4. 已知实数a，b在数轴上的对应点如图所示. 化简：$\sqrt{a^2 -4ab +4b^2} + |a + b|$.

$-3b$

【分析】
首先观察数轴确定a、b的大小关系：$b ＜ a ＜ 0$；其次利用完全平方公式将根号内的多项式变形为平方形式，结合二次根式的性质$\sqrt{x^2}=|x|$，将原式转化为两个绝对值相加的形式；最后分别判断两个绝对值内代数式的正负，根据绝对值的性质去绝对值后合并同类项即可完成化简。
【解析】
由数轴可知：$b ＜ a ＜ 0$。
1. 化简根号内的式子：
根据完全平方公式可得$a^2 -4ab +4b^2=(a-2b)^2$，因此原式可改写为：
$\sqrt{(a-2b)^2} + |a+b| = |a-2b| + |a+b|$
2. 判断绝对值内代数式的符号：
因为$b ＜ a ＜ 0$，所以$-2b ＞ 0$，因此$a - 2b = a + (-2b) ＞ 0$；
又因为a、b均为负数，两个负数相加和仍为负数，因此$a + b ＜ 0$。
3. 去绝对值并化简：
根据绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，可得：
$|a-2b|=a-2b$，$|a+b|=-(a+b)$
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(a-2b) - (a+b)\\&=a - 2b - a - b\\&=-3b\end{aligned}$
【答案】
$-3b$
【知识点】
二次根式的性质，完全平方公式，绝对值化简
【点评】
本题是代数化简类常见题型，解题的核心是先通过数轴确定字母的取值范围，再结合相关性质对式子逐步变形，去绝对值时要格外注意符号的变化，避免因符号判断错误导致失分。
【难度系数】
0.7

5. 先阅读，再回答问题.
①$\sqrt{3^2}=3$；②$\sqrt{(-5)^2}=5$；③$\sqrt{0}=0$.
(1) 请仿照上述计算，写出$\sqrt{a^2}$的结果.（$a$为任意实数）
(2) 利用(1)中得出的结论，解决下列问题.
①$\sqrt{(3.14-π)^2}=$ .
②若$\sqrt{(x-5)^2}+\sqrt{(x-8)^2}=3$，则$x$的取值范围是 .

(1) $\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a\ (a＞0),\\0\ (a=0),\\-a\ (a＜0)\end{cases}$
(2) ① $π-3.14$ ② $5≤ x≤ 8$

【分析】
本题围绕二次根式的性质展开，解题思路如下：首先观察题目给出的3个计算示例，发现被开方数是一个数的平方，开方结果都是非负数：当底数为正时结果等于底数本身，底数为负时结果等于底数的相反数，底数为0时结果为0，据此可总结出$\sqrt{a^2}$的通用结果。接下来运用这个结论解决后续问题：对于①，先判断底数$3.14-π$的正负，再套用结论化简即可；对于②，先将原式转化为两个绝对值相加的形式，再分区间讨论去绝对值，找到满足等式的x的取值范围。
【解析】
(1) 观察已知示例：当$a＞0$时，$\sqrt{a^2}=a$；当$a=0$时，$\sqrt{a^2}=0$；当$a＜0$时，$\sqrt{a^2}=-a$，因此可得：
$\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a\ (a＞0),\\0\ (a=0),\\-a\ (a＜0)\end{cases}$
(2) ① 因为$π\approx3.14159＞3.14$，所以$3.14-π＜0$，根据(1)的结论：
$\sqrt{(3.14-π)^2}=|3.14-π|=π-3.14$
② 先根据(1)的结论化简原式得：$|x-5|+|x-8|=3$，分三种情况讨论：
当$x＜5$时，$x-5＜0$，$x-8＜0$，去绝对值得：$(5-x)+(8-x)=13-2x=3$，解得$x=5$，不符合$x＜5$的前提，舍去；
当$5≤ x≤8$时，$x-5≥0$，$x-8≤0$，去绝对值得：$(x-5)+(8-x)=3$，等式恒成立；
当$x＞8$时，$x-5＞0$，$x-8＞0$，去绝对值得：$(x-5)+(x-8)=2x-13=3$，解得$x=8$，不符合$x＞8$的前提，舍去。
综上，x的取值范围是$5≤ x≤8$。
【答案】
(1) $\sqrt{a^2}=|a|=\begin{cases}a\ (a＞0),\\0\ (a=0),\\-a\ (a＜0)\end{cases}$
(2) ① $π-3.14$ ② $5≤ x≤8$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，分类讨论思想
【点评】
本题考查二次根式性质的推导及应用，核心是掌握二次根式开方结果的非负性，能结合绝对值的性质对式子进行化简，解决含绝对值的等式问题时要注意分类讨论，不要遗漏端点取值的验证。
【难度系数】
0.7

6. 根据学习“数与式”积累的经验，探究二次根式中数字的变化规律.
①$\sqrt{1+\dfrac{1}{3}}=\sqrt{\dfrac{4}{3}}=2\sqrt{\dfrac{1}{3}}$；
②$\sqrt{2+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{9}{4}}=3\sqrt{\dfrac{1}{4}}$；
③$\sqrt{3+\dfrac{1}{5}}=\_\_\_\_\_\_$；
④$\sqrt{4+\dfrac{1}{6}}=\_\_\_\_\_\_$；
$\vdots$
(1)将横线处补充完整.
(2)若$n$是正整数，请用含$n$的代数式表示上述运算规律.
(3)小明写出了一个等式$\sqrt{a+\dfrac{1}{b}}=11\sqrt{\dfrac{1}{b}}$（$a$，$b$都是正整数）.若该等式符合上述规律，求$a+b$的值.

(1) $\sqrt{\dfrac{16}{5}}=4\sqrt{\dfrac{1}{5}}$，$\sqrt{\dfrac{25}{6}}=5\sqrt{\dfrac{1}{6}}$
(2) $\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}$
(3) 22

【分析】
1. 第(1)问可参照已知的①②式运算逻辑，先将根号内的两项通分求和，再对分子开方化简即可；
2. 第(2)问需要观察式子中各位置数字的对应关系：根号内第一个整数为n时，分数分母为n+2，运算结果的系数为n+1，再通过二次根式化简验证该规律的通用性；
3. 第(3)问将给出的等式和第(2)问得到的规律式做对比，先求出对应n的值，再推导a、b的取值，最后计算a+b即可。
【解析】
(1) 计算第③个式子：
$\sqrt{3+\dfrac{1}{5}}=\sqrt{\dfrac{3×5+1}{5}}=\sqrt{\dfrac{16}{5}}=4\sqrt{\dfrac{1}{5}}$
计算第④个式子：
$\sqrt{4+\dfrac{1}{6}}=\sqrt{\dfrac{4×6+1}{6}}=\sqrt{\dfrac{25}{6}}=5\sqrt{\dfrac{1}{6}}$
(2) 设n为正整数，对规律式推导如下：
$\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=\sqrt{\dfrac{n(n+2)+1}{n+2}}=\sqrt{\dfrac{n^2+2n+1}{n+2}}=\sqrt{\dfrac{(n+1)^2}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}$
(3) 已知$\sqrt{a+\dfrac{1}{b}}=11\sqrt{\dfrac{1}{b}}$符合上述规律，对比规律式可得$n+1=11$，解得$n=10$，
因此$a=n=10$，$b=n+2=12$，
则$a+b=10+12=22$。
【答案】
(1) $\sqrt{\dfrac{16}{5}}=4\sqrt{\dfrac{1}{5}}$，$\sqrt{\dfrac{25}{6}}=5\sqrt{\dfrac{1}{6}}$
(2) $\sqrt{n+\dfrac{1}{n+2}}=(n+1)\sqrt{\dfrac{1}{n+2}}$（n为正整数）
(3) $22$
【知识点】
二次根式化简，数字规律探究，代数式求值
【点评】
本题是规律类题型的典型考法，既考查了二次根式的运算性质，也锻炼了观察归纳、逻辑推理的能力，解题核心是从已知式子中提炼通用规律，再代入具体条件求解。
【难度系数】
0.7