6. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,CD,BE相交于点F,且∠ABE=∠ACD.
(1) 求证:△ABE≅△ACD.
(2) 求证:DF=EF.

证明：
(1) 在$△ ABE$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ A \\AB = AC \\∠ ABE = ∠ ACD\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ACD(\mathrm{ASA})$。
(2) $\because AB = AC$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ ACB$。
由(1)得$△ ABE ≌ △ ACD$，
$\therefore AD = AE$，
$\therefore AB - AD = AC - AE$，即$BD = CE$。
在$△ BDF$和$△ CEF$中，
$\begin{cases}∠ DBF = ∠ ECF \\∠ DFB = ∠ EFC \\BD = CE\end{cases}$
$\therefore △ BDF ≌ △ CEF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DF = EF$。

【分析】
(1) 要证明△ABE≅△ACD，先梳理已知条件：题目给出AB=AC、∠ABE=∠ACD，同时两个三角形有公共角∠A，三个条件刚好符合“角边角（ASA）”的全等判定要求，可直接证明全等。
(2) 要证明DF=EF，通常可证明两条线段所在的三角形全等，观察图形可知DF、EF分别在△BDF和△CEF中，因此只需证明△BDF≅△CEF即可：首先由AB=AC可推出等腰△ABC的底角∠ABC=∠ACB，减去已知相等的∠ABE和∠ACD，就能得到∠DBF=∠ECF；再由第一问的全等结论可得AD=AE，结合AB=AC可推出BD=CE；再加上对顶角∠DFB=∠EFC，就满足“角角边（AAS）”的全等判定条件，证得△BDF≅△CEF后即可得到对应边DF=EF。
【解析】
(1) 在$△ ABE$和$△ ACD$中，
$\begin{cases}∠A = ∠A \\AB = AC \\∠ABE = ∠ACD\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ ACD(\mathrm{ASA})$。
(2) $\because AB = AC$，
$\therefore ∠ABC = ∠ACB$。
由(1)得$△ ABE ≌ △ ACD$，
$\therefore AD = AE$，
$\therefore AB - AD = AC - AE$，即$BD = CE$。
在$△ BDF$和$△ CEF$中，
$\begin{cases}∠DBF = ∠ECF \\∠DFB = ∠EFC \\BD = CE\end{cases}$
$\therefore △ BDF ≌ △ CEF(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DF = EF$。
【答案】
(1) $△ ABE ≌ △ ACD$成立；
(2) $DF = EF$成立。
【知识点】
全等三角形的判定；等腰三角形的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形相关知识的基础综合题，第一问可直接利用已知条件和公共角完成全等证明，第二问需要结合第一问的全等结论和等腰三角形性质推导边角关系，再通过证明新的三角形全等得到对应边相等，解题时要注意挖掘公共角、对顶角这类隐含条件。
【难度系数】
0.8

7. 如图，$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，$AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的角平分线.
（1）求证：$AD=A'D'$.
（2）用文字语言叙述第（1）题的结论.

证明：(1)
∵ △ABC ≌ △A'B'C'，
∴ AB = A'B'，∠B = ∠B'，∠BAC = ∠B'A'C'。
∵ AD，A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线，
∴ ∠BAD = $\frac{1}{2}$∠BAC，∠B'A'D' = $\frac{1}{2}$∠B'A'C'，
∴ ∠BAD = ∠B'A'D'。
在△ABD和△A'B'D'中，
$\{\begin{array}{l}∠B = ∠B' \\AB = A'B' \\∠BAD = ∠B'A'D'\end{array} $
∴ △ABD ≌ △A'B'D'（ASA），
∴ AD = A'D'。
(2) 全等三角形的对应角平分线相等。

【分析】
要证明$AD=A'D'$，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先利用已知的$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，得到对应边相等、对应角相等；再结合角平分线的定义，推出一组新的相等角，即可得到$△ ABD$和$△ A'B'D'$全等的判定条件，证明两三角形全等后就能得到对应边$AD=A'D'$。第二问只需将推导得到的规律用概括性文字表述即可。
【解析】
(1) 证明：
$\because △ ABC ≌ △ A'B'C'$，
$\therefore AB = A'B'$，$∠ B = ∠ B'$，$∠ BAC = ∠ B'A'C'$。
$\because AD$，$A'D'$分别是$△ ABC$和$△ A'B'C'$的角平分线，
$\therefore ∠ BAD = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ B'A'D' = \frac{1}{2}∠ B'A'C'$，
$\therefore ∠ BAD = ∠ B'A'D'$。
在$△ ABD$和$△ A'B'D'$中，
$\{\begin{array}{l}∠ B = ∠ B' \\AB = A'B' \\∠ BAD = ∠ B'A'D'\end{array} $
$\therefore △ ABD ≌ △ A'B'D'$（ASA），
$\therefore AD = A'D'$。
(2) 解：由(1)的推导可总结得到结论：全等三角形的对应角平分线相等。
【答案】
(1) 证明见上述解析，$AD=A'D'$成立；
(2) 全等三角形的对应角平分线相等。
【知识点】
全等三角形的性质、角平分线的定义、全等三角形的判定（ASA）
【点评】
本题是全等三角形性质与判定的基础应用题，解题时先利用全等三角形的性质得到相等的边和角，再结合角平分线的定义构造新的全等三角形即可得证，解题过程中要注意全等判定条件的规范书写。
【难度系数】
0.8