4. 如图，一张矩形纸片ABCD的宽AB为8 cm，长BC为10 cm. 折叠这张矩形纸片，使顶点D落在边BC上的点F处(折痕为AE). 此时CE有多长？

解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC=10 cm，AB=CD=8 cm，∠B=∠C=90°。
由折叠的性质得：AF=AD=10 cm，EF=DE。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$BF^2 = AF^2 - AB^2 = 10^2 - 8^2 = 36$，
∴ BF=6 cm，
∴ FC = BC - BF = 10 - 6 = 4 cm。
设CE = x cm，则DE = CD - CE = (8 - x) cm，
∴ EF = DE = (8 - x) cm。
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$CE^2 + FC^2 = EF^2$，
即 $x^2 + 4^2 = (8 - x)^2$，
展开得 $x^2 + 16 = 64 - 16x + x^2$，
整理得 16x = 48，
解得 x = 3。
答：CE的长为3 cm。

【分析】
遇到矩形折叠求线段长度的问题，我们可以按以下思路推导：1. 先利用矩形的性质得到各边的已知长度和直角条件；2. 结合折叠前后对应边相等的性质，得到AF=AD、EF=DE两组等长线段；3. 先在Rt△ABF中用勾股定理求出BF的长度，进而算出FC的长度；4. 设CE为未知数，用含未知数的式子表示EF的长度，最后在Rt△EFC中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD=BC=10 cm，AB=CD=8 cm，∠B=∠C=90°。
由折叠的性质得：AF=AD=10 cm，EF=DE。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$BF^2 = AF^2 - AB^2 = 10^2 - 8^2 = 36$，
∴ BF=6 cm，
∴ FC = BC - BF = 10 - 6 = 4 cm。
设CE = x cm，则DE = CD - CE = (8 - x) cm，
∴ EF = DE = (8 - x) cm。
在Rt△EFC中，由勾股定理得：
$CE^2 + FC^2 = EF^2$，
即 $x^2 + 4^2 = (8 - x)^2$，
展开得 $x^2 + 16 = 64 - 16x + x^2$，
整理得 16x = 48，
解得 x = 3。
答：CE的长为3 cm。
【答案】3 cm
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是折叠类几何计算的典型习题，解题的关键是抓住折叠变换的全等性质，将已知边和未知边转化到同一个直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.7

5. 如图,一个长方体木块的长是 15 cm,宽是 10 cm,高是 20 cm,点 B 到点 C 的距离是 5 cm.如果一只蚂蚁沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B,需要爬行的最短路程是多少?

解：
将长方体的表面展开，蚂蚁从点A到点B共有三种不同的展开路径，分别用勾股定理计算路径长度：
1. 将点A所在的右侧面与点B所在的前侧面展开到同一平面，此时两条直角边的长度分别为20 cm和$10+5=15$ cm，
可得$AB=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{625}=25\ \mathrm{cm}$。
2. 将点A所在的右侧面与点B所在的上顶面展开到同一平面，此时两条直角边的长度分别为$20+5=25$ cm和10 cm，
可得$AB=\sqrt{25^2+10^2}=\sqrt{725}=5\sqrt{29}\ \mathrm{cm}$。
3. 将点A所在的下底面与点B所在的前侧面展开到同一平面，此时两条直角边的长度分别为$20+10=30$ cm和$15-5=10$ cm，
可得$AB=\sqrt{30^2+10^2}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
因为$25＜5\sqrt{29}＜10\sqrt{10}$，所以最短路径长度为25 cm。
答：蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B需要爬行的最短路程是25 cm。

【分析】
要解决长方体表面的最短爬行路径问题，首先需要将立体图形的表面展开为平面图形，利用“两点之间，线段最短”的原理，把爬行路径转化为平面内两点间的线段长度，再用勾股定理计算。因为长方体有多种展开方式，所以需要分类讨论所有可能的展开情况，分别计算路径长度后比较大小，即可得到最短路程。
【解析】
将长方体的表面展开，蚂蚁从点A到点B共有3种不同的展开路径，分别用勾股定理计算路径长度：
1. 将点A所在的右侧面与点B所在的前侧面展开到同一平面，此时两条直角边的长度分别为20 cm和$10+5=15$ cm，
可得$AB=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{625}=25\ \mathrm{cm}$。
2. 将点A所在的右侧面与点B所在的上顶面展开到同一平面，此时两条直角边的长度分别为$20+5=25$ cm和10 cm，
可得$AB=\sqrt{25^2+10^2}=\sqrt{725}=5\sqrt{29}\ \mathrm{cm}$。
3. 将点A所在的下底面与点B所在的前侧面展开到同一平面，此时两条直角边的长度分别为$20+10=30$ cm和$15-5=10$ cm，
可得$AB=\sqrt{30^2+10^2}=\sqrt{1000}=10\sqrt{10}\ \mathrm{cm}$。
比较三个路径长度：$25＜5\sqrt{29}＜10\sqrt{10}$，因此最短路径长度为25 cm。
【答案】
$\boxed{25\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
勾股定理的应用；立体图形表面展开；两点之间线段最短
【点评】
本题是立体图形最短路径的典型题型，核心解题思路是将立体问题转化为平面问题求解，解题时需要注意全面考虑所有可能的展开方式，避免遗漏情况导致结果错误，最后通过比较所有路径的长度得到最小值。
【难度系数】
0.6

6. 在勾股定理的学习中,我们认识到以$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边为边长的3个正方形的面积之间的关系(图①).在课本习题3.3第8题的探索中,我们得到以$\mathrm{Rt}△ ABC$的三边为直径的3个半圆的面积之间的关系(图②).
(1) 分别写出图①中3个正方形、图②中3个半圆的面积关系.
(2) 通过这两个图形的探索,你有什么发现?设计一个类似的问题,并给出解答.

解：(1) 设$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
图①中3个正方形的面积分别为$S_{BC}=a^2$，$S_{AC}=b^2$，$S_{AB}=c^2$，因此面积关系为：
以两条直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积，即$\boldsymbol{S_{BC} + S_{AC} = S_{AB}}$。
图②中3个半圆的面积分别为$S_{BC}=\frac{1}{2}π·(\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{8}$，$S_{AC}=\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=\frac{π b^2}{8}$，$S_{AB}=\frac{1}{2}π·(\frac{c}{2})^2=\frac{π c^2}{8}$，代入$a^2+b^2=c^2$得面积关系为：
以两条直角边为直径的半圆的面积之和等于以斜边为直径的半圆的面积，即$\boldsymbol{S_{BC} + S_{AC} = S_{AB}}$。
(2) 发现：以直角三角形三边为对应边向外作任意相似图形，斜边上的图形的面积等于两条直角边上的图形的面积之和。
设计问题：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，分别以三边为边长向外作等边三角形，求证：斜边上的等边三角形的面积等于两条直角边上的等边三角形的面积之和。
解答：设三边上的等边三角形面积分别为$S_1$（以$BC$为边）、$S_2$（以$AC$为边）、$S_3$（以$AB$为边），
则$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，$S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}b^2$，$S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2$，
由勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，两边同乘$\frac{\sqrt{3}}{4}$得：
$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}b^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}c^2$，即$S_1 + S_2 = S_3$，结论成立。

【分析】
本题围绕勾股定理与图形面积的关系展开，解题思路如下：
1. 解决第(1)问时，先设出$\mathrm{Rt}△ABC$的三边长，结合勾股定理得到三边平方的关系；再分别计算图①中三个正方形的面积、图②中三个半圆的面积，将面积表达式和勾股定理的结论结合，即可推导得到面积关系。
2. 解决第(2)问时，观察前两问的结论，发现正方形、半圆的面积都和对应边的平方成正比，因此可以归纳出通用规律；再选取其他面积和边长平方成正比的图形（如等边三角形）设计问题，结合勾股定理即可完成证明。
【解析】
(1) 设$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，由勾股定理得$a^2 + b^2 = c^2$。
① 图①中3个正方形的面积分别为：以$BC$为边的正方形面积$S_{BC}=a^2$，以$AC$为边的正方形面积$S_{AC}=b^2$，以$AB$为边的正方形面积$S_{AB}=c^2$。
代入$a^2 + b^2 = c^2$可得面积关系：$S_{BC} + S_{AC} = S_{AB}$，即以两条直角边为边长的正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。
② 图②中3个半圆的面积分别为：
$S_{BC}=\frac{1}{2}π·(\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{8}$，$S_{AC}=\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=\frac{π b^2}{8}$，$S_{AB}=\frac{1}{2}π·(\frac{c}{2})^2=\frac{π c^2}{8}$。
将$a^2 + b^2 = c^2$两边同时乘$\frac{π}{8}$，可得$\frac{π a^2}{8}+\frac{π b^2}{8}=\frac{π c^2}{8}$，即面积关系为$S_{BC} + S_{AC} = S_{AB}$，即以两条直角边为直径的半圆的面积之和等于以斜边为直径的半圆的面积。
(2) 发现：以直角三角形三边为对应边向外作任意相似图形，斜边上的图形的面积等于两条直角边上的图形的面积之和。
设计问题示例：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，分别以三边为边长向外作等边三角形，求证：斜边上的等边三角形的面积等于两条直角边上的等边三角形的面积之和。
解答：设三边上的等边三角形面积分别为$S_1$（以$BC$为边）、$S_2$（以$AC$为边）、$S_3$（以$AB$为边），
则$S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$，$S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}b^2$，$S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}c^2$，
由勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$，两边同乘$\frac{\sqrt{3}}{4}$得：
$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}b^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}c^2$，即$S_1 + S_2 = S_3$，结论成立。
【答案】
(1) 图①：$\boldsymbol{S_{BC} + S_{AC} = S_{AB}}$（两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积）；
图②：$\boldsymbol{S_{BC} + S_{AC} = S_{AB}}$（两条直角边上的半圆面积之和等于斜边上的半圆面积）。
(2) 发现：以直角三角形三边为对应边向外作任意相似图形，斜边上的图形的面积等于两条直角边上的图形的面积之和；设计的问题及解答合理即可，参考示例如上述解析。
【知识点】
勾股定理，正方形面积计算，半圆面积计算
【点评】
本题依托勾股定理的经典探究情境，从特殊的正方形、半圆面积关系推导到一般规律，既考查了勾股定理的基础应用和常见图形的面积计算，也引导学生形成从特殊到一般的归纳思维，有利于提升知识迁移能力和自主探究能力。
【难度系数】
0.7