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8. 如图,下列叙述不正确的是 ()
A.四个几何体中,平面数最多的是图④
B.图②有四个面是平面
C.图①由两个面围成,其中一个面是曲面
D.图中只有一个顶点的几何体是图③
A.四个几何体中,平面数最多的是图④
B.图②有四个面是平面
C.图①由两个面围成,其中一个面是曲面
D.图中只有一个顶点的几何体是图③
答案
C
解析
【分析】
本题考查立体图形的面、顶点等相关概念，解题思路如下：首先分别识别四个几何体的类型，依次数清楚每个几何体的平面数量、曲面数量、顶点数量，再将计数结果和四个选项的描述逐一比对，找出描述错误的选项即可。
【解析】
先逐个分析四个几何体的构成：
1. 图①是球：仅由1个曲面围成，没有平面，也没有顶点；
2. 图②是组合几何体：包含1个曲面，4个平面，有多个顶点；
3. 图③是圆锥：由1个平面（底面）和1个曲面（侧面）围成，仅存在1个顶点；
4. 图④是三棱柱：共有5个平面（2个三角形端面+3个矩形侧面），有6个顶点。
再逐一判断选项：
A选项：四个几何体的平面数分别为0、4、1、5，平面数最多的是图④，描述正确；
B选项：图②有4个平面，描述正确；
C选项：图①仅由1个曲面围成，不是两个面，描述错误；
D选项：只有图③的顶点数为1，其余几何体无顶点或顶点数大于1，描述正确。
题目要求选择叙述不正确的选项，故选C。
【答案】
C
【知识点】
立体图形的认识；面的分类；顶点识别
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要学生准确掌握常见立体图形的构成特点，计数面的时候要注意区分平面和曲面，避免对组合体、特殊几何体（如球）的面数计数出错。
【难度系数】
0.7
本题考查立体图形的面、顶点等相关概念，解题思路如下：首先分别识别四个几何体的类型，依次数清楚每个几何体的平面数量、曲面数量、顶点数量，再将计数结果和四个选项的描述逐一比对，找出描述错误的选项即可。
【解析】
先逐个分析四个几何体的构成：
1. 图①是球：仅由1个曲面围成，没有平面，也没有顶点；
2. 图②是组合几何体：包含1个曲面，4个平面，有多个顶点；
3. 图③是圆锥：由1个平面（底面）和1个曲面（侧面）围成，仅存在1个顶点；
4. 图④是三棱柱：共有5个平面（2个三角形端面+3个矩形侧面），有6个顶点。
再逐一判断选项：
A选项：四个几何体的平面数分别为0、4、1、5，平面数最多的是图④，描述正确；
B选项：图②有4个平面，描述正确；
C选项：图①仅由1个曲面围成，不是两个面，描述错误；
D选项：只有图③的顶点数为1，其余几何体无顶点或顶点数大于1，描述正确。
题目要求选择叙述不正确的选项，故选C。
【答案】
C
【知识点】
立体图形的认识；面的分类；顶点识别
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要学生准确掌握常见立体图形的构成特点，计数面的时候要注意区分平面和曲面，避免对组合体、特殊几何体（如球）的面数计数出错。
【难度系数】
0.7
9. 以长为5 cm,宽为3 cm的长方形的一边所在的直线为旋转轴旋转一周,形成圆柱,则这个圆柱的体积是$\boldsymbol{}$ cm³。(结果保留π)
答案
解：
分两种情况讨论：
① 以长5 cm的边所在直线为旋转轴时，圆柱的底面半径为3 cm，高为5 cm，
体积为：$π × 3^2 × 5 = 45π \ (\mathrm{cm}^3)$；
② 以宽3 cm的边所在直线为旋转轴时，圆柱的底面半径为5 cm，高为3 cm，
体积为：$π × 5^2 × 3 = 75π \ (\mathrm{cm}^3)$。
因此这个圆柱的体积是$45π$或$75π$ $\mathrm{cm}^3$。
分两种情况讨论：
① 以长5 cm的边所在直线为旋转轴时，圆柱的底面半径为3 cm，高为5 cm，
体积为：$π × 3^2 × 5 = 45π \ (\mathrm{cm}^3)$；
② 以宽3 cm的边所在直线为旋转轴时，圆柱的底面半径为5 cm，高为3 cm，
体积为：$π × 5^2 × 3 = 75π \ (\mathrm{cm}^3)$。
因此这个圆柱的体积是$45π$或$75π$ $\mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】
这道题考查长方形旋转形成圆柱的相关计算，由于题目未明确以长方形的哪条边为旋转轴，因此需要分两种情况讨论：分别以长方形的长、宽所在直线为旋转轴，先确定每种情况下圆柱的底面半径和高，再代入圆柱体积公式计算即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 以长5 cm的边所在直线为旋转轴时，圆柱的底面半径为3 cm，高为5 cm，
根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，体积为：$π × 3^2 × 5 = 45π \ (\mathrm{cm}^3)$；
② 以宽3 cm的边所在直线为旋转轴时，圆柱的底面半径为5 cm，高为3 cm，
体积为：$π × 5^2 × 3 = 75π \ (\mathrm{cm}^3)$。
因此这个圆柱的体积是$45π$或$75π$ $\mathrm{cm}^3$。
【答案】
$\boldsymbol{45π}$或$\boldsymbol{75π}$
【知识点】
面动成体，圆柱体积计算，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略旋转轴的两种可能，只计算其中一种情况的体积。解题时要先明确旋转轴对应的圆柱参数，再代入公式计算，避免漏解。
【难度系数】
0.7
这道题考查长方形旋转形成圆柱的相关计算，由于题目未明确以长方形的哪条边为旋转轴，因此需要分两种情况讨论：分别以长方形的长、宽所在直线为旋转轴，先确定每种情况下圆柱的底面半径和高，再代入圆柱体积公式计算即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 以长5 cm的边所在直线为旋转轴时，圆柱的底面半径为3 cm，高为5 cm，
根据圆柱体积公式$V=π r^2h$，体积为：$π × 3^2 × 5 = 45π \ (\mathrm{cm}^3)$；
② 以宽3 cm的边所在直线为旋转轴时，圆柱的底面半径为5 cm，高为3 cm，
体积为：$π × 5^2 × 3 = 75π \ (\mathrm{cm}^3)$。
因此这个圆柱的体积是$45π$或$75π$ $\mathrm{cm}^3$。
【答案】
$\boldsymbol{45π}$或$\boldsymbol{75π}$
【知识点】
面动成体，圆柱体积计算，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略旋转轴的两种可能，只计算其中一种情况的体积。解题时要先明确旋转轴对应的圆柱参数，再代入公式计算，避免漏解。
【难度系数】
0.7
10. 小明学习了“面动成体”之后,用一个边长分别为6 cm,8 cm 和10 cm 的直角三角形,绕其中一条边旋转一周,得到了一个几何体。请计算出几何体的体积。(锥体体积 = $\frac{1}{3}$×底面积×高)
答案
解：分三种情况计算：
1. 绕长度为6 cm的直角边旋转一周：
得到的圆锥底面半径为8 cm，高为6 cm，
体积 = $\frac{1}{3}×π×8^2×6 = 128π \ \mathrm{cm}^3$。
2. 绕长度为8 cm的直角边旋转一周：
得到的圆锥底面半径为6 cm，高为8 cm，
体积 = $\frac{1}{3}×π×6^2×8 = 96π \ \mathrm{cm}^3$。
3. 绕长度为10 cm的斜边旋转一周：
该直角三角形斜边上的高为$\frac{6×8}{10}=4.8 \ \mathrm{cm}$，此时得到底面半径为4.8 cm、两个共底圆锥的高之和为10 cm的组合体，
体积 = $\frac{1}{3}×π×4.8^2×10 = 76.8π \ \mathrm{cm}^3$。
答：几何体的体积为$128π \ \mathrm{cm}^3$或$96π \ \mathrm{cm}^3$或$76.8π \ \mathrm{cm}^3$。
1. 绕长度为6 cm的直角边旋转一周：
得到的圆锥底面半径为8 cm，高为6 cm，
体积 = $\frac{1}{3}×π×8^2×6 = 128π \ \mathrm{cm}^3$。
2. 绕长度为8 cm的直角边旋转一周：
得到的圆锥底面半径为6 cm，高为8 cm，
体积 = $\frac{1}{3}×π×6^2×8 = 96π \ \mathrm{cm}^3$。
3. 绕长度为10 cm的斜边旋转一周：
该直角三角形斜边上的高为$\frac{6×8}{10}=4.8 \ \mathrm{cm}$，此时得到底面半径为4.8 cm、两个共底圆锥的高之和为10 cm的组合体，
体积 = $\frac{1}{3}×π×4.8^2×10 = 76.8π \ \mathrm{cm}^3$。
答：几何体的体积为$128π \ \mathrm{cm}^3$或$96π \ \mathrm{cm}^3$或$76.8π \ \mathrm{cm}^3$。
解析
【分析】
这道题是“面动成体”的实际应用，解题时需明确直角三角形绕任意一条边旋转均可得到几何体，因此要分三种情况讨论：①绕6cm的直角边旋转；②绕8cm的直角边旋转；③绕10cm的斜边旋转。前两种情况旋转后得到单圆锥，确定对应圆锥的底面半径和高代入体积公式计算即可；第三种情况旋转后得到两个共底的圆锥组合体，先利用直角三角形面积的两种计算方式求出斜边上的高（即组合体的底面半径），再合并两个圆锥的体积计算即可。
【解析】
分三种情况计算：
1. 绕长度为6 cm的直角边旋转一周：
得到的圆锥底面半径为8 cm，高为6 cm，
体积 = $\frac{1}{3}×π×8^2×6 = 128π \ \mathrm{cm}^3$。
2. 绕长度为8 cm的直角边旋转一周：
得到的圆锥底面半径为6 cm，高为8 cm，
体积 = $\frac{1}{3}×π×6^2×8 = 96π \ \mathrm{cm}^3$。
3. 绕长度为10 cm的斜边旋转一周：
先求斜边上的高：由直角三角形面积的两种计算方法可得，$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×高$，解得高为$\frac{6×8}{10}=4.8 \ \mathrm{cm}$，此时得到底面半径为4.8 cm、两个圆锥的高之和为10 cm的共底圆锥组合体，
总体积 = 两个圆锥体积之和 = $\frac{1}{3}×π×4.8^2×(h_1+h_2) = \frac{1}{3}×π×4.8^2×10 = 76.8π \ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
几何体的体积为$128π \ \mathrm{cm}^3$或$96π \ \mathrm{cm}^3$或$76.8π \ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
面动成体；圆锥体积计算；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查空间想象能力与分类讨论的数学思想，易错点是遗漏绕斜边旋转的情况，或计算绕斜边旋转的体积时无法准确找到组合体的底面半径，解题时需结合图形特征梳理清楚不同旋转情况下的对应量再代入计算。
【难度系数】
0.6
这道题是“面动成体”的实际应用，解题时需明确直角三角形绕任意一条边旋转均可得到几何体，因此要分三种情况讨论：①绕6cm的直角边旋转；②绕8cm的直角边旋转；③绕10cm的斜边旋转。前两种情况旋转后得到单圆锥，确定对应圆锥的底面半径和高代入体积公式计算即可；第三种情况旋转后得到两个共底的圆锥组合体，先利用直角三角形面积的两种计算方式求出斜边上的高（即组合体的底面半径），再合并两个圆锥的体积计算即可。
【解析】
分三种情况计算：
1. 绕长度为6 cm的直角边旋转一周：
得到的圆锥底面半径为8 cm，高为6 cm，
体积 = $\frac{1}{3}×π×8^2×6 = 128π \ \mathrm{cm}^3$。
2. 绕长度为8 cm的直角边旋转一周：
得到的圆锥底面半径为6 cm，高为8 cm，
体积 = $\frac{1}{3}×π×6^2×8 = 96π \ \mathrm{cm}^3$。
3. 绕长度为10 cm的斜边旋转一周：
先求斜边上的高：由直角三角形面积的两种计算方法可得，$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10×高$，解得高为$\frac{6×8}{10}=4.8 \ \mathrm{cm}$，此时得到底面半径为4.8 cm、两个圆锥的高之和为10 cm的共底圆锥组合体，
总体积 = 两个圆锥体积之和 = $\frac{1}{3}×π×4.8^2×(h_1+h_2) = \frac{1}{3}×π×4.8^2×10 = 76.8π \ \mathrm{cm}^3$。
【答案】
几何体的体积为$128π \ \mathrm{cm}^3$或$96π \ \mathrm{cm}^3$或$76.8π \ \mathrm{cm}^3$
【知识点】
面动成体；圆锥体积计算；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查空间想象能力与分类讨论的数学思想，易错点是遗漏绕斜边旋转的情况，或计算绕斜边旋转的体积时无法准确找到组合体的底面半径，解题时需结合图形特征梳理清楚不同旋转情况下的对应量再代入计算。
【难度系数】
0.6
