1. 在方格图中,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图所示的平面直角坐标系中,格点△ABC,△DEF成位似关系,则位似中心的坐标为 ()

A.(-1,0)
B.(0,0)
C.(0,1)
D.(1,0)

1.A

2. 如图，在$△ ABC$中，$G$为重心，连结$AG$并延长，交边$BC$于点$D$，若$△ ABC$的面积为$6\ \mathrm{cm}^2$，则$△ BGD$的面积为（）

A.$1\ \mathrm{cm}^2$
B.$1.5\ \mathrm{cm}^2$
C.$2\ \mathrm{cm}^2$
D.$3\ \mathrm{cm}^2$

2.A 【点拨】由点G为△ABC的重心可知，AD为BC边上的中线，且$DG=\frac{1}{3}AD$，故$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=3\ \mathrm{cm}^2$。易得$\frac{S_{△ BGD}}{S_{△ ABD}}=\frac{DG}{AD}=\frac{1}{3}$，故$S_{△ BGD}=\frac{1}{3}S_{△ ABD}=\frac{1}{3} × 3=1(\mathrm{cm}^2)$。

3. 新趋势学科内综合 如图，点 A 在反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，过点 A 作$AB⊥x$轴于点 B，$AC⊥y$轴于点 C，以点 O 为位似中心把四边形 OBAC 放大得到四边形$OB'A'C'$，且相似比为$2:3$，则图象经过点$A'$的反比例函数的表达式为（）

A.$y=\frac{6}{x}(x＞0)$
B.$y=-\frac{6}{x}(x＞0)$
C.$y=\frac{9}{x}(x＞0)$
D.$y=-\frac{9}{x}(x＞0)$

3.C 【点拨】
∵点 A 在反比例函数$y=\frac{4}{x}(x＞0)$的图象上，
∴$S_{四边形ACOB}=4$。
∵以 O 为位似中心把四边形 OBAC 放大得到四边形$OB'A'C'$，且相似比为 2 : 3，
∴$\frac{S_{四边形ACOB}}{S_{四边形A'C'OB'}}=(\frac{2}{3})^2=\frac{4}{9}$。
∴$S_{四边形A'C'OB'}=9$。
∴图象过点$A'$的反比例函数的表达式为$y=\frac{9}{x}(x＞0)$。

4.如图,一只箱子沿着斜面向上运动,箱高$AB=1.3\ \mathrm{m}$,当$BC=2.6\ \mathrm{m}$时,点$B$离地面的距离$BE=1\ \mathrm{m}$,则此时点$A$离地面的距离$AD$是 ()

A.$2.2\ \mathrm{m}$
B.$2\ \mathrm{m}$
C.$1.8\ \mathrm{m}$
D.$1.6\ \mathrm{m}$

4.A 【点拨】由题意可得$AD// EB$,则$∠ AFB=∠ CFD=∠ CBE$,$△ CDF ∽ △ CEB$。$\because ∠ ABF=∠ CEB=90°$,$\therefore △ CBE ∽ △ AFB$。$\therefore \frac{BE}{FB}=\frac{BC}{AF}=\frac{EC}{AB}$。在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，$BC=2.6\ \mathrm{m}$,$BE=1\ \mathrm{m}$,$\therefore EC=2.4\ \mathrm{m}$。$\therefore \frac{1}{FB}=\frac{2.6}{AF}=\frac{2.4}{1.3}$,解得$FB=\frac{13}{24}\ \mathrm{m}$,$AF=\frac{169}{120}\ \mathrm{m}$。$\because △ CDF ∽ △ CEB$,$\therefore \frac{DF}{EB}=\frac{CF}{CB}$,即$\frac{DF}{1}=\frac{2.6-\frac{13}{24}}{2.6}$,解得$DF=\frac{19}{24}\ \mathrm{m}$,故$AD=DF+AF=\frac{19}{24}+\frac{169}{120}=2.2(\mathrm{m})$,故此时点 A 离地面的距离 AD 是 2.2 m。

5. 在平面直角坐标系中有一个轴对称图形(只有一条对称轴),其中点$A(1,-2)$和点$A'(-9,-2)$是这个图形上的一组对称点,若此图形上另有一点$B(-\dfrac{5}{2},3)$,则点$B$的对称点的坐标是 ()

A.$(-\dfrac{11}{2},3)$
B.$(\dfrac{11}{2},3)$
C.$(-\dfrac{11}{2},-3)$
D.$(\dfrac{11}{2},-3)$

5.A 【点拨】
∵点$A(1,-2)$和点$A'(-9,-2)$是这个图形上的一组对称点，
∴该对称图形的对称轴是直线$x=-4$。设$B'(m,3)$，$\therefore \frac{-\frac{5}{2}+m}{2}=-4$。$\therefore m=-\frac{11}{2}$。$\therefore$点$B(-\frac{5}{2},3)$的对称点的坐标是$(-\frac{11}{2},3)$。

6. 情境题生活应用 如图，学校为举办文艺汇演搭建了舞台及登台的台阶，台阶总高度$AB=60\ \mathrm{cm}$，台阶部分铺红地毯，地毯长度为$140\ \mathrm{cm}$，支撑钢梁$DE⊥ AC$，且$D$为$BC$的中点，则钢梁$DE$的长为（）

A.$20\ \mathrm{cm}$
B.$24\ \mathrm{cm}$
C.$32\ \mathrm{cm}$
D.$40\ \mathrm{cm}$

6.B 【点拨】由题意得$AB⊥ BC$,$\therefore ∠ ABC=90°$。$\because DE⊥ AC$,$\therefore ∠ DEC=90°$。$\therefore ∠ DEC=∠ ABC$。$\because AB=60\ \mathrm{cm}$,$AB+BC=140\ \mathrm{cm}$,$\therefore BC=140-60=80(\mathrm{cm})$。$\therefore AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{60^2+80^2}=100(\mathrm{cm})$。$\because D$是$BC$的中点，$\therefore CD=\frac{1}{2}BC=40\ \mathrm{cm}$。$\because ∠ ACB=∠ DCE$，$\therefore △ ECD ∽ △ BCA$。$\therefore \frac{CD}{CA}=\frac{DE}{AB}$。$\therefore \frac{40}{100}=\frac{DE}{60}$。$\therefore DE=24\ \mathrm{cm}$,$\therefore$钢梁$DE$的长为 24 cm,故选 B。

7. 新视角规律探究题 如图,在平面直角坐标系中,正方形$A_1B_1C_1A_2$与正方形$A_2B_2C_2A_3$是以原点$O$为位似中心的位似图形,且位似比为$\frac{1}{2}$,点$A_1,A_2,A_3$在$x$轴上,延长$A_3C_2$交射线$OB_1$于点$B_3$,以$A_3B_3$为边作正方形$A_3B_3C_3A_4$;延长$A_4C_3$交射线$OB_1$于点$B_4$,以$A_4B_4$为边作正方形$A_4B_4C_4A_5$,$···$,若$OA_1=2$,则正方形$A_nB_nC_nA_{n+1}$的面积为（）

A.$2n$
B.$2^n$
C.$2^{n+1}$
D.$4^n$

7.D 【点拨】
∵正方形$A_1B_1C_1A_2$与正方形$A_2B_2C_2A_3$是以原点$O$为位似中心的位似图形,且位似比为$\frac{1}{2}$，$\therefore \frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{1}{2}$,$A_1B_1⊥ x$轴,$A_2B_2⊥ x$轴。$\therefore A_1B_1// A_2B_2$。$\therefore △ OA_1B_1 ∽ △ OA_2B_2$。$\therefore \frac{OA_1}{OA_2}=\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{1}{2}$。$\because OA_1=2$，$\therefore OA_2=4$。$\therefore A_1A_2=2$。$\therefore$正方形$A_1B_1C_1A_2$的面积为$2×2=4$。$\because OA_1=A_1A_2=A_1B_1=2$，$\therefore ∠ B_1OA_1=45°$。$\therefore A_2A_3=A_2B_2=OA_2=4$。$\therefore OA_3=8$。正方形$A_2B_2C_2A_3$的面积为$4×4=4^2$。$\because A_3B_3⊥ x$轴,$B_3$在射线$OB_1$上，$\therefore A_3B_3=OA_3=8$。$\therefore$正方形$A_3B_3C_3A_4$的面积为$8×8=64=4^3$。…，$\therefore$正方形$A_nB_nC_nA_{n+1}$的面积为$4^n$。

8. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为$(a,2)$，点B的坐标是$(3,b)$，若点A与点B关于原点O对称，则$ab=$。

8. 6