4. 求下列各式中 $ x $ 的取值范围.
(1) $ \sqrt{2x - 3} $;
(2) $ \sqrt{-3x + 4} $;
(3) $ \frac{\sqrt{x + 1}}{x - 2} $;
(4) $ \sqrt{\frac{2}{x + 3}} $.

(1) $x≥\frac{3}{2}$
(2) $x≤\frac{4}{3}$
(3) $x≥-1$ 且 $x≠2$
(4) $x＞-3$

【分析】
要确定含二次根式、分式的代数式中x的取值范围，核心是抓住两类限制条件：1. 二次根式有意义的条件：被开方数（根号下的式子）必须大于等于0；2. 分式有意义的条件：分母不能等于0。解题时先找出每个式子中所有的限制条件，列出对应的不等式（组），再解不等式（组）就能得到x的取值范围。具体到每个小题：(1)只有二次根式，只需满足被开方数≥0；(2)同(1)，解不等式时注意不等号方向是否改变；(3)既含分子位置的二次根式，又有分母，需要同时满足被开方数≥0、分母≠0两个条件；(4)被开方数是分式，需要满足分式整体≥0，且分式的分母≠0，因为分子是正数，所以只需分母＞0即可。
【解析】
(1) 要使$\sqrt{2x-3}$有意义，被开方数必须为非负数，列不等式：
$2x - 3 ≥ 0$
移项得$2x ≥ 3$
解得$x ≥ \frac{3}{2}$
(2) 要使$\sqrt{-3x + 4}$有意义，被开方数必须为非负数，列不等式：
$-3x + 4 ≥ 0$
移项得$-3x ≥ -4$
两边同时除以-3，不等号方向改变，解得$x ≤ \frac{4}{3}$
(3) 要使$\frac{\sqrt{x + 1}}{x - 2}$有意义，需同时满足二次根式有意义、分母不为0，列不等式组：
$\begin{cases} x + 1 ≥ 0 \\ x - 2 ≠ 0 \end{cases}$
解第一个不等式得$x ≥ -1$，解第二个不等式得$x ≠ 2$
综上，取值范围为$x ≥ -1$且$x ≠ 2$
(4) 要使$\sqrt{\frac{2}{x + 3}}$有意义，被开方数为非负数且分母不为0，列不等式：
$\frac{2}{x + 3} ＞ 0$（分子2为正数，要分式为正，分母需为正）
即$x + 3 ＞ 0$
解得$x ＞ -3$
【答案】
(1) $x≥\frac{3}{2}$
(2) $x≤\frac{4}{3}$
(3) $x≥-1$ 且 $x≠2$
(4) $x＞-3$
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式（组）
【点评】
本题是代数式有意义条件的基础题型，解题关键是准确识别所有限制条件，列全不等式，求解时要注意不等号方向的变化以及多个条件的综合取舍，避免出现漏解（如忽略分母不为0）的错误。
【难度系数】
0.75

5. 有一个长和宽之比为5：2的长方形过道，其面积为10 m²。
（1）求这个长方形过道的长和宽。
（2）若用40块大小相同的正方形地砖恰好把这个过道铺满（缝隙忽略不计），求这种地砖的边长。

解：(1)设这个长方形过道的长为5x m，宽为2x m. 根据题意，得
$5x · 2x =10$.
$∴x^2=1$.
解得$x_1=1$，$x_2=-1$(不合题意，应舍去).
$∴5x=5$，$2x=2$.
答：这个长方形过道的长为5 m，宽为2 m.
(2)设这种地砖的边长为y m，则$40y^2=10$.
$∴y^2=0.25$.
解得$y_1=0.5$，$y_2=-0.5$(不合题意，应舍去).
答：这种地砖的边长为0.5 m.

【分析】
（1）已知长方形长和宽的比为5:2，可通过设参数的方法表示长和宽：设长为5x m，宽为2x m，再利用“长方形面积=长×宽”的等量关系列方程求解，注意长度为正数，需舍去不符合实际的负根。
（2）40块正方形地砖恰好铺满过道，说明40块地砖的总面积等于过道的面积，设地砖边长为y m，根据“正方形面积=边长×边长”列出方程，同样舍去不符合实际意义的负根即可得到结果。
【解析】
(1)设这个长方形过道的长为5x m，宽为2x m. 根据题意，得
$5x · 2x =10$
$∴x^2=1$
解得$x_1=1$，$x_2=-1$(不合题意，应舍去)
$∴5x=5$，$2x=2$
(2)设这种地砖的边长为y m，则
$40y^2=10$
$∴y^2=0.25$
解得$y_1=0.5$，$y_2=-0.5$(不合题意，应舍去)
【答案】
（1）长方形过道的长为5 m，宽为2 m；（2）这种地砖的边长为0.5 m。
【知识点】
一元二次方程应用，面积公式应用，算术平方根
【点评】
本题是基础的实际应用类题目，解题核心是结合比例设未知数，找准面积的等量关系列方程，同时要注意实际问题中解的取值要符合现实意义，需舍去负根。
【难度系数】
0.9

6. 先阅读下面的解题过程，再回答问题.
化简：$(\sqrt{1-3x})^2 - |1 - x|$.
解：由隐含条件 $1 - 3x ≥ 0$，得 $x ≤ \frac{1}{3}$.
$\therefore 1 - x ＞ 0$.
$\therefore$ 原式 $=(1 - 3x) - (1 - x) = 1 - 3x -1 + x = -2x$.
请按照上面的方法，化简：$\sqrt{(x - 3)^2} - (\sqrt{2 - x})^2$.

解：由隐含条件$2-x≥0$，得$x≤2$.
$∴x-3＜0$.
$∴$原式$=|x-3|-(2-x)=-(x-3)-2+x=-x+3-2+x=1$.

【分析】
化简这类含二次根式的式子时，首先要利用二次根式有意义的条件确定未知数的取值范围：二次根式的被开方数必须是非负数，因此先从式子中的$\sqrt{2-x}$入手，得到隐含条件$2-x≥0$，求出x的范围后，再判断$x-3$的正负性；接下来根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$、$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，将原式转化为含绝对值的式子，最后根据绝对值的性质去绝对值后合并同类项即可。
【解析】
由二次根式有意义的隐含条件$2-x≥0$，得$x≤2$。
$\therefore x-3≤2-3=-1＜0$，即$x-3＜0$。
$\therefore$原式$=|x-3|-(2-x)=-(x-3)-2+x=-x+3-2+x=1$。
【答案】
$1$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题解题关键是先根据二次根式的隐含条件确定未知数的取值范围，再结合二次根式和绝对值的性质化简，若忽略取值范围直接去根号、去绝对值，很容易出现符号错误。
【难度系数】
0.8