画$△ ABC$，使$∠ A=80°$，$∠ B=40°$，$BC=2\ \mathrm{cm}$. 你画的三角形与其他同学画的三角形全等吗？为什么？

解：
所画的三角形与其他同学画的三角形全等。
理由如下：
在△ABC中，
∵ ∠A=80°，∠B=40°，
∴ ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 60°。
所有符合要求的三角形都满足：∠B=40°，BC=2 cm，∠C=60°，即两个角及其夹边对应相等，根据全等三角形判定的“角边角”（ASA）定理，可知所有满足条件的三角形都全等。

【分析】
解题时可按以下思路思考：第一步，根据三角形内角和为180°，结合已知的∠A=80°、∠B=40°，计算出第三个内角∠C的度数；第二步，观察已知边BC的位置，BC是∠B和∠C的夹边，此时所有符合要求的三角形都满足两角及其夹边对应相等；第三步，结合全等三角形的“角边角”判定定理，即可判断画出的三角形是否全等。
【解析】
解：所画的三角形与其他同学画的三角形全等，理由如下：
在△ABC中，
∵ ∠A=80°，∠B=40°，
∴ ∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 80° - 40° = 60°。
所有符合要求的三角形都满足：∠B=40°，BC=2 cm，∠C=60°，即两个角及其夹边对应相等，根据全等三角形判定的“角边角”（ASA）定理，可知所有满足条件的三角形都全等。
【答案】
所画的三角形与其他同学画的三角形全等。所有符合要求的三角形两角及其夹边对应相等，根据“角边角”（ASA）全等判定定理，这些三角形都全等。
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 全等三角形ASA判定
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题型，需要结合三角形内角和对已知条件进行转化，解题时要注意确认边角的位置关系是否符合判定定理的要求，避免混淆不同的全等判定规则。
【难度系数】
0.8

例 如图1-9,在△ABC中,点D在边BC上,BE⊥AD,CF⊥AD,垂足分别为E,F.
(1)若AD是△ABC的中线,求证:BE=CF.
(2)若BE=CF,求证:AD是△ABC的中线.

(1) 证明：
∵ $BE⊥ AD$，$CF⊥ AD$，
∴ $∠ E = ∠ CFD = 90°$。
∵ $AD$ 是 $△ ABC$ 的中线，
∴ $BD = CD$。
在 $△ BDE$ 和 $△ CDF$ 中，
$\begin{cases}∠ E = ∠ CFD \\∠ BDE = ∠ CDF \\BD = CD\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CDF$（AAS），
∴ $BE = CF$。
---
(2) 证明：
∵ $BE⊥ AD$，$CF⊥ AD$，
∴ $∠ E = ∠ CFD = 90°$。
在 $△ BDE$ 和 $△ CDF$ 中，
$\begin{cases}∠ E = ∠ CFD \\∠ BDE = ∠ CDF \\BE = CF\end{cases}$
∴ $△ BDE ≌ △ CDF$（AAS），
∴ $BD = CD$，
∴ $AD$ 是 $△ ABC$ 的中线。

【分析】
本题两小问均围绕全等三角形的判定与性质推导结论：
(1) 要证$BE=CF$，观察发现两条线段分别在$△ BDE$和$△ CDF$中，可通过证明两三角形全等得到对应边相等。首先由$BE、CF$均垂直于$AD$可得一组直角相等，图中隐含对顶角$∠ BDE=∠ CDF$，再结合$AD$是中线的条件得到$BD=CD$，满足AAS全等判定条件，证得全等后即可推出$BE=CF$。
(2) 要证$AD$是$△ ABC$的中线，即需证$D$是$BC$中点（$BD=CD$），仍可通过证$△ BDE$和$△ CDF$全等得到对应边相等。已知$BE=CF$，结合垂直得到的直角相等、对顶角相等，满足AAS全等判定条件，证得全等后得到$BD=CD$，即可推出$AD$是中线。
【解析】
(1) 证明：
$\because BE⊥ AD$，$CF⊥ AD$，
$\therefore ∠ E = ∠ CFD = 90°$。
$\because AD$是$△ ABC$的中线，
$\therefore BD = CD$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}∠ E = ∠ CFD \\∠ BDE = ∠ CDF \\BD = CD\end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ CDF$（AAS），
$\therefore BE = CF$。
(2) 证明：
$\because BE⊥ AD$，$CF⊥ AD$，
$\therefore ∠ E = ∠ CFD = 90°$。
在$△ BDE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}∠ E = ∠ CFD \\∠ BDE = ∠ CDF \\BE = CF\end{cases}$
$\therefore △ BDE ≌ △ CDF$（AAS），
$\therefore BD = CD$，
$\therefore AD$是$△ ABC$的中线。
【答案】
(1) $BE=CF$得证；(2) $AD$是$△ ABC$的中线得证
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 三角形中线的定义
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，核心是通过证明共对顶角的两个直角三角形全等来推导线段关系，解题时要注意挖掘图中的隐含条件（对顶角相等、垂直得到的直角相等），熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.8

1. 两角分别相等且相等的两个三角形全等(简写成“”或“”).
如图，∵ ∠A=∠A′，∠B=，BC=，
∴ △ABC≌△A′B′C′.()

解：
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”).
如图，∵ ∠A=∠A′，∠B=$\boldsymbol{∠B'}$，BC=$\boldsymbol{B'C'}$，
∴ △ABC≌△A′B′C′.(AAS（或两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等）)

【分析】
解题首先要回忆全等三角形的AAS判定定理的具体内容，再结合图形找准两个三角形的对应角、对应边，对应元素要和顶点的对应关系保持一致，最后根据定理填写判定依据即可。首先明确：当两个三角形有两个角分别相等时，若还有其中一组等角的对边相等，即可判定全等，也就是“角角边（AAS）”；再看题中图形，△ABC和△A'B'C'顶点一一对应，∠B对应∠B'，BC边对应B'C'，刚好满足AAS的判定条件。
【解析】
1. 先补全判定定理内容：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写为“角角边”，字母表示为“AAS”。
2. 结合图形对应关系：△ABC与△A'B'C'中，顶点A对应A'，B对应B'，C对应C'，因此∠B的对应角为∠B'，边BC的对应边为B'C'。
3. 判定依据：已知∠A=∠A'，∠B=∠B'，BC=B'C'，其中BC是∠A的对边，B'C'是∠A'的对边，符合AAS的判定条件，因此可推出△ABC≌△A′B′C′。
【答案】
其中一组等角的对边；角角边；AAS；$\boldsymbol{∠B'}$；$\boldsymbol{B'C'}$；AAS（或两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等）
【知识点】
1. 全等三角形AAS判定
2. 全等三角形对应元素识别
【点评】
这道题是全等三角形判定的基础概念题，重点考察对AAS判定定理的记忆和对全等三角形对应角、对应边的识别能力，掌握好基础定理和对应关系是后续解决复杂全等证明题的前提。
【难度系数】
0.9

2. 判断题(正确的打“√”，错误的打“×”)：
（1）有两个角分别相等的两个三角形全等；（）
（2）有两个角和一条边相等的两个三角形全等；（）
（3）一个锐角和一条边相等的两个直角三角形全等。（）

解：
（1）×
（2）×
（3）×

【分析】
本题主要考查全等三角形判定定理的应用，解题时需紧扣全等判定的核心要求：所有边和角的相等必须是“对应相等”，且全等判定至少需要1组边相等的条件。具体思考路径如下：
（1）判断仅两个角相等的条件是否满足全等要求：全等要求三角形能完全重合，仅角相等无法确定边长大小，所以不能判定全等；
（2）判断两个角+一条边相等的条件：需注意这条边必须是两个三角形的对应边，若未说明对应相等，无法保证全等；
（3）判断直角三角形中一个锐角+一条边相等的条件：直角三角形已有直角相等，加一个锐角相等则三个角都相等，但边未说明对应相等的话，同样无法判定全等。
【解析】
（1）全等三角形的判定至少需要一组边对应相等，仅有两个角相等的两个三角形，边长可以不相等，比如大小不同的两个30°、60°的三角板，角度完全相等但无法完全重合，因此不能判定全等，故本题错误。
（2）根据全等三角形的ASA（角边角）和AAS（角角边）判定定理，要求是两个角及一条边对应相等，题干仅说明边相等，未说明是对应边，比如一个三角形的两角夹边和另一个三角形的非夹边相等时，两个三角形无法重合，因此不能判定全等，故本题错误。
（3）直角三角形已经有一组直角相等，加上一个锐角相等后，两个三角形的三个角都对应相等，但题干仅说明一条边相等，未说明是对应边，比如一个直角三角形的直角边等于另一个直角三角形的斜边时，两个三角形无法重合，因此不能判定全等，故本题错误。
【答案】
（1）×；（2）×；（3）×
【知识点】
全等三角形的判定；对应相等的要求；直角三角形全等判定
【点评】
本题是全等三角形判定的经典易错题，核心考查对判定条件中“对应相等”的理解，很多同学容易忽略“对应”二字，只看数量上的相等就判定全等，做题时要注意仔细核对条件是否满足对应要求。
【难度系数】
0.6

3. 如图，AD是$△ ABC$的角平分线.
（1）如果再具备条件________，那么可以根据“SAS”得到$△ ABD≌△ ACD$；
（2）如果再具备条件________，那么可以根据“ASA”得到$△ ABD≌△ ACD$；
（3）如果再具备条件________，那么可以根据“AAS”得到$△ ABD≌△ ACD$.

解：
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，且AD为△ABD和△ACD的公共边。
（1）要满足SAS判定全等，需添加条件：$\boldsymbol{AB=AC}$；
（2）要满足ASA判定全等，需添加条件：$\boldsymbol{∠ ADB=∠ ADC}$；
（3）要满足AAS判定全等，需添加条件：$\boldsymbol{∠ B=∠ C}$。

【分析】
首先由AD是△ABC的角平分线，可得∠BAD=∠CAD，同时AD是△ABD和△ACD的公共边，即AD=AD，此时两个三角形已经具备一组角相等、一组边相等的条件。接下来结合不同的全等判定定理，补充缺失的条件即可：
1. 要使用“SAS”判定全等，需要两边及其夹角对应相等，已知夹角∠BAD=∠CAD，夹边一组AD=AD，还缺另一组夹边AB=AC；
2. 要使用“ASA”判定全等，需要两角及其夹边对应相等，已知夹边AD=AD，一组角∠BAD=∠CAD，还缺另一组以AD为边的角相等，即∠ADB=∠ADC；
3. 要使用“AAS”判定全等，需要两角及其中一角的对边对应相等，已知一组角∠BAD=∠CAD，一组边AD=AD，还缺另一组角对应相等，即∠B=∠C。
【解析】
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD，且AD为△ABD和△ACD的公共边，即AD=AD。
（1）根据“SAS”判定定理：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，已有夹角∠BAD=∠CAD，夹边AD=AD，因此添加条件AB=AC，即可满足SAS判定要求；
（2）根据“ASA”判定定理：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，已有夹边AD=AD，一组角∠BAD=∠CAD，因此添加条件∠ADB=∠ADC，即可满足ASA判定要求；
（3）根据“AAS”判定定理：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，已有一组角∠BAD=∠CAD，边AD=AD，因此添加条件∠B=∠C，即可满足AAS判定要求。
【答案】
（1）$\boldsymbol{AB=AC}$
（2）$\boldsymbol{∠ADB=∠ADC}$
（3）$\boldsymbol{∠B=∠C}$
【知识点】
角平分线的定义；全等三角形的判定
【点评】
本题属于全等三角形判定的条件开放类题目，核心是先明确两个三角形已有的相等元素，再对应不同的全等判定定理补全缺少的条件，能够很好地考查学生对全等判定定理的理解和区分应用能力。
【难度系数】
0.8