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3. (1) 如图,已知$AB=AC$,只需补充条件,就可以根据“ASA”证明$△ ABE≌△ ACD$.
[第3(1)题]
(2) 如图,$AB// CF$,$E$是$DF$的中点,$AB=7\ \mathrm{cm}$,$CF=4\ \mathrm{cm}$,则$BD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
[第3(2)题]
[第3(1)题]
(2) 如图,$AB// CF$,$E$是$DF$的中点,$AB=7\ \mathrm{cm}$,$CF=4\ \mathrm{cm}$,则$BD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
[第3(2)题]
答案
(1) $\boldsymbol{∠B=∠C}$；(2) $\boldsymbol{3}$。
解析
【分析】
(1) 要利用“ASA”证明△ABE≌△ACD，先梳理现有条件：已知AB=AC，两个三角形有公共角∠A=∠A。ASA判定要求两角及其夹边对应相等，AB是∠A和∠B的夹边，AC是∠A和∠C的夹边，因此只需补充夹边的另一组对应角相等即可。
(2) 先根据平行线的性质得到一组内错角相等，结合E是DF中点得到对应边相等，再加对顶角相等，可通过ASA证明△ADE≌△CFE，利用全等三角形对应边相等得到AD的长度，再用AB的长度减去AD的长度即可求出BD的长。
【解析】
(1) 在△ABE和△ACD中：
已知AB=AC，∠A=∠A（公共角），若补充∠B=∠C，则满足“两角及其夹边对应相等”的ASA判定条件，可证明△ABE≌△ACD，因此补充条件为∠B=∠C。
(2)
∵AB//CF，
∴∠ADE=∠F（两直线平行，内错角相等）
∵E是DF的中点，
∴DE=FE
在△ADE和△CFE中：
$\{\begin{array}{l}∠ADE=∠F \\DE=FE \\∠AED=∠CEF（对顶角相等）\end{array} $
∴△ADE≌△CFE（ASA）
∴AD=CF=4cm
∵AB=7cm，
∴BD=AB-AD=7-4=3cm
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B=∠C}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
1. ASA判定三角形全等
2. 平行线的性质
3. 全等三角形的性质
【点评】
这两道题是全等三角形ASA判定的基础应用题型，第一问需要准确掌握全等判定定理的构成要素，对应查找缺失的条件；第二问需要结合平行线、对顶角的性质推导全等所需的条件，再利用全等性质计算线段长度，侧重对基础知识点的理解和运用。
【难度系数】
0.8
(1) 要利用“ASA”证明△ABE≌△ACD，先梳理现有条件：已知AB=AC，两个三角形有公共角∠A=∠A。ASA判定要求两角及其夹边对应相等，AB是∠A和∠B的夹边，AC是∠A和∠C的夹边，因此只需补充夹边的另一组对应角相等即可。
(2) 先根据平行线的性质得到一组内错角相等，结合E是DF中点得到对应边相等，再加对顶角相等，可通过ASA证明△ADE≌△CFE，利用全等三角形对应边相等得到AD的长度，再用AB的长度减去AD的长度即可求出BD的长。
【解析】
(1) 在△ABE和△ACD中：
已知AB=AC，∠A=∠A（公共角），若补充∠B=∠C，则满足“两角及其夹边对应相等”的ASA判定条件，可证明△ABE≌△ACD，因此补充条件为∠B=∠C。
(2)
∵AB//CF，
∴∠ADE=∠F（两直线平行，内错角相等）
∵E是DF的中点，
∴DE=FE
在△ADE和△CFE中：
$\{\begin{array}{l}∠ADE=∠F \\DE=FE \\∠AED=∠CEF（对顶角相等）\end{array} $
∴△ADE≌△CFE（ASA）
∴AD=CF=4cm
∵AB=7cm，
∴BD=AB-AD=7-4=3cm
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B=∠C}$；(2) $\boldsymbol{3}$
【知识点】
1. ASA判定三角形全等
2. 平行线的性质
3. 全等三角形的性质
【点评】
这两道题是全等三角形ASA判定的基础应用题型，第一问需要准确掌握全等判定定理的构成要素，对应查找缺失的条件；第二问需要结合平行线、对顶角的性质推导全等所需的条件，再利用全等性质计算线段长度，侧重对基础知识点的理解和运用。
【难度系数】
0.8
4. 已知:如图,$∠ 1=∠ 2$,$∠ 3=∠ 4$.求证:$AC=AD$.
答案
证明：
∵ ∠3=∠4，
∴ 180°−∠3=180°−∠4，
即 ∠ABD=∠ABC。
在△ABD和△ABC中，
$\{\begin{array}{l}∠1=∠2, \\AB=AB, \\∠ABD=∠ABC,\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ABC（ASA），
∴ AC=AD。
∵ ∠3=∠4，
∴ 180°−∠3=180°−∠4，
即 ∠ABD=∠ABC。
在△ABD和△ABC中，
$\{\begin{array}{l}∠1=∠2, \\AB=AB, \\∠ABD=∠ABC,\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ABC（ASA），
∴ AC=AD。
解析
【分析】
要证明线段AC=AD，通常可证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知AC、AD分别在△ABC和△ABD中，因此只需证△ABC≌△ABD即可。已知∠1=∠2，且AB是两个三角形的公共边，还缺少一组对应角相等的条件；结合已知∠3=∠4，根据等角的补角相等可推出∠ABD=∠ABC，刚好满足角边角（ASA）的全等判定条件，证得两三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到AC=AD。
【解析】
证明：
∵ ∠3=∠4，
∴ 180°−∠3=180°−∠4，
即 ∠ABD=∠ABC。
在△ABD和△ABC中，
$\{\begin{array}{l}∠1=∠2, \\AB=AB, \\∠ABD=∠ABC,\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ABC（ASA），
∴ AC=AD。
【答案】
证明：
∵ ∠3=∠4，
∴ 180°−∠3=180°−∠4，
即 ∠ABD=∠ABC。
在△ABD和△ABC中，
$\{\begin{array}{l}∠1=∠2, \\AB=AB, \\∠ABD=∠ABC,\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ABC（ASA），
∴ AC=AD。
【知识点】
ASA判定三角形全等；邻补角的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题关键是通过等角的补角相等得到全等所需的一组对应角相等，结合已知角相等和公共边即可判定三角形全等，进而得到对应边相等，侧重考查学生对全等判定和性质的基础运用能力。
【难度系数】
0.8
要证明线段AC=AD，通常可证明两条线段所在的三角形全等。观察图形可知AC、AD分别在△ABC和△ABD中，因此只需证△ABC≌△ABD即可。已知∠1=∠2，且AB是两个三角形的公共边，还缺少一组对应角相等的条件；结合已知∠3=∠4，根据等角的补角相等可推出∠ABD=∠ABC，刚好满足角边角（ASA）的全等判定条件，证得两三角形全等后，根据全等三角形对应边相等即可得到AC=AD。
【解析】
证明：
∵ ∠3=∠4，
∴ 180°−∠3=180°−∠4，
即 ∠ABD=∠ABC。
在△ABD和△ABC中，
$\{\begin{array}{l}∠1=∠2, \\AB=AB, \\∠ABD=∠ABC,\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ABC（ASA），
∴ AC=AD。
【答案】
证明：
∵ ∠3=∠4，
∴ 180°−∠3=180°−∠4，
即 ∠ABD=∠ABC。
在△ABD和△ABC中，
$\{\begin{array}{l}∠1=∠2, \\AB=AB, \\∠ABD=∠ABC,\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ABC（ASA），
∴ AC=AD。
【知识点】
ASA判定三角形全等；邻补角的性质；全等三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题，解题关键是通过等角的补角相等得到全等所需的一组对应角相等，结合已知角相等和公共边即可判定三角形全等，进而得到对应边相等，侧重考查学生对全等判定和性质的基础运用能力。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在△ABC和△ADE中，点E在BC上，∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，AB=AD.
（1）求证：△ABC≌△ADE.
（2）已知∠BED=25°，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个锐角的度数.
（1）求证：△ABC≌△ADE.
（2）已知∠BED=25°，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个锐角的度数.
答案
证明：(1) 在△ABC和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}∠ BAC = ∠ DAE \\AB = AD \\∠ B = ∠ D\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ADE（ASA）。
(2) 解：由△ABC ≌ △ADE，得∠AED = ∠C。
∵ 点E在BC上，
∴ ∠BED + ∠AED + ∠AEC = 180°。
在△AEC中，∠C + ∠EAC + ∠AEC = 180°，
∴ ∠EAC = ∠BED = 25°。
∵ 将△ADE绕点A按逆时针方向旋转一个锐角后与△ABC重合，对应边AE旋转至AC，旋转角为∠EAC，
∴ 这个锐角的度数为25°。
$\{\begin{array}{l}∠ BAC = ∠ DAE \\AB = AD \\∠ B = ∠ D\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ADE（ASA）。
(2) 解：由△ABC ≌ △ADE，得∠AED = ∠C。
∵ 点E在BC上，
∴ ∠BED + ∠AED + ∠AEC = 180°。
在△AEC中，∠C + ∠EAC + ∠AEC = 180°，
∴ ∠EAC = ∠BED = 25°。
∵ 将△ADE绕点A按逆时针方向旋转一个锐角后与△ABC重合，对应边AE旋转至AC，旋转角为∠EAC，
∴ 这个锐角的度数为25°。
解析
【分析】
（1）要证明△ABC≌△ADE，先梳理题干给出的条件：已知两组对应角相等∠BAC=∠DAE、∠B=∠D，还有一组对应边相等AB=AD，且AB是∠BAC和∠B的夹边，AD是∠DAE和∠D的夹边，完全符合“角边角（ASA）”的全等判定条件，直接代入判定即可完成证明。
（2）求旋转的锐角度数，首先明确旋转角的定义：旋转前后对应边与旋转中心连线的夹角就是旋转角，本题中△ADE旋转后与△ABC重合，边AE的对应边是AC，因此旋转角为∠EAC。再利用全等三角形对应角相等的性质得到∠AED=∠C，结合平角定义和三角形内角和定理，通过等量代换即可推出∠EAC和已知的∠BED相等，即可得到旋转角的度数。
【解析】
(1) 证明：在△ABC和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}∠BAC = ∠DAE \\AB = AD \\∠B = ∠D\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ADE（ASA）。
(2) 解：由△ABC ≌ △ADE，得∠AED = ∠C。
∵ 点E在BC上，
∴ ∠BED + ∠AED + ∠AEC = 180°（平角的定义）。
在△AEC中，根据三角形内角和定理可得：∠C + ∠EAC + ∠AEC = 180°，
对比两个等式，消去∠AEC和相等的∠AED、∠C，可得∠EAC = ∠BED = 25°。
∵ 将△ADE绕点A按逆时针方向旋转一个锐角后与△ABC重合，AE的对应边为AC，旋转角为∠EAC，
∴ 这个锐角的度数为25°。
【答案】
（1）△ABC≌△ADE得证；
（2）$\boxed{25°}$
【知识点】
ASA判定全等三角形，全等三角形的性质，旋转的性质
【点评】
本题是全等三角形和旋转结合的基础题型，解题关键是准确识别全等的对应条件、找准旋转的对应边，通过角的等量代换即可推导出结果，属于几何部分的常规考查题。
【难度系数】
0.8
（1）要证明△ABC≌△ADE，先梳理题干给出的条件：已知两组对应角相等∠BAC=∠DAE、∠B=∠D，还有一组对应边相等AB=AD，且AB是∠BAC和∠B的夹边，AD是∠DAE和∠D的夹边，完全符合“角边角（ASA）”的全等判定条件，直接代入判定即可完成证明。
（2）求旋转的锐角度数，首先明确旋转角的定义：旋转前后对应边与旋转中心连线的夹角就是旋转角，本题中△ADE旋转后与△ABC重合，边AE的对应边是AC，因此旋转角为∠EAC。再利用全等三角形对应角相等的性质得到∠AED=∠C，结合平角定义和三角形内角和定理，通过等量代换即可推出∠EAC和已知的∠BED相等，即可得到旋转角的度数。
【解析】
(1) 证明：在△ABC和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}∠BAC = ∠DAE \\AB = AD \\∠B = ∠D\end{array} $
∴ △ABC ≌ △ADE（ASA）。
(2) 解：由△ABC ≌ △ADE，得∠AED = ∠C。
∵ 点E在BC上，
∴ ∠BED + ∠AED + ∠AEC = 180°（平角的定义）。
在△AEC中，根据三角形内角和定理可得：∠C + ∠EAC + ∠AEC = 180°，
对比两个等式，消去∠AEC和相等的∠AED、∠C，可得∠EAC = ∠BED = 25°。
∵ 将△ADE绕点A按逆时针方向旋转一个锐角后与△ABC重合，AE的对应边为AC，旋转角为∠EAC，
∴ 这个锐角的度数为25°。
【答案】
（1）△ABC≌△ADE得证；
（2）$\boxed{25°}$
【知识点】
ASA判定全等三角形，全等三角形的性质，旋转的性质
【点评】
本题是全等三角形和旋转结合的基础题型，解题关键是准确识别全等的对应条件、找准旋转的对应边，通过角的等量代换即可推导出结果，属于几何部分的常规考查题。
【难度系数】
0.8
