(1)化简$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}$的结果是（）

A.$\frac{\sqrt{30}}{6}$
B.$\sqrt{5}$
C.$\frac{\sqrt{5}}{6}$
D.$6\sqrt{5}$

(1) A

【分析】
拿到这道二次根式化简题，解题思路分两步：第一步先计算根号内的异分母分数加法，异分母相加要先通分，算出被开方数的结果；第二步对得到的二次根式进行化简，需满足最简二次根式的要求：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，因此要对根号下的分数做分母有理化，最终得到结果后对应选项即可。
【解析】
解：先计算被开方数的和：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$
因此原式$=\sqrt{\frac{5}{6}}$
再将二次根式化为最简形式，给被开方数的分子分母同乘6，把分母化为完全平方数：
$\sqrt{\frac{5}{6}}=\sqrt{\frac{5×6}{6×6}}=\sqrt{\frac{30}{36}}=\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{36}}=\frac{\sqrt{30}}{6}$
所以化简结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1.二次根式化简 2.异分母分数加法 3.分母有理化
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题核心是先完成被开方数的运算，再按照最简二次根式的要求化简，易错点是通分计算错误或分母有理化时分子漏乘相同的因数，熟练掌握运算规则即可正确解答。
【难度系数】
0.8

(2)化简$\frac{1}{3}\sqrt{72}$的结果是（）

A.$\sqrt{24}$
B.$\sqrt{8}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$2\sqrt{6}$

(2) C

【分析】
要化简$\frac{1}{3}\sqrt{72}$，首先回忆二次根式的化简方法：先将被开方数分解为完全平方数与另一个非负因数的乘积，再利用二次根式的乘法性质将能开得尽方的部分开方后移出根号，最后进行乘法运算，结果要化为最简二次根式，再对应选项判断即可。
【解析】
解：$\frac{1}{3}\sqrt{72}$
$=\frac{1}{3}×\sqrt{36×2}$
根据二次根式乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），可得：
$=\frac{1}{3}×\sqrt{36}×\sqrt{2}$
$=\frac{1}{3}×6×\sqrt{2}$
$=2\sqrt{2}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的化简，二次根式的乘法性质，最简二次根式
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，重点考查对二次根式性质的运用能力，解题的关键是正确拆分被开方数，找到其中的完全平方因数，计算时注意系数的运算不要出错，化简结果要满足最简二次根式的要求。
【难度系数】
0.8

(3)化简$\sqrt{8a^3}$的结果是（）

A.$4a\sqrt{a}$
B.$-4a\sqrt{a}$
C.$2a\sqrt{2a}$
D.$-2a\sqrt{2a}$

(3) C

【分析】
要化简二次根式，首先要明确二次根式有意义的前提：被开方数≥0，由此先确定a的取值范围，避免开平方时符号出错；接下来将被开方数拆分为“完全平方因数/因式”和“非完全平方因数/因式”的乘积，再利用二次根式的性质把能开尽方的部分移到根号外，即可得到化简结果。
【解析】
第一步：确定a的取值范围
二次根式$\sqrt{8a^3}$有意义，则被开方数$8a^3≥0$，由此可得$a≥0$。
第二步：拆分被开方数并化简
将被开方数拆分得：
$\sqrt{8a^3}=\sqrt{4×2× a^2× a}$
根据二次根式乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$）拆分计算：
$=\sqrt{4}·\sqrt{a^2}·\sqrt{2a}$
其中$\sqrt{4}=2$，结合$a≥0$可得$\sqrt{a^2}=a$，代入得：
$=2· a·\sqrt{2a}=2a\sqrt{2a}$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的意义；二次根式的性质；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，解题核心是先根据被开方数的非负性确定字母的取值范围，再正确拆分被开方数，易错点是忽略a的取值范围导致开方时符号出错。
【难度系数】
0.8

(4)对于任意实数$x$，下列各式中一定成立的是（）

A.$\sqrt{x^2 -1} = \sqrt{x -1} · \sqrt{x +1}$
B.$\sqrt{(x+1)^2} = x +1$
C.$\sqrt{(-4) · (-x)} = \sqrt{-4} · \sqrt{-x}$
D.$\sqrt{36x^4} = 6x^2$

(4) D

【分析】
本题考查二次根式的定义与性质的应用，解题思路是结合二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）、二次根式乘法法则的适用前提、二次根式的化简性质，对四个选项逐一验证，判断是否对任意实数x均成立。首先明确两个核心判断依据：①二次根式乘法$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$成立的前提是$a≥0$且$b≥0$；②二次根式化简性质$\sqrt{a^2}=|a|$，化简结果一定是非负的。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：右侧$\sqrt{x-1}·\sqrt{x+1}$有意义的条件是$\begin{cases}x-1≥0 \\ x+1≥0\end{cases}$，即$x≥1$。当$x＜-1$时，左侧$\sqrt{x^2-1}$仍有意义，但右侧无意义，因此该式不是对任意实数x成立，A错误。
选项B：根据二次根式性质，$\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|$，仅当$x≥-1$时结果为$x+1$，当$x＜-1$时结果为$-(x+1)$，因此该式不是对任意实数x成立，B错误。
选项C：右侧$\sqrt{-4}$的被开方数为$-4＜0$，二次根式无意义，且右侧成立的前提是$-x≥0$即$x≤0$，左侧$\sqrt{(-4)·(-x)}=\sqrt{4x}$成立的前提是$x≥0$，仅$x=0$时可能成立，不是对任意实数x成立，C错误。
选项D：$\sqrt{36x^4}=\sqrt{36·(x^2)^2}$，由于$x^2≥0$恒成立，因此$\sqrt{36·(x^2)^2}=\sqrt{36}×\sqrt{(x^2)^2}=6×|x^2|=6x^2$，对任意实数x都成立，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；二次根式的乘法法则
【点评】
本题是二次根式的基础常考题，易错点是容易忽略二次根式运算和成立的前提条件，只对等号两边的形式做简单变形，忽略被开方数的非负性要求，解题时要牢记性质的适用范围，逐一验证排除错误选项。
【难度系数】
0.8

(5)若$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{7}$，则$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}$的值为（）

A.$2$
B.$4$
C.$\sqrt{7}$
D.$\sqrt{2}$

(5) A

【分析】
解题时可先利用二次根式的性质对所求代数式进行化简，再代入已知数值计算，能简化运算过程。首先回忆二次根式的相关性质：$\sqrt{\dfrac{x}{y}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$（$x≥0$，$y＞0$）、$\sqrt{x^2}=|x|$，由于题目中$a$、$b$均为算术平方根，取值为正，因此去掉绝对值时不需要变号，最后代入$a$、$b$的值计算即可得到结果。
【解析】
第一步：化简代数式
根据二次根式的性质可得：
$\sqrt{\dfrac{14a^2}{b^2}}=\dfrac{\sqrt{14}·\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}=\dfrac{\sqrt{14}·|a|}{|b|}$
已知$a=\sqrt{2}＞0$，$b=\sqrt{7}＞0$，因此$|a|=a$，$|b|=b$，代入得：
原式$=\dfrac{\sqrt{14}· a}{b}$
第二步：代入数值计算
将$a=\sqrt{2}$，$b=\sqrt{7}$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\dfrac{\sqrt{14}×\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\\&=\dfrac{\sqrt{28}}{\sqrt{7}}\\&=\sqrt{\dfrac{28}{7}}\\&=\sqrt{4}\\&=2\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的性质；二次根式的乘除运算
【点评】
本题属于二次根式化简求值的基础题型，解题时优先化简再代入可有效降低计算量，需要注意二次根式化简过程中符号的判断，若根号内平方的底数为负数，去绝对值时要变号。
【难度系数】
0.8

(1)化简$\sqrt{12}$的结果是。

(1) $2\sqrt{3}$

【分析】
要化简二次根式，需保证最终结果的被开方数不含能开尽方的因数。首先拆分被开方数12，找到其中最大的完全平方因数：12可拆为4×3，其中4是2的平方，属于能开尽方的因数。再根据二次根式的乘法性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}$（$a≥0,b≥0$），将完全平方数开方后移到根号外，剩余无法开方的因数留在根号内，即可得到化简结果。
【解析】
解：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=\sqrt{4}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
1.二次根式化简 2.二次根式乘法性质
【点评】
本题是二次根式化简的基础题，主要考查二次根式化简规则的应用，关键是能正确拆分被开方数，分离出其中的完全平方因数，是二次根式相关运算的必备基础。
【难度系数】
0.9

(2)下列各式中，是最简二次根式的是.(填序号)
①$\sqrt{13}$；②$\sqrt{12}$；③$\sqrt{a^3}$；④$\sqrt{\dfrac{5}{3}}$；⑤$\sqrt{0.2}$.

(2) ①

【分析】
要判断式子是否为最简二次根式，首先要明确最简二次根式的两个判定条件：1.被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不含分母）；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。解题时只需对照这两个条件逐一排查每个选项，不符合任意一个条件的就不是最简二次根式，最终选出符合条件的即可。
【解析】
我们依据最简二次根式的判定标准逐个分析：
① $\sqrt{13}$：被开方数13是整数，且13是质数，没有能开得尽方的因数，满足两个判定条件，是最简二次根式；
② $\sqrt{12}$：被开方数$12=4×3$，4是能开得尽方的因数，可化简为$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不是最简二次根式；
③ $\sqrt{a^3}$：被开方数$a^3=a^2· a$，$a^2$是能开得尽方的因式，可化简为$\sqrt{a^3}=a\sqrt{a}$（$a≥0$），不是最简二次根式；
④ $\sqrt{\dfrac{5}{3}}$：被开方数是分数，含有分母，可化简为$\sqrt{\dfrac{5}{3}}=\dfrac{\sqrt{15}}{3}$，不是最简二次根式；
⑤ $\sqrt{0.2}$：被开方数0.2是小数，可转化为分数$\dfrac{1}{5}$，含有分母，可化简为$\sqrt{0.2}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，不是最简二次根式。
综上只有①符合最简二次根式的要求。
【答案】
①
【知识点】
最简二次根式判定；二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式的基础题型，核心是牢记最简二次根式的两个判定条件，排查时注意先将被开方数的小数、分数形式转化为整数形式，再检查是否存在可开方的因数或因式，就能有效避免出错。
【难度系数】
0.8

(3)把下列各式化成最简二次根式：
$\sqrt{200}=$，
$\sqrt{1.4}=$，
$\sqrt{\dfrac{1}{32}}=$，
$-\sqrt{6\dfrac{2}{3}}=$。

(3) $10\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{35}}{5}$，$\frac{\sqrt{2}}{8}$，$-\frac{2\sqrt{15}}{3}$

【分析】
要将二次根式化为最简二次根式，需满足两个核心要求：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。解题思路如下：
1. 若被开方数是整数，先分解出完全平方因数，再利用二次根式的性质开方；
2. 若被开方数是小数或带分数，先转化为分数/假分数，再通过分子分母同乘非零数将分母化为完全平方数，最后分别开方化简，注意不要遗漏原式的符号。
【解析】
1. 化简$\sqrt{200}$：
把200分解为$10^2×2$，根据二次根式性质$\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\ (a≥0,b≥0)$计算：
$\sqrt{200}=\sqrt{10^2×2}=\sqrt{10^2}×\sqrt{2}=10\sqrt{2}$
2. 化简$\sqrt{1.4}$：
先将小数化为分数：$1.4=\frac{7}{5}$，根据$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a≥0,b＞0)$进行分母有理化：
$\sqrt{1.4}=\sqrt{\frac{7}{5}}=\frac{\sqrt{7×5}}{\sqrt{5×5}}=\frac{\sqrt{35}}{5}$
3. 化简$\sqrt{\frac{1}{32}}$：
将分母化为完全平方数，分子分母同乘2：
$\sqrt{\frac{1}{32}}=\sqrt{\frac{1×2}{32×2}}=\sqrt{\frac{2}{64}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{64}}=\frac{\sqrt{2}}{8}$
4. 化简$-\sqrt{6\dfrac{2}{3}}$：
先将带分数化为假分数：$6\dfrac{2}{3}=\frac{20}{3}$，再分母有理化，同时分解被开方数的完全平方因数：
$-\sqrt{6\dfrac{2}{3}}=-\sqrt{\frac{20}{3}}=-\sqrt{\frac{20×3}{3×3}}=-\frac{\sqrt{4×15}}{\sqrt{9}}=-\frac{2\sqrt{15}}{3}$
【答案】
$10\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{35}}{5}$，$\frac{\sqrt{2}}{8}$，$-\frac{2\sqrt{15}}{3}$
【知识点】
最简二次根式；二次根式化简；分母有理化
【点评】
本题是二次根式化简的基础题型，需要熟练掌握二次根式的运算性质，化简时注意先将小数、带分数转化为规范的分数形式，再按要求完成分母有理化和完全平方因数的开方运算，计算过程中不要遗漏原式的符号。
【难度系数】
0.75

(4)若二次根式$\sqrt{3a+5}$是最简二次根式，则a能取的最小正整数为.

(4) 2

【分析】
解决这道题的核心是先明确最简二次根式的判定条件：一是被开方数的因数为整数，二是被开方数不含能开得尽方的因数。本题中a是正整数，因此被开方数3a+5必然是整数，只需要保证其不含能开尽方的因数即可。要找最小的正整数a，我们可以从最小的正整数1开始依次代入验证，第一个符合要求的a就是答案。
【解析】
最简二次根式需满足两个条件：①被开方数的因数是整数；②被开方数中不含能开得尽方的因数。
我们从小到大代入正整数a验证：
1. 当a=1时，3a+5=3×1+5=8，8含有能开得尽方的因数4，因此$\sqrt{8}$不是最简二次根式，不符合要求；
2. 当a=2时，3a+5=3×2+5=11，11是质数，不含能开得尽方的因数，因此$\sqrt{11}$是最简二次根式，符合要求。
综上，a能取的最小正整数为2。
【答案】
2
【知识点】
最简二次根式的定义
【点评】
本题侧重考查对最简二次根式概念的掌握，采用从小到大枚举验证的方法解题更高效，解题的关键是准确判断被开方数是否含有可开尽方的因数。
【难度系数】
0.7

3. 已知长方形的面积为$48\ \mathrm{cm}^2$，其一边的长为$\sqrt{32}\ \mathrm{cm}$. 求长方形另一边的长.

$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$

【分析】
要计算长方形另一边的长，首先回忆长方形的面积公式：长方形面积=长×宽，因此未知边长=面积÷已知边长。接下来只需将已知的面积和边长代入算式，再按照二次根式的运算法则计算，最后把结果化为最简二次根式即可。
【解析】
解：根据长方形面积公式$S=ab$（$S$为面积，$a、b$分别为长方形相邻两边的长），可得另一边的长为：
$b=\frac{S}{a}=\frac{48}{\sqrt{32}}$
先化简二次根式：$\sqrt{32}=\sqrt{16×2}=4\sqrt{2}$，代入上式得：
$\frac{48}{4\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}$
对结果分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$：
$\frac{12×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}\ (\mathrm{cm})$
【答案】
$6\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
长方形面积计算；二次根式化简；二次根式除法
【点评】
本题是二次根式运算的基础应用类题目，解题关键是先根据几何公式列出算式，再按照二次根式的运算规则化简，注意最终结果要化为最简二次根式。
【难度系数】
0.8