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1.一个长方形钢板,已知它的长比宽的2倍少1 cm,周长为52 cm,若设宽为x cm,则可列方程为
（）
A.$2x - 1 + x = 52$
B.$2x + 1 + x = 52$
C.$2(2x - 1) + 2x = 52$
D.$2(2x + 1) + 2x = 52$
（）
A.$2x - 1 + x = 52$
B.$2x + 1 + x = 52$
C.$2(2x - 1) + 2x = 52$
D.$2(2x + 1) + 2x = 52$
答案
C
解析
【分析】
首先明确题目的未知量是长方形的宽，已经设为x cm，第一步先根据“长比宽的2倍少1 cm”的数量关系表示出长的表达式；再回忆长方形的周长计算公式：周长=2×长+2×宽，最后将长、宽和已知的周长52 cm代入公式，就能列出对应的方程，解题时注意不要混淆“少1 cm”的表述，也不要遗漏周长公式里的2倍关系。
【解析】
设长方形的宽为x cm，
由“长比宽的2倍少1 cm”可得，长为$(2x-1)$ cm，
根据长方形周长公式：$\mathrm{周长}=2×\mathrm{长}+2×\mathrm{宽}$，已知周长为52 cm，代入得：
$2(2x-1) + 2x = 52$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 长方形周长计算
【点评】
本题是列一元一次方程的基础题型，解题核心是准确梳理题干中的数量关系，牢记几何图形的周长公式，只要仔细审题就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
首先明确题目的未知量是长方形的宽，已经设为x cm，第一步先根据“长比宽的2倍少1 cm”的数量关系表示出长的表达式；再回忆长方形的周长计算公式：周长=2×长+2×宽，最后将长、宽和已知的周长52 cm代入公式，就能列出对应的方程，解题时注意不要混淆“少1 cm”的表述，也不要遗漏周长公式里的2倍关系。
【解析】
设长方形的宽为x cm，
由“长比宽的2倍少1 cm”可得，长为$(2x-1)$ cm，
根据长方形周长公式：$\mathrm{周长}=2×\mathrm{长}+2×\mathrm{宽}$，已知周长为52 cm，代入得：
$2(2x-1) + 2x = 52$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 长方形周长计算
【点评】
本题是列一元一次方程的基础题型，解题核心是准确梳理题干中的数量关系，牢记几何图形的周长公式，只要仔细审题就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
2.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架。它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就。现有一个长方形的周长为30 cm，这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm，就可以变成一个正方形，设长方形的宽为$x$ cm，则可列方程为 ()
A.$x - 2 = (30 - x) + 1$
B.$x - 2 = (15 - x) + 1$
C.$x + 2 = (30 - x) - 1$
D.$x + 2 = (15 - x) - 1$
A.$x - 2 = (30 - x) + 1$
B.$x - 2 = (15 - x) + 1$
C.$x + 2 = (30 - x) - 1$
D.$x + 2 = (15 - x) - 1$
答案
D
解析
【分析】
要列出正确的方程，首先需找到题中的等量关系：长方形长减少1cm、宽增加2cm后得到正方形，即变化后的长与变化后的宽相等。解题步骤可分为三步：第一步，根据长方形周长和已知的宽，用含x的式子表示出长方形的长；第二步，分别表示出长减少1cm后、宽增加2cm后的长度；第三步，根据正方形边长相等的性质，列出等式即可对应选项。
【解析】
1. 求长方形的长：已知长方形周长为30cm，宽为$x$cm，根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，可得长+宽=$30÷2=15$cm，因此长方形的长为$(15 - x)$cm。
2. 表示变化后的边长：长减少1cm后为$(15 - x) - 1$cm，宽增加2cm后为$(x + 2)$cm。
3. 列方程：因为变化后为正方形，边长相等，所以可列方程：$x + 2 = (15 - x) - 1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形周长公式，正方形的性质
【点评】
本题结合传统数学著作背景，考查一元一次方程在几何变形问题中的应用，解题的核心是找准“变化后正方形边长相等”这一等量关系，正确表示出长方形的长即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
要列出正确的方程，首先需找到题中的等量关系：长方形长减少1cm、宽增加2cm后得到正方形，即变化后的长与变化后的宽相等。解题步骤可分为三步：第一步，根据长方形周长和已知的宽，用含x的式子表示出长方形的长；第二步，分别表示出长减少1cm后、宽增加2cm后的长度；第三步，根据正方形边长相等的性质，列出等式即可对应选项。
【解析】
1. 求长方形的长：已知长方形周长为30cm，宽为$x$cm，根据长方形周长公式$C=2×(长+宽)$，可得长+宽=$30÷2=15$cm，因此长方形的长为$(15 - x)$cm。
2. 表示变化后的边长：长减少1cm后为$(15 - x) - 1$cm，宽增加2cm后为$(x + 2)$cm。
3. 列方程：因为变化后为正方形，边长相等，所以可列方程：$x + 2 = (15 - x) - 1$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形周长公式，正方形的性质
【点评】
本题结合传统数学著作背景，考查一元一次方程在几何变形问题中的应用，解题的核心是找准“变化后正方形边长相等”这一等量关系，正确表示出长方形的长即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
3. 如图,根据图中的信息,可得正确的方程 ()
A.$π×(\dfrac{8}{2})^2 x=π×(\dfrac{6}{2})^2 (x-5)$
B.$π×(\dfrac{8}{2})^2 x=π×(\dfrac{6}{2})^2 (x+5)$
C.$π×8^2 x=π×6^2 (x+5)$
D.$π×8^2 x=π×6^2 ×5$
A.$π×(\dfrac{8}{2})^2 x=π×(\dfrac{6}{2})^2 (x-5)$
B.$π×(\dfrac{8}{2})^2 x=π×(\dfrac{6}{2})^2 (x+5)$
C.$π×8^2 x=π×6^2 (x+5)$
D.$π×8^2 x=π×6^2 ×5$
答案
B
解析
【分析】
本题的核心等量关系是两个量筒中的水体积相等，解题思路如下：第一步回忆圆柱体积公式为“体积=底面积×高=π×半径²×高”；第二步分别确定两个量筒的底面半径、水的高度：大量筒直径8cm，半径为$\frac{8}{2}$cm，水高为$x$cm；小量筒直径6cm，半径为$\frac{6}{2}$cm，因为水量相同、量筒更细，所以水高比大量筒多5cm，即$(x+5)$cm；第三步分别表示两个量筒的水体积，根据体积相等列方程即可。
【解析】
圆柱体积公式为$V=π r^2 h$（$r$为底面半径，$h$为高）。
因为两个量筒水量相同，即水的体积相等：
1. 大量筒中水的体积：底面半径为$\frac{8}{2}$cm，水高$x$cm，体积为$π×(\frac{8}{2})^2 x$；
2. 小量筒中水的体积：底面半径为$\frac{6}{2}$cm，水高为$(x+5)$cm，体积为$π×(\frac{6}{2})^2 (x+5)$。
根据体积相等列方程：$π×(\frac{8}{2})^2 x=π×(\frac{6}{2})^2 (x+5)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积公式；等积变形问题；列一元一次方程
【点评】
本题属于方程应用中的基础题型，解题关键是抓住“水的体积不变”这一等量关系，计算时需要注意区分直径和半径，避免直接用直径代入公式计算。
【难度系数】
0.7
本题的核心等量关系是两个量筒中的水体积相等，解题思路如下：第一步回忆圆柱体积公式为“体积=底面积×高=π×半径²×高”；第二步分别确定两个量筒的底面半径、水的高度：大量筒直径8cm，半径为$\frac{8}{2}$cm，水高为$x$cm；小量筒直径6cm，半径为$\frac{6}{2}$cm，因为水量相同、量筒更细，所以水高比大量筒多5cm，即$(x+5)$cm；第三步分别表示两个量筒的水体积，根据体积相等列方程即可。
【解析】
圆柱体积公式为$V=π r^2 h$（$r$为底面半径，$h$为高）。
因为两个量筒水量相同，即水的体积相等：
1. 大量筒中水的体积：底面半径为$\frac{8}{2}$cm，水高$x$cm，体积为$π×(\frac{8}{2})^2 x$；
2. 小量筒中水的体积：底面半径为$\frac{6}{2}$cm，水高为$(x+5)$cm，体积为$π×(\frac{6}{2})^2 (x+5)$。
根据体积相等列方程：$π×(\frac{8}{2})^2 x=π×(\frac{6}{2})^2 (x+5)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
圆柱体积公式；等积变形问题；列一元一次方程
【点评】
本题属于方程应用中的基础题型，解题关键是抓住“水的体积不变”这一等量关系，计算时需要注意区分直径和半径，避免直接用直径代入公式计算。
【难度系数】
0.7
