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如图3-9，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，设BC=a，AC=b，AB=c，CD=h，AD=m，DB=n.你能尝试写出这些线段之间的数量关系吗？
图3-9
图3-9
答案
解：
1. 由线段和关系可得：$m + n = c$
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$
3. 由直角三角形面积公式，$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$，化简得：$ab = ch$
4. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$b^2 = m^2 + h^2$
5. 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：$a^2 = n^2 + h^2$
将$a^2 = n^2 + h^2$、$b^2 = m^2 + h^2$代入$a^2 + b^2 = (m+n)^2$，得：
$n^2 + h^2 + m^2 + h^2 = m^2 + 2mn + n^2$
化简得：$h^2 = mn$
将$h^2 = mn$代入$a^2 = n^2 + h^2$，得：
$a^2 = n^2 + mn = n(m+n) = cn$
即$a^2 = cn$，同理可得：$b^2 = cm$
由$ab=ch$得$h=\frac{ab}{c}$，代入推导得：
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2b^2} = \frac{c^2}{c^2h^2} = \frac{1}{h^2}$
即$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$
综上，这些线段的数量关系为：
$\boldsymbol{m+n=c}$，$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$，$\boldsymbol{ab=ch}$，$\boldsymbol{a^2=cn}$，$\boldsymbol{b^2=cm}$，$\boldsymbol{h^2=mn}$，$\boldsymbol{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}}$。
1. 由线段和关系可得：$m + n = c$
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2$
3. 由直角三角形面积公式，$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$，化简得：$ab = ch$
4. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$b^2 = m^2 + h^2$
5. 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：$a^2 = n^2 + h^2$
将$a^2 = n^2 + h^2$、$b^2 = m^2 + h^2$代入$a^2 + b^2 = (m+n)^2$，得：
$n^2 + h^2 + m^2 + h^2 = m^2 + 2mn + n^2$
化简得：$h^2 = mn$
将$h^2 = mn$代入$a^2 = n^2 + h^2$，得：
$a^2 = n^2 + mn = n(m+n) = cn$
即$a^2 = cn$，同理可得：$b^2 = cm$
由$ab=ch$得$h=\frac{ab}{c}$，代入推导得：
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2b^2} = \frac{c^2}{c^2h^2} = \frac{1}{h^2}$
即$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$
综上，这些线段的数量关系为：
$\boldsymbol{m+n=c}$，$\boldsymbol{a^2+b^2=c^2}$，$\boldsymbol{ab=ch}$，$\boldsymbol{a^2=cn}$，$\boldsymbol{b^2=cm}$，$\boldsymbol{h^2=mn}$，$\boldsymbol{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}}$。
解析
【分析】
解题时可按照从直观到复杂、从几何性质到代数变形的思路逐步推导：①首先观察斜边AB的组成，直接得到线段和的关系；②图中共有3个直角三角形（Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△BCD），都满足勾股定理，可分别对三个三角形列勾股定理的等式；③利用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）得到新的等式；④将得到的多个等式通过代入、化简等代数变形，就能推导出更多线段之间的数量关系。
【解析】
1. 由线段和的定义，斜边AB由AD和DB组成，可得：$m + n = c$
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，得：$a^2 + b^2 = c^2$
3. 计算$△ ABC$的面积有两种方式：以AC、BC为底和高，面积为$\frac{1}{2}ab$；以AB、CD为底和高，面积为$\frac{1}{2}ch$。两种方式计算的面积相等，即$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$，化简得：$ab = ch$
4. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$b^2 = m^2 + h^2$；在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：$a^2 = n^2 + h^2$
5. 将$a^2 = n^2 + h^2$、$b^2 = m^2 + h^2$代入$a^2 + b^2 = c^2=(m+n)^2$，得：
$n^2 + h^2 + m^2 + h^2 = m^2 + 2mn + n^2$
两边消去$m^2$、$n^2$，化简得：$h^2 = mn$
6. 将$h^2 = mn$代入$a^2 = n^2 + h^2$，得：
$a^2 = n^2 + mn = n(m+n) = nc$，即$a^2 = cn$
同理，将$h^2 = mn$代入$b^2 = m^2 + h^2$可推得：$b^2 = cm$
7. 对$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$通分计算，结合上面的结论推导：
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2b^2}$，将$a^2+b^2=c^2$、$ab=ch$即$a^2b^2=c^2h^2$代入，得：
$\frac{c^2}{c^2h^2} = \frac{1}{h^2}$，即$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$
【答案】
$m+n=c$，$a^2+b^2=c^2$，$ab=ch$，$a^2=cn$，$b^2=cm$，$h^2=mn$，$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$
【知识点】
勾股定理，直角三角形面积计算，代数恒等变形
【点评】
本题是直角三角形斜边上高相关线段关系的经典推导题，将几何性质与代数变形结合，既考查了勾股定理、面积法的应用，也锻炼了等式化简推导的能力，推导得到的结论在解决相关直角三角形的问题中可直接使用，能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
解题时可按照从直观到复杂、从几何性质到代数变形的思路逐步推导：①首先观察斜边AB的组成，直接得到线段和的关系；②图中共有3个直角三角形（Rt△ABC、Rt△ACD、Rt△BCD），都满足勾股定理，可分别对三个三角形列勾股定理的等式；③利用直角三角形面积的两种计算方式（两直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）得到新的等式；④将得到的多个等式通过代入、化简等代数变形，就能推导出更多线段之间的数量关系。
【解析】
1. 由线段和的定义，斜边AB由AD和DB组成，可得：$m + n = c$
2. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，得：$a^2 + b^2 = c^2$
3. 计算$△ ABC$的面积有两种方式：以AC、BC为底和高，面积为$\frac{1}{2}ab$；以AB、CD为底和高，面积为$\frac{1}{2}ch$。两种方式计算的面积相等，即$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$，化简得：$ab = ch$
4. 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$b^2 = m^2 + h^2$；在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得：$a^2 = n^2 + h^2$
5. 将$a^2 = n^2 + h^2$、$b^2 = m^2 + h^2$代入$a^2 + b^2 = c^2=(m+n)^2$，得：
$n^2 + h^2 + m^2 + h^2 = m^2 + 2mn + n^2$
两边消去$m^2$、$n^2$，化简得：$h^2 = mn$
6. 将$h^2 = mn$代入$a^2 = n^2 + h^2$，得：
$a^2 = n^2 + mn = n(m+n) = nc$，即$a^2 = cn$
同理，将$h^2 = mn$代入$b^2 = m^2 + h^2$可推得：$b^2 = cm$
7. 对$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$通分计算，结合上面的结论推导：
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2b^2}$，将$a^2+b^2=c^2$、$ab=ch$即$a^2b^2=c^2h^2$代入，得：
$\frac{c^2}{c^2h^2} = \frac{1}{h^2}$，即$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$
【答案】
$m+n=c$，$a^2+b^2=c^2$，$ab=ch$，$a^2=cn$，$b^2=cm$，$h^2=mn$，$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$
【知识点】
勾股定理，直角三角形面积计算，代数恒等变形
【点评】
本题是直角三角形斜边上高相关线段关系的经典推导题，将几何性质与代数变形结合，既考查了勾股定理、面积法的应用，也锻炼了等式化简推导的能力，推导得到的结论在解决相关直角三角形的问题中可直接使用，能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.6
例 古希腊数学家海伦在解决三角形面积计算问题时，提出了著名的海伦公式：已知三角形三边的长度$a,b,c$，令半周长 $p=\frac{a+b+c}{2}$，则三角形面积 $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$。中国南宋数学家秦九韶也独立推导出了类似公式——三斜求积术。秦九韶从三角形三边的长出发，运用勾股定理构造出了可以计算三角形面积的公式，与海伦公式本质相同。因此，海伦公式又被称为海伦—秦九韶公式。你能从上述描述中，运用勾股定理推导出海伦—秦九韶公式吗？
答案
解：
在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，则DC=a-x，AD=h。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$h^2 = c^2 - x^2$
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$h^2 = b^2 - (a-x)^2$
联立两式得：
$c^2 - x^2 = b^2 - (a-x)^2$
展开整理：
$c^2 - x^2 = b^2 - a^2 + 2ax - x^2$
消去$-x^2$，解得：
$x=\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a}$
将x代入$h^2 = c^2 - x^2$，由平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}h^2&=c^2 - (\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a})^2\\&=(c - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a})(c + \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a})\\&=\frac{2ac - a^2 - c^2 + b^2}{2a} · \frac{2ac + a^2 + c^2 - b^2}{2a}\\&=\frac{[b^2 - (a-c)^2][(a+c)^2 - b^2]}{4a^2}\\&=\frac{(b - a + c)(b + a - c)(a + c - b)(a + b + c)}{4a^2}\end{aligned}$
由半周长定义$p=\frac{a+b+c}{2}$，可得：
$a+b+c=2p$，$b+c-a=2(p-a)$，$a+b-c=2(p-c)$，$a+c-b=2(p-b)$
代入上式：
$\begin{aligned}h^2&=\frac{2(p-a) · 2(p-c) · 2(p-b) · 2p}{4a^2}\\&=\frac{16p(p-a)(p-b)(p-c)}{4a^2}\\&=\frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2}\end{aligned}$
因此$h=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}$
三角形面积$S=\frac{1}{2} · a · h$，代入h得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2} · a · \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}\\&=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\end{aligned}$
海伦—秦九韶公式推导完成。
在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，过点A作AD⊥BC于点D，设BD=x，则DC=a-x，AD=h。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$h^2 = c^2 - x^2$
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$h^2 = b^2 - (a-x)^2$
联立两式得：
$c^2 - x^2 = b^2 - (a-x)^2$
展开整理：
$c^2 - x^2 = b^2 - a^2 + 2ax - x^2$
消去$-x^2$，解得：
$x=\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a}$
将x代入$h^2 = c^2 - x^2$，由平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}h^2&=c^2 - (\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a})^2\\&=(c - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a})(c + \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a})\\&=\frac{2ac - a^2 - c^2 + b^2}{2a} · \frac{2ac + a^2 + c^2 - b^2}{2a}\\&=\frac{[b^2 - (a-c)^2][(a+c)^2 - b^2]}{4a^2}\\&=\frac{(b - a + c)(b + a - c)(a + c - b)(a + b + c)}{4a^2}\end{aligned}$
由半周长定义$p=\frac{a+b+c}{2}$，可得：
$a+b+c=2p$，$b+c-a=2(p-a)$，$a+b-c=2(p-c)$，$a+c-b=2(p-b)$
代入上式：
$\begin{aligned}h^2&=\frac{2(p-a) · 2(p-c) · 2(p-b) · 2p}{4a^2}\\&=\frac{16p(p-a)(p-b)(p-c)}{4a^2}\\&=\frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2}\end{aligned}$
因此$h=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}$
三角形面积$S=\frac{1}{2} · a · h$，代入h得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2} · a · \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}\\&=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\end{aligned}$
海伦—秦九韶公式推导完成。
解析
【分析】
要推导仅由三角形三边长表示的面积公式，可按以下思路思考：① 回忆三角形面积公式为$\frac{1}{2}×底×高$，因此先作任意一边上的高，将原三角形拆分为两个共高的直角三角形；② 利用勾股定理分别在两个直角三角形中表示高的平方，联立等式求出底边被高分得的线段长度，回代即可得到用三边表示的高的表达式；③ 将高代入面积公式，通过因式分解、代数式化简，结合半周长$p$的定义，最终整理得到海伦-秦九韶公式。
【解析】
在$△ ABC$中，设$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，设$BD=x$，则$DC=a-x$，$AD=h$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$h^2 = c^2 - x^2$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$h^2 = b^2 - (a-x)^2$
联立两式得：
$c^2 - x^2 = b^2 - (a-x)^2$
展开整理：
$c^2 - x^2 = b^2 - a^2 + 2ax - x^2$
消去$-x^2$，解得：
$x=\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a}$
将$x$代入$h^2 = c^2 - x^2$，由平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}h^2&=c^2 - (\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a})^2\\&=(c - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a})(c + \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a})\\&=\frac{2ac - a^2 - c^2 + b^2}{2a} · \frac{2ac + a^2 + c^2 - b^2}{2a}\\&=\frac{[b^2 - (a-c)^2][(a+c)^2 - b^2]}{4a^2}\\&=\frac{(b - a + c)(b + a - c)(a + c - b)(a + b + c)}{4a^2}\end{aligned}$
由半周长定义$p=\frac{a+b+c}{2}$，可得：
$a+b+c=2p$，$b+c-a=2(p-a)$，$a+b-c=2(p-c)$，$a+c-b=2(p-b)$
代入上式：
$\begin{aligned}h^2&=\frac{2(p-a) · 2(p-c) · 2(p-b) · 2p}{4a^2}\\&=\frac{16p(p-a)(p-b)(p-c)}{4a^2}\\&=\frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2}\end{aligned}$
因此$h=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}$
三角形面积$S=\frac{1}{2} · a · h$，代入$h$得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2} · a · \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}\\&=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\end{aligned}$
海伦—秦九韶公式推导完成。
【答案】
三角形三边长为$a,b,c$，半周长$p=\frac{a+b+c}{2}$时，面积$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，即为海伦—秦九韶公式。
【知识点】
勾股定理应用；因式分解；三角形面积计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过作高将斜三角形转化为直角三角形，结合勾股定理和代数化简完成公式推导，既考查了几何辅助线构造、因式分解等基础能力，也能让学生体会古代数学家的探究逻辑，提升综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.3
要推导仅由三角形三边长表示的面积公式，可按以下思路思考：① 回忆三角形面积公式为$\frac{1}{2}×底×高$，因此先作任意一边上的高，将原三角形拆分为两个共高的直角三角形；② 利用勾股定理分别在两个直角三角形中表示高的平方，联立等式求出底边被高分得的线段长度，回代即可得到用三边表示的高的表达式；③ 将高代入面积公式，通过因式分解、代数式化简，结合半周长$p$的定义，最终整理得到海伦-秦九韶公式。
【解析】
在$△ ABC$中，设$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，过点$A$作$AD⊥ BC$于点$D$，设$BD=x$，则$DC=a-x$，$AD=h$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$h^2 = c^2 - x^2$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$h^2 = b^2 - (a-x)^2$
联立两式得：
$c^2 - x^2 = b^2 - (a-x)^2$
展开整理：
$c^2 - x^2 = b^2 - a^2 + 2ax - x^2$
消去$-x^2$，解得：
$x=\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a}$
将$x$代入$h^2 = c^2 - x^2$，由平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}h^2&=c^2 - (\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a})^2\\&=(c - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a})(c + \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a})\\&=\frac{2ac - a^2 - c^2 + b^2}{2a} · \frac{2ac + a^2 + c^2 - b^2}{2a}\\&=\frac{[b^2 - (a-c)^2][(a+c)^2 - b^2]}{4a^2}\\&=\frac{(b - a + c)(b + a - c)(a + c - b)(a + b + c)}{4a^2}\end{aligned}$
由半周长定义$p=\frac{a+b+c}{2}$，可得：
$a+b+c=2p$，$b+c-a=2(p-a)$，$a+b-c=2(p-c)$，$a+c-b=2(p-b)$
代入上式：
$\begin{aligned}h^2&=\frac{2(p-a) · 2(p-c) · 2(p-b) · 2p}{4a^2}\\&=\frac{16p(p-a)(p-b)(p-c)}{4a^2}\\&=\frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2}\end{aligned}$
因此$h=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}$
三角形面积$S=\frac{1}{2} · a · h$，代入$h$得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2} · a · \frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}\\&=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\end{aligned}$
海伦—秦九韶公式推导完成。
【答案】
三角形三边长为$a,b,c$，半周长$p=\frac{a+b+c}{2}$时，面积$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，即为海伦—秦九韶公式。
【知识点】
勾股定理应用；因式分解；三角形面积计算
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过作高将斜三角形转化为直角三角形，结合勾股定理和代数化简完成公式推导，既考查了几何辅助线构造、因式分解等基础能力，也能让学生体会古代数学家的探究逻辑，提升综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.3
1. 我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里. 里法三百步，欲知为田几何？”问题大意：如图，在$△ ABC$中，$AB=13$里，$BC=14$里，$AC=15$里，则$△ ABC$的面积是().
A.80平方里
B.82平方里
C.84平方里
D.86平方里
A.80平方里
B.82平方里
C.84平方里
D.86平方里
答案
C
解析
【分析】
已知三角形三边长度求面积，我们可以通过作高的方法，将一般三角形转化为两个直角三角形，借助勾股定理求解高的长度，进而计算面积。具体思考路径：①过点A作BC边上的高AD，将△ABC分为两个直角三角形；②设BD为x，用含x的式子表示CD的长度；③分别在两个直角三角形中用勾股定理表示公共边AD的平方，列方程求解x的值；④求出高AD的长度，再用三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：过点A作$AD⊥ BC$于点D。
设$BD=x$里，则$CD=BC-BD=(14-x)$里。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2=AB^2-BD^2=13^2-x^2$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2-CD^2=15^2-(14-x)^2$
因此可得方程：$13^2-x^2=15^2-(14-x)^2$
展开计算：
$169-x^2=225-(196-28x+x^2)$
$169-x^2=29+28x-x^2$
消去$-x^2$后解得：$x=5$
将$x=5$代入$AD^2=13^2-5^2=144$，得$AD=12$里（边长为正，舍去负根）。
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×14×12=84$（平方里）。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，辅助线构造直角三角形
【点评】
本题以我国古代数学问题为背景，考查勾股定理的实际应用，解题的关键是通过作高构造直角三角形，利用公共边建立方程求解未知量，既渗透了数学文化，也考查了知识的迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
已知三角形三边长度求面积，我们可以通过作高的方法，将一般三角形转化为两个直角三角形，借助勾股定理求解高的长度，进而计算面积。具体思考路径：①过点A作BC边上的高AD，将△ABC分为两个直角三角形；②设BD为x，用含x的式子表示CD的长度；③分别在两个直角三角形中用勾股定理表示公共边AD的平方，列方程求解x的值；④求出高AD的长度，再用三角形面积公式计算面积即可。
【解析】
解：过点A作$AD⊥ BC$于点D。
设$BD=x$里，则$CD=BC-BD=(14-x)$里。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：$AD^2=AB^2-BD^2=13^2-x^2$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：$AD^2=AC^2-CD^2=15^2-(14-x)^2$
因此可得方程：$13^2-x^2=15^2-(14-x)^2$
展开计算：
$169-x^2=225-(196-28x+x^2)$
$169-x^2=29+28x-x^2$
消去$-x^2$后解得：$x=5$
将$x=5$代入$AD^2=13^2-5^2=144$，得$AD=12$里（边长为正，舍去负根）。
根据三角形面积公式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×14×12=84$（平方里）。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理，三角形面积计算，辅助线构造直角三角形
【点评】
本题以我国古代数学问题为背景，考查勾股定理的实际应用，解题的关键是通过作高构造直角三角形，利用公共边建立方程求解未知量，既渗透了数学文化，也考查了知识的迁移运用能力。
【难度系数】
0.7
