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9. 小明在解方程$\frac{3x+1}{2}-2=\frac{3x-2}{3}-\frac{2x+3}{6}$时的步骤如下：
解:$3(3x+1)-12=2(3x-2)-2x+3,···$第①步
$9x+3-12=6x-4-2x+3,···$第②步
$9x-6x+2x=-4+3-3+12,···$第③步
$5x=8,···$第④步
$x=\frac{8}{5}$。$···$第⑤步
(1)以上解方程的过程中,第①步是进行,变形的依据是;
(2)以上步骤从第步(填序号)开始出错;
(3)请聪明的你写出这道题正确的解答过程。
解:$3(3x+1)-12=2(3x-2)-2x+3,···$第①步
$9x+3-12=6x-4-2x+3,···$第②步
$9x-6x+2x=-4+3-3+12,···$第③步
$5x=8,···$第④步
$x=\frac{8}{5}$。$···$第⑤步
(1)以上解方程的过程中,第①步是进行,变形的依据是;
(2)以上步骤从第步(填序号)开始出错;
(3)请聪明的你写出这道题正确的解答过程。
答案
(1) 去分母；等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立
(2) ①
(3) 解：去分母，得
$3(3x+1)-12=2(3x-2)-(2x+3)$
去括号，得
$9x+3-12=6x-4-2x-3$
移项，得
$9x-6x+2x=-4-3-3+12$
合并同类项，得
$5x=2$
系数化为1，得
$x=\frac{2}{5}$
(2) ①
(3) 解：去分母，得
$3(3x+1)-12=2(3x-2)-(2x+3)$
去括号，得
$9x+3-12=6x-4-2x-3$
移项，得
$9x-6x+2x=-4-3-3+12$
合并同类项，得
$5x=2$
系数化为1，得
$x=\frac{2}{5}$
解析
【分析】
本题围绕一元一次方程的解法设置三个小问题，解题思路如下：
1. 解答第(1)问：观察第①步的变形特征，方程两边同时乘各分母的最小公倍数6，消去了所有分母，对应解方程的去分母步骤，变形依据是等式的基本性质2；
2. 解答第(2)问：根据去分母的规则检查，去分母时所有项都要乘公分母，分子是多项式的需要整体加括号，小明去分母时右边最后一项的分子未加括号，导致符号错误，因此从第①步开始出错；
3. 解答第(3)问：严格按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的标准步骤求解，每一步注意符号变化规则即可。
【解析】
(1) 第①步的操作是给方程两边同时乘6消去分母，属于去分母步骤，变形依据是等式的性质：等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。
(2) 去分母时，右边的$-\frac{2x+3}{6}$乘6后应为$-(2x+3)$，小明未给分子$2x+3$加括号，错误写成了$-2x+3$，因此错误从第①步开始。
(3) 正确解答过程：
去分母，得：$3(3x+1)-12=2(3x-2)-(2x+3)$
去括号，得：$9x+3-12=6x-4-2x-3$
移项，得：$9x-6x+2x=-4-3-3+12$
合并同类项，得：$5x=2$
系数化为1，得：$x=\frac{2}{5}$
【答案】
(1) 去分母；等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立
(2) ①
(3) 解：去分母，得
$3(3x+1)-12=2(3x-2)-(2x+3)$
去括号，得
$9x+3-12=6x-4-2x-3$
移项，得
$9x-6x+2x=-4-3-3+12$
合并同类项，得
$5x=2$
系数化为1，得
$x=\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 等式的性质
3. 去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程解法的基础训练题，主要考查解方程步骤的规范程度，易错点为去分母时漏乘常数项、分子为多项式时漏加括号导致符号错误，解题时需严格按步骤操作，重点关注符号变化。
【难度系数】
0.8
本题围绕一元一次方程的解法设置三个小问题，解题思路如下：
1. 解答第(1)问：观察第①步的变形特征，方程两边同时乘各分母的最小公倍数6，消去了所有分母，对应解方程的去分母步骤，变形依据是等式的基本性质2；
2. 解答第(2)问：根据去分母的规则检查，去分母时所有项都要乘公分母，分子是多项式的需要整体加括号，小明去分母时右边最后一项的分子未加括号，导致符号错误，因此从第①步开始出错；
3. 解答第(3)问：严格按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的标准步骤求解，每一步注意符号变化规则即可。
【解析】
(1) 第①步的操作是给方程两边同时乘6消去分母，属于去分母步骤，变形依据是等式的性质：等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立。
(2) 去分母时，右边的$-\frac{2x+3}{6}$乘6后应为$-(2x+3)$，小明未给分子$2x+3$加括号，错误写成了$-2x+3$，因此错误从第①步开始。
(3) 正确解答过程：
去分母，得：$3(3x+1)-12=2(3x-2)-(2x+3)$
去括号，得：$9x+3-12=6x-4-2x-3$
移项，得：$9x-6x+2x=-4-3-3+12$
合并同类项，得：$5x=2$
系数化为1，得：$x=\frac{2}{5}$
【答案】
(1) 去分母；等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立
(2) ①
(3) 解：去分母，得
$3(3x+1)-12=2(3x-2)-(2x+3)$
去括号，得
$9x+3-12=6x-4-2x-3$
移项，得
$9x-6x+2x=-4-3-3+12$
合并同类项，得
$5x=2$
系数化为1，得
$x=\frac{2}{5}$
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 等式的性质
3. 去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程解法的基础训练题，主要考查解方程步骤的规范程度，易错点为去分母时漏乘常数项、分子为多项式时漏加括号导致符号错误，解题时需严格按步骤操作，重点关注符号变化。
【难度系数】
0.8
10. 在《九章算术》方田章“圆田术”中指出“割之弥细,所失弥少。割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化思想。比如在$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+···$中,“…”代表按规律不断求和,设$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+··· =x$,则有$x=1+\frac{1}{2}x$,解得$x=2$,故$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+··· =2$。类似地,$1+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{5^6}+···$的结果为 ()
A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{25}{24}$
C.$\frac{9}{8}$
D.$2$
A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{25}{24}$
C.$\frac{9}{8}$
D.$2$
答案
B
解析
【分析】
解题时可类比题目给出的无限求和方法思考：第一步先观察所求式子的规律，可发现式子中后一项是前一项的$\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$；第二步设这个无限求和的式子结果为$x$，那么$\frac{1}{25}x$就等于原式去掉第一项后的所有项的和；第三步根据$x$和$\frac{1}{25}x$的关系列一元一次方程，解方程即可得到结果。
【解析】
设$1+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{5^6}+···=x$ ①
将等式两边同时乘$\frac{1}{25}$，可得：
$\frac{1}{25}x=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{5^6}+···$ ②
观察①和②的关系，将②代入①可得：
$x=1+\frac{1}{25}x$
移项得：$x-\frac{1}{25}x=1$
合并同类项得：$\frac{24}{25}x=1$
解得：$x=\frac{25}{24}$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程求解，类比思想，数字规律探究
【点评】
本题以古代数学的无限转化思想为背景，考查学生的知识迁移能力和一元一次方程的应用能力，解题的核心是读懂给定示例的求解逻辑，找准所求式子中各项的倍数关系构造方程。
【难度系数】
0.7
解题时可类比题目给出的无限求和方法思考：第一步先观察所求式子的规律，可发现式子中后一项是前一项的$\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}$；第二步设这个无限求和的式子结果为$x$，那么$\frac{1}{25}x$就等于原式去掉第一项后的所有项的和；第三步根据$x$和$\frac{1}{25}x$的关系列一元一次方程，解方程即可得到结果。
【解析】
设$1+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{5^6}+···=x$ ①
将等式两边同时乘$\frac{1}{25}$，可得：
$\frac{1}{25}x=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{5^6}+···$ ②
观察①和②的关系，将②代入①可得：
$x=1+\frac{1}{25}x$
移项得：$x-\frac{1}{25}x=1$
合并同类项得：$\frac{24}{25}x=1$
解得：$x=\frac{25}{24}$
【答案】
B
【知识点】
一元一次方程求解，类比思想，数字规律探究
【点评】
本题以古代数学的无限转化思想为背景，考查学生的知识迁移能力和一元一次方程的应用能力，解题的核心是读懂给定示例的求解逻辑，找准所求式子中各项的倍数关系构造方程。
【难度系数】
0.7
