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4. 如图，AB=AD，∠C=∠E，且∠BAE=∠DAC. 求证：△ABC≌△ADE. 
（第4题）
（第4题）答案
证明：
∵ ∠BAE = ∠DAC，
∴ ∠BAE + ∠EAC = ∠DAC + ∠EAC，
即 ∠BAC = ∠DAE。
在△ABC和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠E, \\∠BAC = ∠DAE, \\AB = AD,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ADE（AAS）。
∵ ∠BAE = ∠DAC，
∴ ∠BAE + ∠EAC = ∠DAC + ∠EAC，
即 ∠BAC = ∠DAE。
在△ABC和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠E, \\∠BAC = ∠DAE, \\AB = AD,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ADE（AAS）。
解析
【分析】
要证明△ABC≌△ADE，先梳理已知条件：已知AB=AD，∠C=∠E，还需一组对应角相等即可满足全等判定条件。观察题目给出的∠BAE=∠DAC，这两个角同时加上公共角∠EAC，即可推导出两个三角形的对应角∠BAC=∠DAE，凑齐AAS判定的三个条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠BAE = ∠DAC，
∴ ∠BAE + ∠EAC = ∠DAC + ∠EAC，
即 ∠BAC = ∠DAE。
在△ABC和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠E, \\∠BAC = ∠DAE, \\AB = AD,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ADE（AAS）。
【答案】
证明过程如上，△ABC≌△ADE成立。
【知识点】
1. 角的和差计算
2. 全等三角形AAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题核心是通过角的和差关系推导相等的对应角，再结合已知条件用AAS定理完成证明，要求熟练掌握全等判定定理，能准确观察图形中角的位置关系。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC≌△ADE，先梳理已知条件：已知AB=AD，∠C=∠E，还需一组对应角相等即可满足全等判定条件。观察题目给出的∠BAE=∠DAC，这两个角同时加上公共角∠EAC，即可推导出两个三角形的对应角∠BAC=∠DAE，凑齐AAS判定的三个条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠BAE = ∠DAC，
∴ ∠BAE + ∠EAC = ∠DAC + ∠EAC，
即 ∠BAC = ∠DAE。
在△ABC和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠E, \\∠BAC = ∠DAE, \\AB = AD,\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ADE（AAS）。
【答案】
证明过程如上，△ABC≌△ADE成立。
【知识点】
1. 角的和差计算
2. 全等三角形AAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，解题核心是通过角的和差关系推导相等的对应角，再结合已知条件用AAS定理完成证明，要求熟练掌握全等判定定理，能准确观察图形中角的位置关系。
【难度系数】
0.8
5. 如图，$AD// BC$，$∠ BAD=90°$，以点$B$为圆心，$BC$长为半径画弧，与$AD$相交于点$E$，连接$BE$，过点$C$作$CF⊥ BE$，垂足为$F$. 线段$BF$与图中已有的哪一条线段相等？将猜想出的结论填写在下面的横线上并证明.
结论：$BF=\_\_\_\_\_\_$.
结论：$BF=\_\_\_\_\_\_$.
答案
结论：$BF=\boldsymbol{AE}$。
证明：
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ AEB = ∠ CBE$。
∵ $CF⊥ BE$，$∠ BAD=90°$，
∴ $∠ A = ∠ CFB = 90°$。
由作图过程可知，$BE = BC$。
在$△ ABE$和$△ FCB$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ CFB \\∠ AEB = ∠ FBC \\BE = CB\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ FCB$（AAS），
∴ $BF = AE$。
证明：
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ AEB = ∠ CBE$。
∵ $CF⊥ BE$，$∠ BAD=90°$，
∴ $∠ A = ∠ CFB = 90°$。
由作图过程可知，$BE = BC$。
在$△ ABE$和$△ FCB$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ CFB \\∠ AEB = ∠ FBC \\BE = CB\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ FCB$（AAS），
∴ $BF = AE$。
解析
【分析】
要判断BF与哪条线段相等，可结合已知条件寻找全等三角形：首先由AD//BC可得到一组内错角相等，∠BAD=90°和CF⊥BE可得到一组直角相等，再根据作图可知BE=BC（同圆的半径相等），满足AAS全等判定的条件，证明△ABE和△FCB全等后，根据对应边相等即可得到BF的相等线段。
【解析】
结论：$BF=AE$，证明如下：
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ AEB = ∠ CBE$。
∵ $CF⊥ BE$，$∠ BAD=90°$，
∴ $∠ A = ∠ CFB = 90°$。
由作图过程可知，$BE = BC$。
在$△ ABE$和$△ FCB$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ CFB \\∠ AEB = ∠ FBC \\BE = CB\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ FCB$（AAS），
∴ $BF = AE$。
【答案】
$AE$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是结合已知条件挖掘全等的判定要素，通过证明三角形全等得到对应边相等，考查了几何图形中角、边关系的推导能力。
【难度系数】
0.7
要判断BF与哪条线段相等，可结合已知条件寻找全等三角形：首先由AD//BC可得到一组内错角相等，∠BAD=90°和CF⊥BE可得到一组直角相等，再根据作图可知BE=BC（同圆的半径相等），满足AAS全等判定的条件，证明△ABE和△FCB全等后，根据对应边相等即可得到BF的相等线段。
【解析】
结论：$BF=AE$，证明如下：
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ AEB = ∠ CBE$。
∵ $CF⊥ BE$，$∠ BAD=90°$，
∴ $∠ A = ∠ CFB = 90°$。
由作图过程可知，$BE = BC$。
在$△ ABE$和$△ FCB$中，
$\begin{cases}∠ A = ∠ CFB \\∠ AEB = ∠ FBC \\BE = CB\end{cases}$
∴ $△ ABE ≌ △ FCB$（AAS），
∴ $BF = AE$。
【答案】
$AE$
【知识点】
平行线的性质；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是结合已知条件挖掘全等的判定要素，通过证明三角形全等得到对应边相等，考查了几何图形中角、边关系的推导能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，$AD$是$∠ BAC$的平分线，点$E$，$F$分别在边$AB$，$AC$上，$∠ AED=∠ CFD$. 求证：$DE=DF$.
答案
证明：
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N。
∵ AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ DM = DN，∠DME = ∠DNF = 90°。
在△DME和△DNF中，
$\{\begin{array}{l}∠AED = ∠CFD \\∠DME = ∠DNF \\DM = DN\end{array} $
∴ △DME ≌ △DNF（AAS），
∴ DE = DF。
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N。
∵ AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ DM = DN，∠DME = ∠DNF = 90°。
在△DME和△DNF中，
$\{\begin{array}{l}∠AED = ∠CFD \\∠DME = ∠DNF \\DM = DN\end{array} $
∴ △DME ≌ △DNF（AAS），
∴ DE = DF。
解析
【分析】
要证明DE=DF，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知AD是∠BAC的平分线，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，即可得到DM=DN，且∠DME=∠DNF=90°，再结合题目给出的∠AED=∠CFD的条件，可利用AAS判定△DME和△DNF全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到DE=DF。
【解析】
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N。
∵ AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ DM = DN，∠DME = ∠DNF = 90°。
在△DME和△DNF中：
$\{\begin{array}{l}∠AED = ∠CFD \\∠DME = ∠DNF \\DM = DN\end{array} $
∴ △DME ≌ △DNF（AAS），
∴ DE = DF。
【答案】
DE=DF
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题关键是结合角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定定理和常见辅助线作法是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
要证明DE=DF，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。已知AD是∠BAC的平分线，首先联想到角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，因此过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，即可得到DM=DN，且∠DME=∠DNF=90°，再结合题目给出的∠AED=∠CFD的条件，可利用AAS判定△DME和△DNF全等，最后根据全等三角形对应边相等即可得到DE=DF。
【解析】
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N。
∵ AD是∠BAC的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴ DM = DN，∠DME = ∠DNF = 90°。
在△DME和△DNF中：
$\{\begin{array}{l}∠AED = ∠CFD \\∠DME = ∠DNF \\DM = DN\end{array} $
∴ △DME ≌ △DNF（AAS），
∴ DE = DF。
【答案】
DE=DF
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形AAS判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题，解题关键是结合角平分线的性质作辅助线构造全等三角形，熟练掌握全等三角形的判定定理和常见辅助线作法是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
7. 如图，$∠ D=∠ BAC=∠ E$，$AB=AC$. 探索$DE$，$BD$，$CE$之间的长度关系，并说明理由.
答案
解：$DE=BD+CE$，理由如下：
∵ $∠ DBA + ∠ D + ∠ DAB = 180°$，
$∠ DAB + ∠ BAC + ∠ CAE = 180°$，
又∵ $∠ D = ∠ BAC$，
∴ $∠ DBA = ∠ CAE$。
在$△ BDA$和$△ AEC$中，
$\begin{cases}∠ D = ∠ E \\∠ DBA = ∠ CAE \\AB = AC\end{cases}$
∴ $△ BDA ≌ △ AEC$（AAS）。
∴ $BD = AE$，$AD = CE$。
∵ $DE = AD + AE$，
∴ $DE = BD + CE$。
∵ $∠ DBA + ∠ D + ∠ DAB = 180°$，
$∠ DAB + ∠ BAC + ∠ CAE = 180°$，
又∵ $∠ D = ∠ BAC$，
∴ $∠ DBA = ∠ CAE$。
在$△ BDA$和$△ AEC$中，
$\begin{cases}∠ D = ∠ E \\∠ DBA = ∠ CAE \\AB = AC\end{cases}$
∴ $△ BDA ≌ △ AEC$（AAS）。
∴ $BD = AE$，$AD = CE$。
∵ $DE = AD + AE$，
∴ $DE = BD + CE$。
解析
【分析】
要探索DE、BD、CE的长度关系，首先观察图形特征，已知$∠ D=∠ E=∠ BAC$且$AB=AC$，可尝试通过证明三角形全等得到对应边的关系。第一步，利用三角形内角和为$180°$、平角为$180°$的性质，推导$∠ DBA$与$∠ CAE$相等，得到全等所需的第三个角相等的条件；第二步，用AAS判定$△ BDA$和$△ AEC$全等，得到对应边相等；第三步，将$DE$拆分为$AD+AE$，用全等得到的对应边替换，即可推导出三条线段的数量关系。
【解析】
解：$DE=BD+CE$，理由如下：
∵ 在$△ BDA$中，$∠ DBA + ∠ D + ∠ DAB = 180°$，
又
∵ 点D、A、E共线，$∠ DAB + ∠ BAC + ∠ CAE = 180°$，
已知$∠ D = ∠ BAC$，
∴ $∠ DBA = ∠ CAE$。
在$△ BDA$和$△ AEC$中：
$\begin{cases}∠D = ∠E \\∠DBA = ∠CAE \\AB = AC\end{cases}$
∴ $△ BDA ≌ △ AEC$（AAS）。
由全等三角形的性质可得：$BD = AE$，$AD = CE$。
∵ $DE = AD + AE$，
将$AD=CE$、$AE=BD$代入得：$DE = BD + CE$。
【答案】
$DE=BD+CE$
【知识点】
三角形内角和定理，全等三角形的AAS判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的典型基础题型，解题核心是通过角的等量代换得到全等的判定条件，再利用全等三角形对应边相等完成线段的转化，掌握这类“一线三等角”的几何模型可快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.7
要探索DE、BD、CE的长度关系，首先观察图形特征，已知$∠ D=∠ E=∠ BAC$且$AB=AC$，可尝试通过证明三角形全等得到对应边的关系。第一步，利用三角形内角和为$180°$、平角为$180°$的性质，推导$∠ DBA$与$∠ CAE$相等，得到全等所需的第三个角相等的条件；第二步，用AAS判定$△ BDA$和$△ AEC$全等，得到对应边相等；第三步，将$DE$拆分为$AD+AE$，用全等得到的对应边替换，即可推导出三条线段的数量关系。
【解析】
解：$DE=BD+CE$，理由如下：
∵ 在$△ BDA$中，$∠ DBA + ∠ D + ∠ DAB = 180°$，
又
∵ 点D、A、E共线，$∠ DAB + ∠ BAC + ∠ CAE = 180°$，
已知$∠ D = ∠ BAC$，
∴ $∠ DBA = ∠ CAE$。
在$△ BDA$和$△ AEC$中：
$\begin{cases}∠D = ∠E \\∠DBA = ∠CAE \\AB = AC\end{cases}$
∴ $△ BDA ≌ △ AEC$（AAS）。
由全等三角形的性质可得：$BD = AE$，$AD = CE$。
∵ $DE = AD + AE$，
将$AD=CE$、$AE=BD$代入得：$DE = BD + CE$。
【答案】
$DE=BD+CE$
【知识点】
三角形内角和定理，全等三角形的AAS判定，全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形应用的典型基础题型，解题核心是通过角的等量代换得到全等的判定条件，再利用全等三角形对应边相等完成线段的转化，掌握这类“一线三等角”的几何模型可快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.7
