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(1)下列各式中，是最简二次根式的是（
A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\sqrt{0.3}$
C
）A.$\sqrt{12}$
B.$\sqrt{8}$
C.$\sqrt{6}$
D.$\sqrt{0.3}$
答案
(1) C
解析
【分析】
解题前首先要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不能含有分数、小数）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需要对照这两个条件逐一排查每个选项，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\sqrt{12}$：被开方数$12=4×3$，其中4是可以开得尽方的因数（$\sqrt{4}=2$），化简得$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不是最简二次根式；
B. $\sqrt{8}$：被开方数$8=4×2$，其中4是可以开得尽方的因数，化简得$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是最简二次根式；
C. $\sqrt{6}$：被开方数6是整数，分解因数为$2×3$，不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的所有条件，是最简二次根式；
D. $\sqrt{0.3}$：被开方数0.3是小数，等价于分数$\frac{3}{10}$，不符合被开方数为整数的要求，化简得$\sqrt{0.3}=\frac{\sqrt{30}}{10}$，不是最简二次根式。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题是基础考查题，核心是对最简二次根式概念的理解，牢记两个判定规则逐一验证选项即可快速解题，做题时要注意不要忽略被开方数含小数、分数的情况也不符合要求。
【难度系数】
0.8
解题前首先要明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式（即被开方数不能含有分数、小数）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。我们只需要对照这两个条件逐一排查每个选项，即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $\sqrt{12}$：被开方数$12=4×3$，其中4是可以开得尽方的因数（$\sqrt{4}=2$），化简得$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，不是最简二次根式；
B. $\sqrt{8}$：被开方数$8=4×2$，其中4是可以开得尽方的因数，化简得$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，不是最简二次根式；
C. $\sqrt{6}$：被开方数6是整数，分解因数为$2×3$，不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的所有条件，是最简二次根式；
D. $\sqrt{0.3}$：被开方数0.3是小数，等价于分数$\frac{3}{10}$，不符合被开方数为整数的要求，化简得$\sqrt{0.3}=\frac{\sqrt{30}}{10}$，不是最简二次根式。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
最简二次根式的判定、二次根式的化简
【点评】
本题是基础考查题，核心是对最简二次根式概念的理解，牢记两个判定规则逐一验证选项即可快速解题，做题时要注意不要忽略被开方数含小数、分数的情况也不符合要求。
【难度系数】
0.8
(2)已知三角形的面积为18，其一边的长为$3\sqrt{2}$，则这条边上的高为（
A.$6\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$18\sqrt{2}$
D.$36\sqrt{2}$
A
）A.$6\sqrt{2}$
B.$3\sqrt{2}$
C.$18\sqrt{2}$
D.$36\sqrt{2}$
答案
(2) A
解析
【分析】
解题时先从三角形面积公式切入，三角形面积=½×底边长×这条边上的高，已知面积和底边长，可将公式变形为“高=2×面积÷底边长”，再代入数值进行二次根式的运算即可，计算时要注意将结果化为最简二次根式。
【解析】
设这条边上的高为$h$，根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$
将$S=18$，底边长为$3\sqrt{2}$代入公式得：
$18=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}× h$
变形求$h$：
$h=18×2÷3\sqrt{2}$
先计算整数运算部分：$18×2=36$，$36÷3=12$，可得$h=\frac{12}{\sqrt{2}}$
再对结果分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$：
$h=\frac{12×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算、二次根式乘除运算、分母有理化
【点评】
本题属于基础题，既考查了三角形面积公式的灵活应用，也考查了二次根式的基本运算，熟练掌握相关公式和运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时先从三角形面积公式切入，三角形面积=½×底边长×这条边上的高，已知面积和底边长，可将公式变形为“高=2×面积÷底边长”，再代入数值进行二次根式的运算即可，计算时要注意将结果化为最简二次根式。
【解析】
设这条边上的高为$h$，根据三角形面积公式：
$S=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$
将$S=18$，底边长为$3\sqrt{2}$代入公式得：
$18=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}× h$
变形求$h$：
$h=18×2÷3\sqrt{2}$
先计算整数运算部分：$18×2=36$，$36÷3=12$，可得$h=\frac{12}{\sqrt{2}}$
再对结果分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{2}$：
$h=\frac{12×\sqrt{2}}{\sqrt{2}×\sqrt{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{2}=6\sqrt{2}$
【答案】
A
【知识点】
三角形面积计算、二次根式乘除运算、分母有理化
【点评】
本题属于基础题，既考查了三角形面积公式的灵活应用，也考查了二次根式的基本运算，熟练掌握相关公式和运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(3)下列运算中，正确的是（
A.$2\sqrt{7} × 3\sqrt{7} = 6\sqrt{7}$
B.$\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{9}} = \sqrt{\frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = 3$
D.$\sqrt{15} ÷ \sqrt{5} × \sqrt{3} = \sqrt{15} ÷ \sqrt{15} = 1$
B
）A.$2\sqrt{7} × 3\sqrt{7} = 6\sqrt{7}$
B.$\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{9}} = \sqrt{\frac{3}{9}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = 3$
D.$\sqrt{15} ÷ \sqrt{5} × \sqrt{3} = \sqrt{15} ÷ \sqrt{15} = 1$
答案
(3) B
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘除运算与化简，解题思路是根据二次根式的乘除运算法则、商的算术平方根性质、分母有理化方法，逐一分析每个选项的运算过程是否正确，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个验证各选项：
选项A：根据二次根式乘法法则，$2\sqrt{7} × 3\sqrt{7}=(2×3)×(\sqrt{7}×\sqrt{7})=6×7=42$，不等于$6\sqrt{7}$，故A错误。
选项B：根据商的算术平方根性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，$\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$，再进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$得$\frac{2\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$，运算正确，故B正确。
选项C：$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，或化简为$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，结果不等于3，故C错误。
选项D：二次根式同级运算需从左到右依次计算，$\sqrt{15} ÷ \sqrt{5} × \sqrt{3}=\sqrt{15÷5}×\sqrt{3}=\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，不能先计算后两位的乘法，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘除运算、分母有理化、二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查二次根式运算法则的掌握情况，解题时要注意运算顺序，同时牢记二次根式化简的规范要求，避免出现法则误用、运算顺序颠倒的错误。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的乘除运算与化简，解题思路是根据二次根式的乘除运算法则、商的算术平方根性质、分母有理化方法，逐一分析每个选项的运算过程是否正确，最终选出正确选项。
【解析】
我们逐个验证各选项：
选项A：根据二次根式乘法法则，$2\sqrt{7} × 3\sqrt{7}=(2×3)×(\sqrt{7}×\sqrt{7})=6×7=42$，不等于$6\sqrt{7}$，故A错误。
选项B：根据商的算术平方根性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a≥0,b＞0)$，$\sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$，再进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{3}$得$\frac{2\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$，运算正确，故B正确。
选项C：$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，或化简为$\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，结果不等于3，故C错误。
选项D：二次根式同级运算需从左到右依次计算，$\sqrt{15} ÷ \sqrt{5} × \sqrt{3}=\sqrt{15÷5}×\sqrt{3}=\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$，不能先计算后两位的乘法，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘除运算、分母有理化、二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查二次根式运算法则的掌握情况，解题时要注意运算顺序，同时牢记二次根式化简的规范要求，避免出现法则误用、运算顺序颠倒的错误。
【难度系数】
0.8
(4)下列二次根式中，与$\sqrt{6}$的乘积为有理数的是（
A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{18}$
D.$\sqrt{54}$
D
）A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{12}$
C.$\sqrt{18}$
D.$\sqrt{54}$
答案
(4) D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确题目要求：找到与$\sqrt{6}$相乘后结果为有理数的二次根式。有理数是整数和分数的统称，即乘积化简后不能含有开不尽方的根号。解题思路是：根据二次根式的乘法法则，将每个选项的二次根式分别与$\sqrt{6}$相乘，再把乘积化简为最简二次根式，判断化简后的结果是否不含根号即可。
【解析】
根据二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），逐一计算各选项与$\sqrt{6}$的乘积：
A. $\sqrt{3} × \sqrt{6} = \sqrt{3×6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$，结果含根号，是无理数，不符合要求；
B. $\sqrt{12} × \sqrt{6} = \sqrt{12×6} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$，结果含根号，是无理数，不符合要求；
C. $\sqrt{18} × \sqrt{6} = \sqrt{18×6} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$，结果含根号，是无理数，不符合要求；
D. $\sqrt{54} × \sqrt{6} = \sqrt{54×6} = \sqrt{324} = 18$，18是整数，属于有理数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法运算，二次根式化简，有理数的概念
【点评】
本题考查二次根式的乘法运算及化简，解题的核心是熟练掌握二次根式的乘法法则，能正确将运算结果化为最简形式，再结合有理数的定义判断即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先明确题目要求：找到与$\sqrt{6}$相乘后结果为有理数的二次根式。有理数是整数和分数的统称，即乘积化简后不能含有开不尽方的根号。解题思路是：根据二次根式的乘法法则，将每个选项的二次根式分别与$\sqrt{6}$相乘，再把乘积化简为最简二次根式，判断化简后的结果是否不含根号即可。
【解析】
根据二次根式乘法法则：$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），逐一计算各选项与$\sqrt{6}$的乘积：
A. $\sqrt{3} × \sqrt{6} = \sqrt{3×6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$，结果含根号，是无理数，不符合要求；
B. $\sqrt{12} × \sqrt{6} = \sqrt{12×6} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$，结果含根号，是无理数，不符合要求；
C. $\sqrt{18} × \sqrt{6} = \sqrt{18×6} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$，结果含根号，是无理数，不符合要求；
D. $\sqrt{54} × \sqrt{6} = \sqrt{54×6} = \sqrt{324} = 18$，18是整数，属于有理数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法运算，二次根式化简，有理数的概念
【点评】
本题考查二次根式的乘法运算及化简，解题的核心是熟练掌握二次根式的乘法法则，能正确将运算结果化为最简形式，再结合有理数的定义判断即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
(5)已知整数$a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$，…满足条件$a_1=1$，$a_2=\sqrt{1-a_1}$，$a_3=\sqrt{1-a_2}$，$a_4=\sqrt{1-a_3}$，…，以此类推，则$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{2019}$的值为（
A.1 009
B.1 010
C.1 011
D.2 019
B
）A.1 009
B.1 010
C.1 011
D.2 019
答案
(5) B
解析
【分析】
这是一道递推数列求和的规律探究题，解题思路如下：第一步先根据已知的首项和递推公式，依次计算出前几项的数值；第二步观察计算出的数值，找到数列的循环周期，计算每个周期内的数值和；第三步用总项数除以周期，得到完整周期的个数和剩余的项数，最后结合周期和与剩余项的数值即可求出总和。
【解析】
首先根据递推公式计算前几项：
已知$a_1=1$，
$a_2=\sqrt{1-a_1}=\sqrt{1-1}=\sqrt{0}=0$，
$a_3=\sqrt{1-a_2}=\sqrt{1-0}=\sqrt{1}=1$，
$a_4=\sqrt{1-a_3}=\sqrt{1-1}=0$，
……
观察可得：数列以1、0为一个周期循环出现，每个周期包含2个数，每个周期的和为$1+0=1$。
计算2019项包含的周期数：$2019÷2=1009······1$，即共有1009个完整周期，还余1项，余下的1项对应周期的第一个数，为1。
因此前2019项的和为：$1009×1 + 1 = 1010$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式计算、周期数列求和
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过计算前几项发现数列的周期性，再利用周期特征快速求和，解题时需注意计算前几项要准确，余数对应的项的数值要判断正确。
【难度系数】
0.7
这是一道递推数列求和的规律探究题，解题思路如下：第一步先根据已知的首项和递推公式，依次计算出前几项的数值；第二步观察计算出的数值，找到数列的循环周期，计算每个周期内的数值和；第三步用总项数除以周期，得到完整周期的个数和剩余的项数，最后结合周期和与剩余项的数值即可求出总和。
【解析】
首先根据递推公式计算前几项：
已知$a_1=1$，
$a_2=\sqrt{1-a_1}=\sqrt{1-1}=\sqrt{0}=0$，
$a_3=\sqrt{1-a_2}=\sqrt{1-0}=\sqrt{1}=1$，
$a_4=\sqrt{1-a_3}=\sqrt{1-1}=0$，
……
观察可得：数列以1、0为一个周期循环出现，每个周期包含2个数，每个周期的和为$1+0=1$。
计算2019项包含的周期数：$2019÷2=1009······1$，即共有1009个完整周期，还余1项，余下的1项对应周期的第一个数，为1。
因此前2019项的和为：$1009×1 + 1 = 1010$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式计算、周期数列求和
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过计算前几项发现数列的周期性，再利用周期特征快速求和，解题时需注意计算前几项要准确，余数对应的项的数值要判断正确。
【难度系数】
0.7
(1)计算：$2\sqrt{5} × 3\sqrt{10} = \_\_\_\_\_\_.$
答案
(1) 30√2
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘法运算，解题时依据二次根式乘法的运算法则，先将两个因式的系数相乘，再将被开方数相乘，最后把所得的二次根式化为最简二次根式，即可得到最终结果。
【解析】
根据二次根式乘法运算法则：$a\sqrt{b} × c\sqrt{d} = (a × c)\sqrt{b × d}$（$b≥0,d≥0$），计算步骤如下：
$\begin{aligned}原式&=(2×3)×(\sqrt{5}×\sqrt{10})\\&=6×\sqrt{5×10}\\&=6×\sqrt{50}\\&=6×\sqrt{25×2}\\&=6×5\sqrt{2}\\&=30\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$30\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法运算；最简二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，核心是掌握二次根式乘法的运算规则，运算时注意区分系数和被开方数的运算顺序，最终结果必须化为最简二次根式。
【难度系数】
0.85
本题考查二次根式的乘法运算，解题时依据二次根式乘法的运算法则，先将两个因式的系数相乘，再将被开方数相乘，最后把所得的二次根式化为最简二次根式，即可得到最终结果。
【解析】
根据二次根式乘法运算法则：$a\sqrt{b} × c\sqrt{d} = (a × c)\sqrt{b × d}$（$b≥0,d≥0$），计算步骤如下：
$\begin{aligned}原式&=(2×3)×(\sqrt{5}×\sqrt{10})\\&=6×\sqrt{5×10}\\&=6×\sqrt{50}\\&=6×\sqrt{25×2}\\&=6×5\sqrt{2}\\&=30\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$30\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式乘法运算；最简二次根式化简
【点评】
本题属于二次根式运算的基础题，核心是掌握二次根式乘法的运算规则，运算时注意区分系数和被开方数的运算顺序，最终结果必须化为最简二次根式。
【难度系数】
0.85
(2)若$a=2$，$b=-1$，则代数式$\sqrt{12a} ÷ \sqrt{1-b}$的值为
2√3
答案
(2) 2√3
解析
【分析】
本题考查代数式求值与二次根式的除法运算，解题思路清晰明确：第一步先将已知的a、b的值代入代数式中，注意代入负数时要带括号避免符号错误；第二步根据二次根式的除法法则（两个二次根式相除，等于把被开方数相除，根指数不变，且被开方数满足非负、除数不为0）进行计算；第三步将计算得到的二次根式化为最简二次根式，就能得到最终结果。
【解析】
解：将$a=2$，$b=-1$代入代数式$\sqrt{12a} ÷ \sqrt{1-b}$中，可得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{12×2} ÷ \sqrt{1-(-1)}\\&=\sqrt{24} ÷ \sqrt{2}\\\intertext{根据二次根式除法法则$\sqrt{m}÷\sqrt{n}=\sqrt{\frac{m}{n}}(m≥0,n＞0)$：}&=\sqrt{\frac{24}{2}}\\&=\sqrt{12}\\\intertext{化简为最简二次根式：}&=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式除法运算，代数式求值，最简二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查二次根式的运算法则和化简技巧，计算时注意负数代入的符号处理，牢记二次根式的运算规则就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
本题考查代数式求值与二次根式的除法运算，解题思路清晰明确：第一步先将已知的a、b的值代入代数式中，注意代入负数时要带括号避免符号错误；第二步根据二次根式的除法法则（两个二次根式相除，等于把被开方数相除，根指数不变，且被开方数满足非负、除数不为0）进行计算；第三步将计算得到的二次根式化为最简二次根式，就能得到最终结果。
【解析】
解：将$a=2$，$b=-1$代入代数式$\sqrt{12a} ÷ \sqrt{1-b}$中，可得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\sqrt{12×2} ÷ \sqrt{1-(-1)}\\&=\sqrt{24} ÷ \sqrt{2}\\\intertext{根据二次根式除法法则$\sqrt{m}÷\sqrt{n}=\sqrt{\frac{m}{n}}(m≥0,n＞0)$：}&=\sqrt{\frac{24}{2}}\\&=\sqrt{12}\\\intertext{化简为最简二次根式：}&=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式除法运算，代数式求值，最简二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查二次根式的运算法则和化简技巧，计算时注意负数代入的符号处理，牢记二次根式的运算规则就能轻松解题。
【难度系数】
0.8
(3)已知代数式$\frac{1}{x-2}$。当$x=\sqrt{3}$时，此代数式的值为
-√3 -2
。答案
(3) -√3 -2
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步是将已知的$x=\sqrt{3}$代入给定的代数式，得到分母含二次根式的分式；第二步对该分式进行分母有理化，分母$\sqrt{3}-2$的有理化因式为$\sqrt{3}+2$，给分子分母同乘该有理化因式，利用平方差公式消除分母中的根号，化简后即可得到结果。
【解析】
将$x=\sqrt{3}$代入代数式$\frac{1}{x-2}$得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{\sqrt{3}-2}\\&=\frac{1×(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}\\&=\frac{\sqrt{3}+2}{(\sqrt{3})^2-2^2}\\&=\frac{\sqrt{3}+2}{3-4}\\&=\frac{\sqrt{3}+2}{-1}\\&=-\sqrt{3}-2\end{aligned}$
【答案】
$-\sqrt{3}-2$
【知识点】
代数式求值；分母有理化；平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的化简能力，解题时要注意有理化因式的正确选取，以及平方差公式运用时的符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
解题思路分为两步：第一步是将已知的$x=\sqrt{3}$代入给定的代数式，得到分母含二次根式的分式；第二步对该分式进行分母有理化，分母$\sqrt{3}-2$的有理化因式为$\sqrt{3}+2$，给分子分母同乘该有理化因式，利用平方差公式消除分母中的根号，化简后即可得到结果。
【解析】
将$x=\sqrt{3}$代入代数式$\frac{1}{x-2}$得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{1}{\sqrt{3}-2}\\&=\frac{1×(\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2)}\\&=\frac{\sqrt{3}+2}{(\sqrt{3})^2-2^2}\\&=\frac{\sqrt{3}+2}{3-4}\\&=\frac{\sqrt{3}+2}{-1}\\&=-\sqrt{3}-2\end{aligned}$
【答案】
$-\sqrt{3}-2$
【知识点】
代数式求值；分母有理化；平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查二次根式的化简能力，解题时要注意有理化因式的正确选取，以及平方差公式运用时的符号处理，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.8
(4)计算：$\sqrt{45} ÷ 3\sqrt{3} × \sqrt{\dfrac{3}{5}} =$ .
答案
(4) 1
解析
【分析】
本题考查二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：首先回忆二次根式乘除的运算法则，运算顺序遵循从左到右的规则，运算时可以选择两种常见思路：一是先将能化简的二次根式先化为最简二次根式，再进行乘除运算；二是将系数和二次根式部分分开，分别对系数、被开方数进行乘除运算，最后合并化简。运算时注意最终结果要化为最简形式。
【解析】
解：方法一：先化简二次根式再运算
1. 先化简$\sqrt{45}$：$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}$，代入原式得：
原式$=3\sqrt{5} ÷ 3\sqrt{3} × \sqrt{\dfrac{3}{5}}$
2. 计算系数部分：$3÷3=1$，剩余二次根式部分按乘除法则运算：
原式$=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} × \sqrt{\dfrac{3}{5}}$
3. 合并根号内的运算：
$=\sqrt{\dfrac{5}{3} × \dfrac{3}{5}}=\sqrt{1}=1$
方法二：系数、被开方数分开运算
根据二次根式乘除运算法则，系数和被开方数可分别运算：
原式$=(1÷3×1)×\sqrt{45÷3×\dfrac{3}{5}}$
$=\dfrac{1}{3}×\sqrt{15×\dfrac{3}{5}}$
$=\dfrac{1}{3}×\sqrt{9}=\dfrac{1}{3}×3=1$
【答案】
1
【知识点】
二次根式的乘除运算；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式乘除运算的基础题型，核心是熟练掌握二次根式乘除的运算法则，运算时可根据式子特点灵活选择计算方法，注意不要弄错运算顺序，最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
本题考查二次根式的乘除混合运算，解题思路如下：首先回忆二次根式乘除的运算法则，运算顺序遵循从左到右的规则，运算时可以选择两种常见思路：一是先将能化简的二次根式先化为最简二次根式，再进行乘除运算；二是将系数和二次根式部分分开，分别对系数、被开方数进行乘除运算，最后合并化简。运算时注意最终结果要化为最简形式。
【解析】
解：方法一：先化简二次根式再运算
1. 先化简$\sqrt{45}$：$\sqrt{45}=\sqrt{9×5}=3\sqrt{5}$，代入原式得：
原式$=3\sqrt{5} ÷ 3\sqrt{3} × \sqrt{\dfrac{3}{5}}$
2. 计算系数部分：$3÷3=1$，剩余二次根式部分按乘除法则运算：
原式$=\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} × \sqrt{\dfrac{3}{5}}$
3. 合并根号内的运算：
$=\sqrt{\dfrac{5}{3} × \dfrac{3}{5}}=\sqrt{1}=1$
方法二：系数、被开方数分开运算
根据二次根式乘除运算法则，系数和被开方数可分别运算：
原式$=(1÷3×1)×\sqrt{45÷3×\dfrac{3}{5}}$
$=\dfrac{1}{3}×\sqrt{15×\dfrac{3}{5}}$
$=\dfrac{1}{3}×\sqrt{9}=\dfrac{1}{3}×3=1$
【答案】
1
【知识点】
二次根式的乘除运算；二次根式的化简
【点评】
本题是二次根式乘除运算的基础题型，核心是熟练掌握二次根式乘除的运算法则，运算时可根据式子特点灵活选择计算方法，注意不要弄错运算顺序，最终结果要化为最简形式。
【难度系数】
0.8
(5)若$\sqrt{\dfrac{-2x}{3y}}=\dfrac{\sqrt{-2x}}{\sqrt{3y}}$成立，则$x$，$y$满足的条件是
x≤0，y＞0
。答案
(5) x≤0，y＞0
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确二次根式除法性质$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$的成立条件：一是所有二次根式的被开方数必须是非负数，二是分母不能为0。我们可以对应题目中的式子，分别列出分子、分母被开方数的取值要求，再联立求解不等式，就能得到x、y满足的条件。
【解析】
根据二次根式除法运算的成立条件，可得：
1. 右侧分子$\sqrt{-2x}$有意义，因此被开方数满足：
$-2x≥ 0$，两边同时除以-2（不等号方向改变），解得$x≤ 0$；
2. 右侧分母$\sqrt{3y}$既是二次根式又作分母，因此被开方数满足：
$3y＞0$，两边同时除以3，解得$y＞0$。
此时左侧被开方数$\dfrac{-2x}{3y}$的分子非负、分母为正，满足二次根式有意义的要求，因此上述条件同时成立。
【答案】
$x≤ 0$，$y＞0$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的除法性质
【点评】
本题是二次根式的基础概念题，解题核心是牢记二次根式运算的限制条件，易错点为忽略分母的被开方数不能为0，以及解含负系数的不等式时忘记改变不等号方向。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确二次根式除法性质$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$的成立条件：一是所有二次根式的被开方数必须是非负数，二是分母不能为0。我们可以对应题目中的式子，分别列出分子、分母被开方数的取值要求，再联立求解不等式，就能得到x、y满足的条件。
【解析】
根据二次根式除法运算的成立条件，可得：
1. 右侧分子$\sqrt{-2x}$有意义，因此被开方数满足：
$-2x≥ 0$，两边同时除以-2（不等号方向改变），解得$x≤ 0$；
2. 右侧分母$\sqrt{3y}$既是二次根式又作分母，因此被开方数满足：
$3y＞0$，两边同时除以3，解得$y＞0$。
此时左侧被开方数$\dfrac{-2x}{3y}$的分子非负、分母为正，满足二次根式有意义的要求，因此上述条件同时成立。
【答案】
$x≤ 0$，$y＞0$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的除法性质
【点评】
本题是二次根式的基础概念题，解题核心是牢记二次根式运算的限制条件，易错点为忽略分母的被开方数不能为0，以及解含负系数的不等式时忘记改变不等号方向。
【难度系数】
0.8
3. 已知$-3≤ x≤ 2$. 化简：$|x-2|+\sqrt{(x+3)^2}+\sqrt{x^2-10x+25}$.
答案
10 - x
解析
【分析】
解题时首先利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将题中的二次根式全部转化为绝对值形式，再结合完全平方公式化简第三个根号内的多项式。随后根据给定的$x$的取值范围$-3≤ x≤2$，分别判断每个绝对值内代数式的正负性，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
首先利用完全平方公式和二次根式的性质变形原式：
$\sqrt{x^2-10x+25}=\sqrt{(x-5)^2}=|x-5|$，$\sqrt{(x+3)^2}=|x+3|$
因此原式可化为：$|x-2|+|x+3|+|x-5|$
已知$-3≤ x≤2$，据此判断绝对值内式子的正负：
1. $x-2≤0$，所以$|x-2|=2-x$
2. $x+3≥0$，所以$|x+3|=x+3$
3. $x-5＜2-5=-3＜0$，所以$|x-5|=5-x$
将上述去绝对值后的式子代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(2-x)+(x+3)+(5-x)\\&=2-x+x+3+5-x\\&=10-x\end{aligned}$
【答案】
$10-x$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 绝对值的化简
3. 完全平方公式
【点评】
本题是二次根式化简的基础常考题，解题核心是牢记$\sqrt{a^2}=|a|$的性质，先统一转化为绝对值化简问题，再结合取值范围判断符号即可，注意去绝对值时正负号不要出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，将题中的二次根式全部转化为绝对值形式，再结合完全平方公式化简第三个根号内的多项式。随后根据给定的$x$的取值范围$-3≤ x≤2$，分别判断每个绝对值内代数式的正负性，再依据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后合并同类项即可得到化简结果。
【解析】
首先利用完全平方公式和二次根式的性质变形原式：
$\sqrt{x^2-10x+25}=\sqrt{(x-5)^2}=|x-5|$，$\sqrt{(x+3)^2}=|x+3|$
因此原式可化为：$|x-2|+|x+3|+|x-5|$
已知$-3≤ x≤2$，据此判断绝对值内式子的正负：
1. $x-2≤0$，所以$|x-2|=2-x$
2. $x+3≥0$，所以$|x+3|=x+3$
3. $x-5＜2-5=-3＜0$，所以$|x-5|=5-x$
将上述去绝对值后的式子代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=(2-x)+(x+3)+(5-x)\\&=2-x+x+3+5-x\\&=10-x\end{aligned}$
【答案】
$10-x$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 绝对值的化简
3. 完全平方公式
【点评】
本题是二次根式化简的基础常考题，解题核心是牢记$\sqrt{a^2}=|a|$的性质，先统一转化为绝对值化简问题，再结合取值范围判断符号即可，注意去绝对值时正负号不要出错。
【难度系数】
0.7
