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1. (1) 下午3时,8 m高的旗杆的影长是6 m,此时旗杆顶端与影子顶端之间的距离是 m.
(2) 如图,一个宽为1 m、高为2.4 m的木门,需在相对角的顶点间加固一块木板,该木板的长为 m.
[第1(2)题] 
[第1(3)题]
(3) 如图,要为一段高5 m、长13 m的楼梯铺上红地毯,至少需要红地毯 m.
(4) 如图所示的零件上A和B两孔中心之间的距离为.
[第1(4)题] 
[第1(5)题]
(5) 如图所示的徽标是我国古代弦图的变形,该图是由$Rt△ ABC$绕中心点O按顺时针方向连续旋转3次,每次旋转$90°$得到的.若中间小正方形的面积是1,徽标图形的总面积是113,$AD=2$,则徽标的外围周长是.
(2) 如图,一个宽为1 m、高为2.4 m的木门,需在相对角的顶点间加固一块木板,该木板的长为 m.
[第1(2)题] [第1(3)题](3) 如图,要为一段高5 m、长13 m的楼梯铺上红地毯,至少需要红地毯 m.
(4) 如图所示的零件上A和B两孔中心之间的距离为.
[第1(4)题] [第1(5)题](5) 如图所示的徽标是我国古代弦图的变形,该图是由$Rt△ ABC$绕中心点O按顺时针方向连续旋转3次,每次旋转$90°$得到的.若中间小正方形的面积是1,徽标图形的总面积是113,$AD=2$,则徽标的外围周长是.
答案
(1) $\boldsymbol{10}$
(2) $\boldsymbol{2.6}$
(3) $\boldsymbol{17}$
(4) $\boldsymbol{50}$
(5) $\boldsymbol{40}$
(2) $\boldsymbol{2.6}$
(3) $\boldsymbol{17}$
(4) $\boldsymbol{50}$
(5) $\boldsymbol{40}$
解析
【分析】
本组题目均围绕勾股定理的实际应用展开，解题核心是把实际场景转化为直角三角形模型：① 普通几何场景中先找准直角三角形的两条直角边，再用勾股定理$a^2+b^2=c^2$计算未知边；② 铺地毯类问题可通过平移将线段求和简化；弦图类问题先结合面积、旋转性质求出直角三角形边长，再推导外围周长。
【解析】
(1) 旗杆、地面影子、旗杆顶端到影子顶端的连线构成直角三角形，两条直角边分别为旗杆高8m、影长6m，由勾股定理得所求距离为$\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{m}$。
(2) 木门的宽、高、加固木板构成直角三角形，直角边分别为1m、2.4m，木板长为斜边，计算得$\sqrt{1^2+2.4^2}=\sqrt{6.76}=2.6\ \mathrm{m}$。
(3) 铺地毯的总长度等于楼梯水平段总长度加竖直段总长度，由平移性质可知竖直段总长度为楼梯高5m，先算水平投影长度：$\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{m}$，故地毯总长为$12+5=17\ \mathrm{m}$。
(4) 由图得A、B两孔水平距离为30、竖直距离为40，两孔中心连线为直角三角形斜边，计算得$\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{2500}=50$。
(5) 中间小正方形面积为1，故边长为1；4个直角三角形全等，总面积为$113-1=112$，单个三角形面积为$112÷4=28$。设直角三角形短直角边为$x$，则长直角边为$x+1$，列方程$\frac{1}{2}x(x+1)=28$，解得$x=7$（负值舍去），即短边为7，长边为8。结合$AD=2$，得徽标外围单条边长为$\sqrt{(8-2)^2+8^2}=10$，外围共4条等长边，总周长为$4×10=40$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$；(2) $\boldsymbol{2.6}$；(3) $\boldsymbol{17}$；(4) $\boldsymbol{50}$；(5) $\boldsymbol{40}$
【知识点】
勾股定理的应用，平移的性质，旋转的性质
【点评】
题目结合生活场景、几何变换考查勾股定理的使用，侧重考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题时需仔细分析场景对应的几何特征，避免直接套用公式出错。
【难度系数】
0.7
本组题目均围绕勾股定理的实际应用展开，解题核心是把实际场景转化为直角三角形模型：① 普通几何场景中先找准直角三角形的两条直角边，再用勾股定理$a^2+b^2=c^2$计算未知边；② 铺地毯类问题可通过平移将线段求和简化；弦图类问题先结合面积、旋转性质求出直角三角形边长，再推导外围周长。
【解析】
(1) 旗杆、地面影子、旗杆顶端到影子顶端的连线构成直角三角形，两条直角边分别为旗杆高8m、影长6m，由勾股定理得所求距离为$\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10\ \mathrm{m}$。
(2) 木门的宽、高、加固木板构成直角三角形，直角边分别为1m、2.4m，木板长为斜边，计算得$\sqrt{1^2+2.4^2}=\sqrt{6.76}=2.6\ \mathrm{m}$。
(3) 铺地毯的总长度等于楼梯水平段总长度加竖直段总长度，由平移性质可知竖直段总长度为楼梯高5m，先算水平投影长度：$\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{144}=12\ \mathrm{m}$，故地毯总长为$12+5=17\ \mathrm{m}$。
(4) 由图得A、B两孔水平距离为30、竖直距离为40，两孔中心连线为直角三角形斜边，计算得$\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{2500}=50$。
(5) 中间小正方形面积为1，故边长为1；4个直角三角形全等，总面积为$113-1=112$，单个三角形面积为$112÷4=28$。设直角三角形短直角边为$x$，则长直角边为$x+1$，列方程$\frac{1}{2}x(x+1)=28$，解得$x=7$（负值舍去），即短边为7，长边为8。结合$AD=2$，得徽标外围单条边长为$\sqrt{(8-2)^2+8^2}=10$，外围共4条等长边，总周长为$4×10=40$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10}$；(2) $\boldsymbol{2.6}$；(3) $\boldsymbol{17}$；(4) $\boldsymbol{50}$；(5) $\boldsymbol{40}$
【知识点】
勾股定理的应用，平移的性质，旋转的性质
【点评】
题目结合生活场景、几何变换考查勾股定理的使用，侧重考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题时需仔细分析场景对应的几何特征，避免直接套用公式出错。
【难度系数】
0.7
2. 如图,一个儿童游戏场所的AB段和BC段均用不锈钢管材打造,总长度为26 m,长方形CDEF为木质平台的主视图.小敏测量得知CD=1 m,AD=15 m,于是猜想立柱AB段的长为10 m.请判断小敏的猜想是否正确,若正确,请写出理由;若错误,请求出立柱AB段的正确长度.
答案
解：小敏的猜想错误。
过点C作CG⊥AB于点G，
由题意得：AB⊥AD，CD⊥AD，
∴四边形ADCG是矩形，
∴AG=CD=1 m，CG=AD=15 m，∠BGC=90°。
设AB=x m，则BC=(26 - x) m，BG=AB - AG=(x - 1) m。
在Rt△BCG中，由勾股定理得：
$BG^2 + CG^2 = BC^2$
即$ (x - 1)^2 + 15^2 = (26 - x)^2$展开得：$x^2 - 2x + 1 + 225 = x^2 - 52x + 676$整理得：50x = 450解得：x=9
答：立柱AB段的正确长度为9 m。
过点C作CG⊥AB于点G，
由题意得：AB⊥AD，CD⊥AD，
∴四边形ADCG是矩形，
∴AG=CD=1 m，CG=AD=15 m，∠BGC=90°。
设AB=x m，则BC=(26 - x) m，BG=AB - AG=(x - 1) m。
在Rt△BCG中，由勾股定理得：
$BG^2 + CG^2 = BC^2$
即$ (x - 1)^2 + 15^2 = (26 - x)^2$展开得：$x^2 - 2x + 1 + 225 = x^2 - 52x + 676$整理得：50x = 450解得：x=9
答：立柱AB段的正确长度为9 m。
解析
【分析】
要判断小敏的猜想是否正确，需先求出AB的实际长度。首先观察图形，AB、CD均与水平地面垂直，我们可以过点C作CG⊥AB，构造出矩形ADCG和直角三角形BCG；利用矩形的性质得到AG、CG的长度，再结合AB+BC=26m的条件，设AB的长度为未知数，用含未知数的式子表示出Rt△BCG的三边，最后根据勾股定理列方程求解，将得到的AB长度和10m比较即可判断猜想是否正确。
【解析】
解：小敏的猜想错误，理由如下：
过点C作CG⊥AB于点G，
由题意得AB⊥AD，CD⊥AD，
∴∠A=∠ADC=∠AGC=90°，
∴四边形ADCG是矩形，
∴AG=CD=1m，CG=AD=15m，∠BGC=90°。
设AB=x m，则BC=(26-x)m，BG=AB-AG=(x-1)m，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：$BG^2 + CG^2 = BC^2$，
代入得：$(x-1)^2 + 15^2 = (26-x)^2$，
展开得：$x^2 -2x +1 +225 = x^2 -52x +676$，
移项合并同类项得：$50x=450$，
解得：$x=9$。
【答案】
小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度为9 m。
【知识点】
1.勾股定理的应用
2.矩形的性质
3.一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际场景考查几何计算，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为数学方程问题求解，同时要注意勾股定理仅适用于直角三角形，列方程时需找准三边的对应关系。
【难度系数】
0.7
要判断小敏的猜想是否正确，需先求出AB的实际长度。首先观察图形，AB、CD均与水平地面垂直，我们可以过点C作CG⊥AB，构造出矩形ADCG和直角三角形BCG；利用矩形的性质得到AG、CG的长度，再结合AB+BC=26m的条件，设AB的长度为未知数，用含未知数的式子表示出Rt△BCG的三边，最后根据勾股定理列方程求解，将得到的AB长度和10m比较即可判断猜想是否正确。
【解析】
解：小敏的猜想错误，理由如下：
过点C作CG⊥AB于点G，
由题意得AB⊥AD，CD⊥AD，
∴∠A=∠ADC=∠AGC=90°，
∴四边形ADCG是矩形，
∴AG=CD=1m，CG=AD=15m，∠BGC=90°。
设AB=x m，则BC=(26-x)m，BG=AB-AG=(x-1)m，
在Rt△BCG中，由勾股定理得：$BG^2 + CG^2 = BC^2$，
代入得：$(x-1)^2 + 15^2 = (26-x)^2$，
展开得：$x^2 -2x +1 +225 = x^2 -52x +676$，
移项合并同类项得：$50x=450$，
解得：$x=9$。
【答案】
小敏的猜想错误，立柱AB段的正确长度为9 m。
【知识点】
1.勾股定理的应用
2.矩形的性质
3.一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际场景考查几何计算，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际问题转化为数学方程问题求解，同时要注意勾股定理仅适用于直角三角形，列方程时需找准三边的对应关系。
【难度系数】
0.7
3. 如图，10 m长的梯子AB斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8 m. 梯子顶端下滑2 m，它的底端是否也滑动2 m？梯子顶端下滑1 m，它的底端是否也滑动1 m？
答案
解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10 m，AC=8 m，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$。
① 当梯子顶端下滑2 m时，设顶端新位置为$A_1$，底端新位置为$B_1$，
则$A_1C = AC - 2 = 8 - 2 = 6\ \mathrm{m}$，梯子长度$A_1B_1=AB=10\ \mathrm{m}$，
在Rt△$A_1B_1C$中，由勾股定理得：
$CB_1=\sqrt{A_1B_1^2 - A_1C^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{m}$，
底端滑动距离$BB_1 = CB_1 - BC = 8 - 6 = 2\ \mathrm{m}$，
即梯子顶端下滑2 m时，底端也滑动2 m。
② 当梯子顶端下滑1 m时，设顶端新位置为$A_2$，底端新位置为$B_2$，
则$A_2C = AC - 1 = 8 - 1 = 7\ \mathrm{m}$，梯子长度$A_2B_2=AB=10\ \mathrm{m}$，
在Rt△$A_2B_2C$中，由勾股定理得：
$CB_2=\sqrt{A_2B_2^2 - A_2C^2}=\sqrt{10^2 - 7^2}=\sqrt{51}\ \mathrm{m}$，
底端滑动距离$BB_2 = CB_2 - BC = \sqrt{51} - 6 ≠ 1\ \mathrm{m}$，
即梯子顶端下滑1 m时，底端没有滑动1 m。
答：梯子顶端下滑2 m时，它的底端滑动2 m；梯子顶端下滑1 m时，它的底端没有滑动1 m。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10 m，AC=8 m，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$。
① 当梯子顶端下滑2 m时，设顶端新位置为$A_1$，底端新位置为$B_1$，
则$A_1C = AC - 2 = 8 - 2 = 6\ \mathrm{m}$，梯子长度$A_1B_1=AB=10\ \mathrm{m}$，
在Rt△$A_1B_1C$中，由勾股定理得：
$CB_1=\sqrt{A_1B_1^2 - A_1C^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{m}$，
底端滑动距离$BB_1 = CB_1 - BC = 8 - 6 = 2\ \mathrm{m}$，
即梯子顶端下滑2 m时，底端也滑动2 m。
② 当梯子顶端下滑1 m时，设顶端新位置为$A_2$，底端新位置为$B_2$，
则$A_2C = AC - 1 = 8 - 1 = 7\ \mathrm{m}$，梯子长度$A_2B_2=AB=10\ \mathrm{m}$，
在Rt△$A_2B_2C$中，由勾股定理得：
$CB_2=\sqrt{A_2B_2^2 - A_2C^2}=\sqrt{10^2 - 7^2}=\sqrt{51}\ \mathrm{m}$，
底端滑动距离$BB_2 = CB_2 - BC = \sqrt{51} - 6 ≠ 1\ \mathrm{m}$，
即梯子顶端下滑1 m时，底端没有滑动1 m。
答：梯子顶端下滑2 m时，它的底端滑动2 m；梯子顶端下滑1 m时，它的底端没有滑动1 m。
解析
【分析】
本题是勾股定理在实际场景中的应用问题，解题时首先要明确隐含条件：梯子的长度始终不变，且墙面与地面垂直，即涉及的三角形始终为直角三角形。解题思路如下：第一步先利用勾股定理算出梯子滑动前底端B到墙脚C的距离BC；第二步分别计算顶端下滑2m、1m后，新的直角三角形中底端到墙脚的距离，将新距离减去原来的BC得到底端滑动的长度，最后将滑动长度和顶端下滑的长度比较即可得出结论。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10 m，AC=8 m，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$。
① 当梯子顶端下滑2 m时，设顶端新位置为$A_1$，底端新位置为$B_1$，
则$A_1C = AC - 2 = 8 - 2 = 6\ \mathrm{m}$，梯子长度$A_1B_1=AB=10\ \mathrm{m}$，
在Rt△$A_1B_1C$中，由勾股定理得：
$CB_1=\sqrt{A_1B_1^2 - A_1C^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{m}$，
底端滑动距离$BB_1 = CB_1 - BC = 8 - 6 = 2\ \mathrm{m}$，
即梯子顶端下滑2 m时，底端也滑动2 m。
② 当梯子顶端下滑1 m时，设顶端新位置为$A_2$，底端新位置为$B_2$，
则$A_2C = AC - 1 = 8 - 1 = 7\ \mathrm{m}$，梯子长度$A_2B_2=AB=10\ \mathrm{m}$，
在Rt△$A_2B_2C$中，由勾股定理得：
$CB_2=\sqrt{A_2B_2^2 - A_2C^2}=\sqrt{10^2 - 7^2}=\sqrt{51}\ \mathrm{m}$，
底端滑动距离$BB_2 = CB_2 - BC = \sqrt{51} - 6 ≠ 1\ \mathrm{m}$，
即梯子顶端下滑1 m时，底端没有滑动1 m。
【答案】
梯子顶端下滑2 m时，它的底端滑动2 m；梯子顶端下滑1 m时，它的底端没有滑动1 m。
【知识点】
勾股定理、勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理应用的经典题型，核心是抓住梯子长度不变这一不变量，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，解题时切忌主观臆断滑动距离相等，必须通过计算验证结论。
【难度系数】
0.7
本题是勾股定理在实际场景中的应用问题，解题时首先要明确隐含条件：梯子的长度始终不变，且墙面与地面垂直，即涉及的三角形始终为直角三角形。解题思路如下：第一步先利用勾股定理算出梯子滑动前底端B到墙脚C的距离BC；第二步分别计算顶端下滑2m、1m后，新的直角三角形中底端到墙脚的距离，将新距离减去原来的BC得到底端滑动的长度，最后将滑动长度和顶端下滑的长度比较即可得出结论。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10 m，AC=8 m，
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2 - AC^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6\ \mathrm{m}$。
① 当梯子顶端下滑2 m时，设顶端新位置为$A_1$，底端新位置为$B_1$，
则$A_1C = AC - 2 = 8 - 2 = 6\ \mathrm{m}$，梯子长度$A_1B_1=AB=10\ \mathrm{m}$，
在Rt△$A_1B_1C$中，由勾股定理得：
$CB_1=\sqrt{A_1B_1^2 - A_1C^2}=\sqrt{10^2 - 6^2}=\sqrt{64}=8\ \mathrm{m}$，
底端滑动距离$BB_1 = CB_1 - BC = 8 - 6 = 2\ \mathrm{m}$，
即梯子顶端下滑2 m时，底端也滑动2 m。
② 当梯子顶端下滑1 m时，设顶端新位置为$A_2$，底端新位置为$B_2$，
则$A_2C = AC - 1 = 8 - 1 = 7\ \mathrm{m}$，梯子长度$A_2B_2=AB=10\ \mathrm{m}$，
在Rt△$A_2B_2C$中，由勾股定理得：
$CB_2=\sqrt{A_2B_2^2 - A_2C^2}=\sqrt{10^2 - 7^2}=\sqrt{51}\ \mathrm{m}$，
底端滑动距离$BB_2 = CB_2 - BC = \sqrt{51} - 6 ≠ 1\ \mathrm{m}$，
即梯子顶端下滑1 m时，底端没有滑动1 m。
【答案】
梯子顶端下滑2 m时，它的底端滑动2 m；梯子顶端下滑1 m时，它的底端没有滑动1 m。
【知识点】
勾股定理、勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理应用的经典题型，核心是抓住梯子长度不变这一不变量，将实际问题转化为直角三角形的边长计算问题，解题时切忌主观臆断滑动距离相等，必须通过计算验证结论。
【难度系数】
0.7
