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4. 墙上钉着用一根彩绳围成的梯形状的饰物,如图中的实线所示(单位:cm)。小颖将梯形下底的钉子去掉,并将这条彩绳钉成一个长方形,如图中的虚线所示。小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米? 如果设长方形的长为x cm,根据题意,可得方程为 ()
A.$2(x+10)=10×4+6×2$
B.$2(x+10)=10×3+6×2$
C.$2x+10=10×4+6×2$
D.$2(x+10)=10×2+6×2$
A.$2(x+10)=10×4+6×2$
B.$2(x+10)=10×3+6×2$
C.$2x+10=10×4+6×2$
D.$2(x+10)=10×2+6×2$
答案
A
解析
【分析】
解题的核心是抓住彩绳总长度不变，即梯形的周长和改钉后的长方形周长相等这个等量关系。第一步先从图中提取梯形各边的长度，计算出梯形的总周长；第二步确定长方形的宽，再根据长方形周长公式表示出长方形的周长；最后根据周长相等列方程，匹配对应选项即可。
【解析】
首先计算梯形的周长：从图中可知，梯形的上底长10cm，两条腰各长10cm，下底长为6+10+6=22cm，因此彩绳总长度也就是梯形周长为：$10+10+10+10+6+6=10×4 +6×2$（cm）。
再看改钉后的长方形：长方形的宽等于梯形的上底长度，即10cm，设长为x cm，根据长方形周长公式，长方形周长为$2×(长+宽)=2(x+10)$ cm。
因为彩绳长度不变，所以梯形周长=长方形周长，因此列方程得：$2(x+10)=10×4 +6×2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程应用，周长计算，等周长变形
【点评】
本题的解题关键是找到“彩绳长度不变即周长相等”的等量关系，需要学生具备从图形中读取边长信息的能力，属于方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
解题的核心是抓住彩绳总长度不变，即梯形的周长和改钉后的长方形周长相等这个等量关系。第一步先从图中提取梯形各边的长度，计算出梯形的总周长；第二步确定长方形的宽，再根据长方形周长公式表示出长方形的周长；最后根据周长相等列方程，匹配对应选项即可。
【解析】
首先计算梯形的周长：从图中可知，梯形的上底长10cm，两条腰各长10cm，下底长为6+10+6=22cm，因此彩绳总长度也就是梯形周长为：$10+10+10+10+6+6=10×4 +6×2$（cm）。
再看改钉后的长方形：长方形的宽等于梯形的上底长度，即10cm，设长为x cm，根据长方形周长公式，长方形周长为$2×(长+宽)=2(x+10)$ cm。
因为彩绳长度不变，所以梯形周长=长方形周长，因此列方程得：$2(x+10)=10×4 +6×2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程应用，周长计算，等周长变形
【点评】
本题的解题关键是找到“彩绳长度不变即周长相等”的等量关系，需要学生具备从图形中读取边长信息的能力，属于方程应用的基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 如图,两根铁棒直立于圆柱形水桶的桶底,一根露出水面的长度是它的$\frac{1}{3}$,另一根露出水面的长度是它的$\frac{1}{5}$,两根铁棒长度之和为55 cm。如果设此时水桶中水的深度是x cm,则下列方程符合题意的是 ()
A.$\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}x=55$
B.$\frac{2}{3}x+\frac{4}{5}x=55$
C.$\frac{3}{2}x+\frac{5}{4}x=55$
D.$55-2x=\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}x$
A.$\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}x=55$
B.$\frac{2}{3}x+\frac{4}{5}x=55$
C.$\frac{3}{2}x+\frac{5}{4}x=55$
D.$55-2x=\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}x$
答案
C
解析
【分析】
解题时先明确：两根铁棒浸在水中的长度都等于水深x cm。首先根据每根铁棒露出水面的比例，分别求出每根铁棒的总长度和水深x的关系：第一根露出自身的1/3，说明水中部分占自身总长的2/3，因此第一根总长等于x除以2/3；第二根露出自身的1/5，说明水中部分占自身总长的4/5，因此第二根总长等于x除以4/5。再根据“两根铁棒长度之和为55 cm”这个等量关系，即可列出对应的方程。
【解析】
解：设水桶中水的深度是x cm。
1. 求第一根铁棒的总长度：
第一根露出水面的长度是它的$\frac{1}{3}$，则水中部分占它总长度的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，已知水中部分长x cm，因此第一根铁棒总长度为$x÷\frac{2}{3}=\frac{3}{2}x$ cm。
2. 求第二根铁棒的总长度：
第二根露出水面的长度是它的$\frac{1}{5}$，则水中部分占它总长度的$1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$，已知水中部分长x cm，因此第二根铁棒总长度为$x÷\frac{4}{5}=\frac{5}{4}x$ cm。
3. 列方程：
根据两根铁棒长度之和为55 cm，可得方程：$\frac{3}{2}x+\frac{5}{4}x=55$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用，分数运算，等量关系建立
【点评】
本题是典型的方程实际应用类题目，解题的核心是准确找到水深和两根铁棒长度的对应关系，抓住两根铁棒总长度的等量关系即可快速列方程求解，侧重考查信息提取和转化能力。
【难度系数】
0.7
解题时先明确：两根铁棒浸在水中的长度都等于水深x cm。首先根据每根铁棒露出水面的比例，分别求出每根铁棒的总长度和水深x的关系：第一根露出自身的1/3，说明水中部分占自身总长的2/3，因此第一根总长等于x除以2/3；第二根露出自身的1/5，说明水中部分占自身总长的4/5，因此第二根总长等于x除以4/5。再根据“两根铁棒长度之和为55 cm”这个等量关系，即可列出对应的方程。
【解析】
解：设水桶中水的深度是x cm。
1. 求第一根铁棒的总长度：
第一根露出水面的长度是它的$\frac{1}{3}$，则水中部分占它总长度的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，已知水中部分长x cm，因此第一根铁棒总长度为$x÷\frac{2}{3}=\frac{3}{2}x$ cm。
2. 求第二根铁棒的总长度：
第二根露出水面的长度是它的$\frac{1}{5}$，则水中部分占它总长度的$1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}$，已知水中部分长x cm，因此第二根铁棒总长度为$x÷\frac{4}{5}=\frac{5}{4}x$ cm。
3. 列方程：
根据两根铁棒长度之和为55 cm，可得方程：$\frac{3}{2}x+\frac{5}{4}x=55$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程应用，分数运算，等量关系建立
【点评】
本题是典型的方程实际应用类题目，解题的核心是准确找到水深和两根铁棒长度的对应关系，抓住两根铁棒总长度的等量关系即可快速列方程求解，侧重考查信息提取和转化能力。
【难度系数】
0.7
6. 把直径为6 cm,长为16 cm的圆钢锻造成半径为4 cm的圆钢,锻造后的圆钢的长是 cm。
答案
解：设锻造后的圆钢的长是$ x $ cm。
根据锻造前后圆钢体积相等，列方程得：
$π × (\frac{6}{2})^2 × 16 = π × 4^2 × x$
化简得：
$144π = 16π x$
两边同时除以$ 16π $，解得：
$x = 9$
答：锻造后的圆钢的长是9 cm。
根据锻造前后圆钢体积相等，列方程得：
$π × (\frac{6}{2})^2 × 16 = π × 4^2 × x$
化简得：
$144π = 16π x$
两边同时除以$ 16π $，解得：
$x = 9$
答：锻造后的圆钢的长是9 cm。
解析
【分析】
这是典型的等积变形问题，解题核心是抓住锻造前后圆钢的体积不变这一等量关系。首先回忆圆柱体积公式：圆柱体积=π×底面半径²×高（长）。解题时第一步先设锻造后圆钢的长为x cm，第二步分别表示出锻造前、后圆钢的体积，第三步根据体积相等列一元一次方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设锻造后的圆钢的长是$ x $ cm。
根据锻造前后圆钢体积相等，列方程得：
$π × (\frac{6}{2})^2 × 16 = π × 4^2 × x$
化简得：
$144π = 16π x$
两边同时除以$ 16π $，解得：
$x = 9$
【答案】9
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.圆柱体积计算
【点评】
本题属于等积变形类基础应用题，解题关键是明确物体形变前后体积不变的规律，结合对应几何体的体积公式列方程求解即可，侧重对基础等量关系和公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
这是典型的等积变形问题，解题核心是抓住锻造前后圆钢的体积不变这一等量关系。首先回忆圆柱体积公式：圆柱体积=π×底面半径²×高（长）。解题时第一步先设锻造后圆钢的长为x cm，第二步分别表示出锻造前、后圆钢的体积，第三步根据体积相等列一元一次方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设锻造后的圆钢的长是$ x $ cm。
根据锻造前后圆钢体积相等，列方程得：
$π × (\frac{6}{2})^2 × 16 = π × 4^2 × x$
化简得：
$144π = 16π x$
两边同时除以$ 16π $，解得：
$x = 9$
【答案】9
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.圆柱体积计算
【点评】
本题属于等积变形类基础应用题，解题关键是明确物体形变前后体积不变的规律，结合对应几何体的体积公式列方程求解即可，侧重对基础等量关系和公式应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
7. 孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理。冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣。”——《三国志》
按照曹冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置。已知搬运工体重均为130 kg，求大象的体重。设每块条形石的质量为x kg，依题意列方程为 （）
A.$20x + 3×130 = 20x + x + 130$
B.$20x - 3×130 = 20x + x - 130$
C.$20x + 3×130 = 20x + x - 2×130$
D.$20x - 3×130 = 20x + x - 2×130$
按照曹冲称象的方法：先将象牵到大船上，并在船的侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置，如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记的位置。已知搬运工体重均为130 kg，求大象的体重。设每块条形石的质量为x kg，依题意列方程为 （）
A.$20x + 3×130 = 20x + x + 130$
B.$20x - 3×130 = 20x + x - 130$
C.$20x + 3×130 = 20x + x - 2×130$
D.$20x - 3×130 = 20x + x - 2×130$
答案
A
解析
【分析】
列方程的核心是找到等量关系，本题中两次水位都恰好到达标记位置，说明两种情况下船上物体的总质量相等（水位相同意味着船排开水的体积相同，总重力等于浮力，因此总质量相等）。接下来分别表示两种情况的总质量：第一种是20块条形石加3个搬运工的总质量，第二种是21块条形石加1个搬运工的总质量，让两个总质量相等即可列出方程。
【解析】
根据题意，两次水位到达同一标记时，船上物体的总质量相等：
第一次船上总质量为20块条形石质量加3个搬运工的质量，即$20x + 3×130$；
第二次船上总质量为21块条形石质量加1个搬运工的质量，即$(20+1)x + 1×130 = 20x + x + 130$。
因为两次总质量相等，所以列方程为$20x + 3×130 = 20x + x + 130$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程；等量关系分析
【点评】
本题结合“曹冲称象”的经典典故命题，趣味性较强，解题关键是抓住“水位相同则船上总质量相等”的核心等量关系，逻辑清晰，容易理解。
【难度系数】
0.8
列方程的核心是找到等量关系，本题中两次水位都恰好到达标记位置，说明两种情况下船上物体的总质量相等（水位相同意味着船排开水的体积相同，总重力等于浮力，因此总质量相等）。接下来分别表示两种情况的总质量：第一种是20块条形石加3个搬运工的总质量，第二种是21块条形石加1个搬运工的总质量，让两个总质量相等即可列出方程。
【解析】
根据题意，两次水位到达同一标记时，船上物体的总质量相等：
第一次船上总质量为20块条形石质量加3个搬运工的质量，即$20x + 3×130$；
第二次船上总质量为21块条形石质量加1个搬运工的质量，即$(20+1)x + 1×130 = 20x + x + 130$。
因为两次总质量相等，所以列方程为$20x + 3×130 = 20x + x + 130$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程；等量关系分析
【点评】
本题结合“曹冲称象”的经典典故命题，趣味性较强，解题关键是抓住“水位相同则船上总质量相等”的核心等量关系，逻辑清晰，容易理解。
【难度系数】
0.8
