OB边于点E，标注点E；
③ 用直尺连接点D、E，线段DE与射线OC的交点标记为F，保留所有作图的圆弧痕迹。
(2) 标记操作：
在边DF与边FC的夹角位置标注∠1，在边FC与边FE的夹角位置标注∠2，在边OB与边OC的夹角位置标注∠3，在边OC与边OA的夹角位置标注∠4。
最终得到符合要求的完整图形。
(1) 作图过程：
① 用圆规量取线段a的长度，以点O为圆心，线段a的长为半径画弧，交OA边于点D，标注点D；
② 保持圆规两脚间距不变，以点O为圆心画弧，交OB边于点E，标注点E；
③ 用直尺连接点D、E，线段DE与射线OC的交点标记为F，保留所有作图的圆弧痕迹。
(2) 标记操作：
在边DF与边FC的夹角位置标注∠1，在边FC与边FE的夹角位置标注∠2，在边OB与边OC的夹角位置标注∠3，在边OC与边OA的夹角位置标注∠4。
最终得到符合要求的完整图形。
解析
【分析】
本题包含尺规作图和角的标注两个任务，解题思路如下：1. 作图部分：要在OA、OB边上截取等于a的线段，需使用圆规量取线段a的长度，再以O为圆心画弧与两条边相交得到对应端点，最后连接两个端点找到与OC的交点即可；2. 标注角部分：先根据每个角的名称确定角的顶点和两条边，再在对应两条边的夹角位置标注对应的角编号即可。
【解析】
(1) 作图过程：
① 用圆规量取线段a的长度，以点O为圆心，线段a的长为半径画弧，交OA边于点D，标注点D；
② 保持圆规两脚间距不变，以点O为圆心画弧，交OB边于点E，标注点E；
③ 用直尺连接点D、E，线段DE与射线OC的交点标记为F，保留所有作图的圆弧痕迹。
(2) 标记过程：
在边DF与边FC的夹角位置标注∠1，在边FC与边FE的夹角位置标注∠2，在边OB与边OC的夹角位置标注∠3，在边OC与边OA的夹角位置标注∠4。
【答案】
按上述步骤作出符合要求的图形，保留作图痕迹并完成4个角的标注即可。
【知识点】
尺规作等长线段；角的识别与标注
【点评】
本题是基础的几何操作类题目，考查基本尺规作图技能和角的基本概念，难度较低，熟练掌握基本作图方法、明确角的组成要素即可轻松完成。
【难度系数】
0.9
本题包含尺规作图和角的标注两个任务，解题思路如下：1. 作图部分：要在OA、OB边上截取等于a的线段，需使用圆规量取线段a的长度，再以O为圆心画弧与两条边相交得到对应端点，最后连接两个端点找到与OC的交点即可；2. 标注角部分：先根据每个角的名称确定角的顶点和两条边，再在对应两条边的夹角位置标注对应的角编号即可。
【解析】
(1) 作图过程：
① 用圆规量取线段a的长度，以点O为圆心，线段a的长为半径画弧，交OA边于点D，标注点D；
② 保持圆规两脚间距不变，以点O为圆心画弧，交OB边于点E，标注点E；
③ 用直尺连接点D、E，线段DE与射线OC的交点标记为F，保留所有作图的圆弧痕迹。
(2) 标记过程：
在边DF与边FC的夹角位置标注∠1，在边FC与边FE的夹角位置标注∠2，在边OB与边OC的夹角位置标注∠3，在边OC与边OA的夹角位置标注∠4。
【答案】
按上述步骤作出符合要求的图形，保留作图痕迹并完成4个角的标注即可。
【知识点】
尺规作等长线段；角的识别与标注
【点评】
本题是基础的几何操作类题目，考查基本尺规作图技能和角的基本概念，难度较低，熟练掌握基本作图方法、明确角的组成要素即可轻松完成。
【难度系数】
0.9
