4. 如图,在菱形ABCD中,点E是边DC上的任意一点(不与点D,C重合),AE交对角线BD于点F,过点E作EG//BC交BD于点G.
(1)求证:$DF^2 = FG · BF$;
(2)当$AE ⊥ DC$时,求证:$BD · DF = 2AD · DE$.

(1)【证明】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$\therefore AD // BC$，$AB // CD$。
$\because EG // BC$，$\therefore AD // EG$。$\therefore △ ADF ∽ △ EGF$。$\therefore \frac{AF}{EF}=\frac{DF}{FG}$。
$\because AB // CD$，$\therefore △ ABF ∽ △ EDF$。$\therefore \frac{AF}{EF}=\frac{BF}{DF}$。
$\therefore \frac{DF}{FG}=\frac{BF}{DF}$。$\therefore DF^2=FG · BF$。
(2) ，连结 $AC$ 交 $BD$ 于点 $O$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是菱形，
$\therefore ∠ AOD=90°$，$BD=2OD$，$∠ ADB=∠ CDB$。
$\because AE ⊥ DC$，
$\therefore ∠ FED=90°=∠ AOD$，$\therefore △ ADO ∽ △ FDE$。
$\therefore \frac{AD}{DF}=\frac{OD}{DE}$。$\therefore OD · DF=AD · DE$。
$\therefore 2OD · DF=2AD · DE$。$\therefore BD · DF=2AD · DE$。

5. 如图,在矩形$ABCD$中,点$E$在边$AD$上,点$F$在边$DC$上,连结$BE$,$AF$交于点$G$.
(1)若$EG=\frac{1}{4}BE$,$E$是边$AD$的中点,求$\frac{DF}{DC}$的值;
(2)若$EG=\frac{1}{5}BE$,点$E$是边$AD$上靠近点$A$的三等分点,求$\frac{DF}{DC}$的值;

(3)若$E$是边$AD$的中点,$EG=\frac{1}{n}BE$,求$\frac{DF}{DC}$的值.

，过点 $E$ 作 $EH // AB$，交 $AF$ 于点 $H$，则 $△ HEG ∽ △ ABG$，$\therefore \frac{EH}{AB}=\frac{EG}{BG}$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形，$\therefore CD=AB$，$AB // CD$。$\therefore EH // CD$。
$\therefore △ AEH ∽ △ ADF$。$\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{EH}{DF}$。
(1) $\because EG=\frac{1}{4}BE$，$\therefore \frac{EG}{BG}=\frac{1}{3}$。
$\therefore \frac{EH}{AB}=\frac{EG}{BG}=\frac{1}{3}$。$\therefore AB=3EH$。
$\because E$ 是边 $AD$ 的中点，$\therefore \frac{EH}{DF}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$。
$\therefore DF=2EH$。$\therefore \frac{DF}{DC}=\frac{DF}{AB}=\frac{2EH}{3EH}=\frac{2}{3}$。
(2) $\because EG=\frac{1}{5}BE$，$\therefore \frac{EG}{BG}=\frac{1}{4}$。
$\therefore \frac{EH}{AB}=\frac{EG}{BG}=\frac{1}{4}$。$\therefore AB=4EH$。
$\because$ 点 $E$ 是边 $AD$ 上靠近点 $A$ 的三等分点，
$\therefore \frac{EH}{DF}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{3}$。
$\therefore DF=3EH$。$\therefore \frac{DF}{DC}=\frac{DF}{AB}=\frac{3EH}{4EH}=\frac{3}{4}$。
(3) $\because EG=\frac{1}{n}BE$，$\therefore \frac{EG}{BG}=\frac{1}{n-1}$。
$\therefore \frac{EH}{AB}=\frac{EG}{BG}=\frac{1}{n-1}$。$\therefore AB=(n-1)EH$。
$\because E$ 是边 $AD$ 的中点，$\therefore \frac{EH}{DF}=\frac{AE}{AD}=\frac{1}{2}$。
$\therefore DF=2EH$。$\therefore \frac{DF}{DC}=\frac{DF}{AB}=\frac{2EH}{(n-1)EH}=\frac{2}{n-1}$。

6. 杭州钱塘区期中 新考向·数学文化 如图①，由四个全等的直角三角形的直角边拼接成一个正方形ABCD，我们称这样的图形为“弦图”，“弦图”是中国古代数学的瑰宝，在如图②的“弦图”中，连结AC，EG交于点O，设AC与EH，FG的交点分别为M，N。吴老师和学生们对此“弦图”进行研究性学习时，有如下交流：
吴老师：利用弦图中的三角形全等关系可证明四边形EFGH是正方形，O是AC和EG的中点；
小聪：这两个结论都能证明，我还发现$△ AOE ∽ △ EOM$；
小颖：我发现已知AE，BE的长度，就能确定MN的长度，如：已知$AE=3$，$BE=1$，求$MN$的长度.
(1)请你证明小聪发现的结论；
(2)请你解答小颖提出的问题“已知$AE=3$，$BE=1$，求$MN$的长度.”

(1) 由吴老师与小聪的交流可知四边形 $EFGH$ 是正方形。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 和四边形 $EFGH$ 是正方形，
$\therefore ∠ OAE=∠ OEM=45°$。
又 $\because ∠ AOE=∠ EOM$，$\therefore △ AOE ∽ △ EOM$。
(2) $\because △ AHE ≌ △ BEF$，$\therefore AH=BE=1$。
$\therefore HE=\sqrt{AE^2+AH^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
由正方形 $EFGH$ 得，$EG=\sqrt{2}HE=2\sqrt{5}$。
由正方形 $ABCD$ 得，$AC=\sqrt{2}AB=\sqrt{2} × (3+1)=4\sqrt{2}$。
由吴老师与小聪的交流可知 $O$ 是 $AC$ 和 $EG$ 的中点，
$\therefore OA=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$，$OE=\frac{1}{2}EG=\sqrt{5}$。
由(1)得 $△ AOE ∽ △ EOM$，$\therefore \frac{AO}{OE}=\frac{OE}{OM}$，
即 $\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{OM}$，$\therefore OM=\frac{5\sqrt{2}}{4}$。
$\therefore$ 由中心对称性，得 $MN=2OM=\frac{5\sqrt{2}}{2}$。