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8.如图,四个一样大的小长方形拼成一个大长方形,如果大长方形的周长为12 cm,那么小长方形的周长为cm。
答案
解：设小长方形的宽为$ x \, \mathrm{cm} $，由拼接图形可知，小长方形的长等于2倍的小长方形的宽，即小长方形的长为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
大长方形的长为$ x + 2x + x = 4x \, \mathrm{cm} $，大长方形的宽为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
根据大长方形周长为12 cm，列方程：
$2×(4x + 2x) = 12$
化简得：
$12x = 12$
解得：
$x = 1$
则小长方形的长为$ 2×1 = 2 \, \mathrm{cm} $，小长方形的周长为$ 2×(1+2) = 6 \, \mathrm{cm} $。
答：小长方形的周长为$\boldsymbol{6}$ cm。
大长方形的长为$ x + 2x + x = 4x \, \mathrm{cm} $，大长方形的宽为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
根据大长方形周长为12 cm，列方程：
$2×(4x + 2x) = 12$
化简得：
$12x = 12$
解得：
$x = 1$
则小长方形的长为$ 2×1 = 2 \, \mathrm{cm} $，小长方形的周长为$ 2×(1+2) = 6 \, \mathrm{cm} $。
答：小长方形的周长为$\boldsymbol{6}$ cm。
解析
【分析】
解决这道题首先要观察拼接图形的边长关系：①从中间上下叠放的两个小长方形可知，小长方形的长等于2倍的宽；②再推导大长方形的长和宽：大长方形的长=小长方形的宽+小长方形的长+小长方形的宽，大长方形的宽等于小长方形的长。接下来我们可以设小长方形的宽为未知数，用含未知数的式子表示出大长方形的长和宽，再结合大长方形的周长已知，列一元一次方程求出小长方形的长和宽，最后代入长方形周长公式计算即可。
【解析】
解：设小长方形的宽为$ x \, \mathrm{cm} $，由图形拼接的边长关系可得，小长方形的长为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
则大长方形的长为：$ x + 2x + x = 4x \, \mathrm{cm} $，大长方形的宽为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
根据长方形周长公式$ C=2×(长+宽) $，已知大长方形周长为12 cm，列方程得：
$ 2×(4x + 2x) = 12 $
化简得：$ 12x = 12 $
解得：$ x = 1 $
所以小长方形的长为$ 2×1 = 2 \, \mathrm{cm} $，宽为1 cm。
小长方形的周长为：$ 2×(1 + 2) = 6 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
6
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.长方形周长计算
3.图形拼接边长关系
【点评】
这道题是几何与代数结合的基础题型，解题关键是通过观察图形找到小长方形长和宽的隐含等量关系，将几何问题转化为方程问题求解，能很好地锻炼数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要观察拼接图形的边长关系：①从中间上下叠放的两个小长方形可知，小长方形的长等于2倍的宽；②再推导大长方形的长和宽：大长方形的长=小长方形的宽+小长方形的长+小长方形的宽，大长方形的宽等于小长方形的长。接下来我们可以设小长方形的宽为未知数，用含未知数的式子表示出大长方形的长和宽，再结合大长方形的周长已知，列一元一次方程求出小长方形的长和宽，最后代入长方形周长公式计算即可。
【解析】
解：设小长方形的宽为$ x \, \mathrm{cm} $，由图形拼接的边长关系可得，小长方形的长为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
则大长方形的长为：$ x + 2x + x = 4x \, \mathrm{cm} $，大长方形的宽为$ 2x \, \mathrm{cm} $。
根据长方形周长公式$ C=2×(长+宽) $，已知大长方形周长为12 cm，列方程得：
$ 2×(4x + 2x) = 12 $
化简得：$ 12x = 12 $
解得：$ x = 1 $
所以小长方形的长为$ 2×1 = 2 \, \mathrm{cm} $，宽为1 cm。
小长方形的周长为：$ 2×(1 + 2) = 6 \, \mathrm{cm} $。
【答案】
6
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.长方形周长计算
3.图形拼接边长关系
【点评】
这道题是几何与代数结合的基础题型，解题关键是通过观察图形找到小长方形长和宽的隐含等量关系，将几何问题转化为方程问题求解，能很好地锻炼数形结合分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
9. 如图,一个瓶子的底面是半径为4 cm的圆,瓶内装着一些溶液。当瓶子正放时,瓶内溶液的高度为25 cm;倒放时,空余部分的高度为5 cm。现把瓶子装满溶液,再把全部溶液倒在一个正方体容器里,容器内的溶液高度为10 cm。求：
(1)瓶子的容积(结果保留π);
(2)正方体的底面边长(π取3)。
(1)瓶子的容积(结果保留π);
(2)正方体的底面边长(π取3)。
答案
解：
(1) 设瓶子的容积为$V$，
瓶子的容积等于正放时溶液的体积与倒放时空余部分的体积之和，两部分均可看作底面半径为4 cm的圆柱，总高度为$25+5=30\ \mathrm{cm}$，因此：
$\begin{aligned}V&=π×4^2×30\\&=π×16×30\\&=480π\ (\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
(2) 设正方体的底面边长为$x\ \mathrm{cm}$，
根据溶液体积不变列方程：
$10x^2=480π$
将$π$取3代入得：
$\begin{aligned}10x^2&=480×3\\10x^2&=1440\\x^2&=144\end{aligned}$
因为边长为正数，解得$x=12$。
答：(1) 瓶子的容积为$480π\ \mathrm{cm}^3$；(2) 正方体的底面边长为$12\ \mathrm{cm}$。
(1) 设瓶子的容积为$V$，
瓶子的容积等于正放时溶液的体积与倒放时空余部分的体积之和，两部分均可看作底面半径为4 cm的圆柱，总高度为$25+5=30\ \mathrm{cm}$，因此：
$\begin{aligned}V&=π×4^2×30\\&=π×16×30\\&=480π\ (\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
(2) 设正方体的底面边长为$x\ \mathrm{cm}$，
根据溶液体积不变列方程：
$10x^2=480π$
将$π$取3代入得：
$\begin{aligned}10x^2&=480×3\\10x^2&=1440\\x^2&=144\end{aligned}$
因为边长为正数，解得$x=12$。
答：(1) 瓶子的容积为$480π\ \mathrm{cm}^3$；(2) 正方体的底面边长为$12\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
(1) 求解瓶子容积时，虽然瓶子整体形状不规则，但正放时内部溶液可看作底面半径为4cm、高25cm的圆柱，倒放时空余部分可看作底面半径为4cm、高5cm的圆柱，且溶液体积固定不变，因此瓶子的总容积就是这两部分圆柱的体积之和，代入圆柱体积公式即可计算。
(2) 求解正方体底面边长时，溶液从瓶子全部倒入正方体容器的过程中体积不变，正方体容器内溶液的体积等于底面积乘溶液高度，设正方体底面边长为未知数，根据体积相等的等量关系列一元一次方程，求解后取正值即可。
【解析】
(1) 设瓶子的容积为$V$，
瓶子的容积等于正放时溶液的体积与倒放时空余部分的体积之和，两部分均为底面半径4cm的圆柱，总高度为$25+5=30\ \mathrm{cm}$，根据圆柱体积公式$V=πr^2h$得：
$\begin{aligned}V&=π×4^2×30\\&=π×16×30\\&=480π\ (\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
(2) 设正方体的底面边长为$x\ \mathrm{cm}$，
根据溶液体积不变的等量关系列方程：
$10x^2=480π$
将$π=3$代入得：
$\begin{aligned}10x^2&=480×3\\10x^2&=1440\\x^2&=144\end{aligned}$
因为边长为正数，因此解得$x=12$。
【答案】
(1) 瓶子的容积为$\boldsymbol{480π\ \mathrm{cm}^3}$；(2) 正方体的底面边长为$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
圆柱体积计算、等积变形、一元一次方程的应用
【点评】
本题借助不规则容器的容积计算，考查了转化思想和等积变形思想的应用，解题的关键是结合图形找到不变的体积作为等量关系，同时需要注意计算过程中数值的合理性，比如边长取正值。
【难度系数】
0.7
(1) 求解瓶子容积时，虽然瓶子整体形状不规则，但正放时内部溶液可看作底面半径为4cm、高25cm的圆柱，倒放时空余部分可看作底面半径为4cm、高5cm的圆柱，且溶液体积固定不变，因此瓶子的总容积就是这两部分圆柱的体积之和，代入圆柱体积公式即可计算。
(2) 求解正方体底面边长时，溶液从瓶子全部倒入正方体容器的过程中体积不变，正方体容器内溶液的体积等于底面积乘溶液高度，设正方体底面边长为未知数，根据体积相等的等量关系列一元一次方程，求解后取正值即可。
【解析】
(1) 设瓶子的容积为$V$，
瓶子的容积等于正放时溶液的体积与倒放时空余部分的体积之和，两部分均为底面半径4cm的圆柱，总高度为$25+5=30\ \mathrm{cm}$，根据圆柱体积公式$V=πr^2h$得：
$\begin{aligned}V&=π×4^2×30\\&=π×16×30\\&=480π\ (\mathrm{cm}^3)\end{aligned}$
(2) 设正方体的底面边长为$x\ \mathrm{cm}$，
根据溶液体积不变的等量关系列方程：
$10x^2=480π$
将$π=3$代入得：
$\begin{aligned}10x^2&=480×3\\10x^2&=1440\\x^2&=144\end{aligned}$
因为边长为正数，因此解得$x=12$。
【答案】
(1) 瓶子的容积为$\boldsymbol{480π\ \mathrm{cm}^3}$；(2) 正方体的底面边长为$\boldsymbol{12\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
圆柱体积计算、等积变形、一元一次方程的应用
【点评】
本题借助不规则容器的容积计算，考查了转化思想和等积变形思想的应用，解题的关键是结合图形找到不变的体积作为等量关系，同时需要注意计算过程中数值的合理性，比如边长取正值。
【难度系数】
0.7
