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2. 有一根长70 cm的木棒，要放入如图所示的长、宽、高分别是50 cm，40 cm，30 cm的木箱中，能放进去吗？
答案
解：
设木箱底面对角线的长为$x$ cm，
由勾股定理得：$x^2 = 50^2 + 40^2 = 2500 + 1600 = 4100$。
设木箱的体对角线长为$l$ cm，再次由勾股定理得：
$l^2 = x^2 + 30^2 = 4100 + 900 = 5000$。
因为$70^2 = 4900$，且$5000 ＞ 4900$，
所以$l = \sqrt{5000} ＞ 70$。
答：长70 cm的木棒能放进去。
设木箱底面对角线的长为$x$ cm，
由勾股定理得：$x^2 = 50^2 + 40^2 = 2500 + 1600 = 4100$。
设木箱的体对角线长为$l$ cm，再次由勾股定理得：
$l^2 = x^2 + 30^2 = 4100 + 900 = 5000$。
因为$70^2 = 4900$，且$5000 ＞ 4900$，
所以$l = \sqrt{5000} ＞ 70$。
答：长70 cm的木棒能放进去。
解析
【分析】要判断长70cm的木棒能否放入木箱，首先要明确木箱中能容纳的最长线段是长方体的体对角线，因此只需计算出体对角线的长度，再和木棒长度比较即可。解题分两步进行：第一步先用勾股定理计算木箱底面的对角线长度，第二步将底面对角线和木箱的高作为直角边，再次用勾股定理计算出体对角线的长度，最后比较体对角线与木棒的长度大小得出结论。
【解析】设木箱底面对角线的长为$x$ cm，
由勾股定理得：$x^2 = 50^2 + 40^2 = 2500 + 1600 = 4100$。
设木箱的体对角线长为$l$ cm，再次由勾股定理得：
$l^2 = x^2 + 30^2 = 4100 + 900 = 5000$。
因为$70^2 = 4900$，且$5000 ＞ 4900$，
所以$l = \sqrt{5000} ＞ 70$。
【答案】能放进去
【知识点】勾股定理；长方体体对角线计算
【点评】本题是勾股定理的实际应用问题，解题的关键是明确长方体内最长的线段为体对角线，通过两次运用勾股定理求出体对角线长度后即可比较判断，解题时可通过比较平方的大小避免开方运算，简化计算过程。
【难度系数】0.7
【解析】设木箱底面对角线的长为$x$ cm，
由勾股定理得：$x^2 = 50^2 + 40^2 = 2500 + 1600 = 4100$。
设木箱的体对角线长为$l$ cm，再次由勾股定理得：
$l^2 = x^2 + 30^2 = 4100 + 900 = 5000$。
因为$70^2 = 4900$，且$5000 ＞ 4900$，
所以$l = \sqrt{5000} ＞ 70$。
【答案】能放进去
【知识点】勾股定理；长方体体对角线计算
【点评】本题是勾股定理的实际应用问题，解题的关键是明确长方体内最长的线段为体对角线，通过两次运用勾股定理求出体对角线长度后即可比较判断，解题时可通过比较平方的大小避免开方运算，简化计算过程。
【难度系数】0.7
3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$是边$AB$上的高.求证:$AC^2=AD· AB$.
答案
证明：
∵ ∠ACB=90°，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得 $AC^2 + BC^2 = AB^2$。
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠ADC=∠BDC=90°，
∴ 在Rt△ACD中，$AC^2 = AD^2 + CD^2$，
在Rt△BCD中，$BC^2 = BD^2 + CD^2$。
将两式代入$AC^2 + BC^2 = AB^2$，得：
$AD^2 + CD^2 + BD^2 + CD^2 = AB^2$，
即 $AD^2 + BD^2 + 2CD^2 = AB^2$。
又∵ $AB = AD + BD$，
∴ $AB^2 = (AD + BD)^2 = AD^2 + 2AD· BD + BD^2$，
代入上式得：
$AD^2 + BD^2 + 2CD^2 = AD^2 + 2AD· BD + BD^2$，
化简得 $CD^2 = AD· BD$。
∴ $AC^2 = AD^2 + CD^2 = AD^2 + AD· BD = AD·(AD + BD) = AD· AB$，
即 $AC^2 = AD· AB$。
∵ ∠ACB=90°，
∴ 在Rt△ABC中，由勾股定理得 $AC^2 + BC^2 = AB^2$。
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠ADC=∠BDC=90°，
∴ 在Rt△ACD中，$AC^2 = AD^2 + CD^2$，
在Rt△BCD中，$BC^2 = BD^2 + CD^2$。
将两式代入$AC^2 + BC^2 = AB^2$，得：
$AD^2 + CD^2 + BD^2 + CD^2 = AB^2$，
即 $AD^2 + BD^2 + 2CD^2 = AB^2$。
又∵ $AB = AD + BD$，
∴ $AB^2 = (AD + BD)^2 = AD^2 + 2AD· BD + BD^2$，
代入上式得：
$AD^2 + BD^2 + 2CD^2 = AD^2 + 2AD· BD + BD^2$，
化简得 $CD^2 = AD· BD$。
∴ $AC^2 = AD^2 + CD^2 = AD^2 + AD· BD = AD·(AD + BD) = AD· AB$，
即 $AC^2 = AD· AB$。
解析
【分析】
要证明$AC^2=AD·AB$，可利用图中三个直角三角形的勾股定理关系推导：首先$Rt△ABC$、$Rt△ACD$、$Rt△BCD$都满足勾股定理，先写出$Rt△ABC$的勾股定理表达式，再将其中的$AC^2$、$BC^2$用两个小直角三角形的勾股定理式子替换，得到含$CD$、$AD$、$BD$的等式；再结合$AB=AD+BD$，将$AB^2$用完全平方公式展开后代入等式，化简消去无关项后得到$CD^2=AD·BD$，最后将该式代回$Rt△ACD$的勾股定理表达式，即可推出待证结论。
【解析】
证明：
∵ ∠ACB=90°，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得 $AC^2 + BC^2 = AB^2$。
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠ADC=∠BDC=90°，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC^2 = AD^2 + CD^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$BC^2 = BD^2 + CD^2$。
将上述两式代入$AC^2 + BC^2 = AB^2$，得：
$AD^2 + CD^2 + BD^2 + CD^2 = AB^2$，
即 $AD^2 + BD^2 + 2CD^2 = AB^2$。
又
∵ $AB = AD + BD$，
∴ $AB^2 = (AD + BD)^2 = AD^2 + 2AD· BD + BD^2$，
代入上式得：
$AD^2 + BD^2 + 2CD^2 = AD^2 + 2AD· BD + BD^2$，
化简得 $CD^2 = AD· BD$。
∴ $AC^2 = AD^2 + CD^2 = AD^2 + AD· BD = AD·(AD + BD) = AD· AB$，
即 $AC^2 = AD· AB$。
【答案】
$AC^2=AD· AB$
【知识点】
勾股定理、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，通过联立多个直角三角形的勾股定理表达式，结合代数化简推导几何线段关系，考查了数形结合思想的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理和整式的化简运算。
【难度系数】
0.6
要证明$AC^2=AD·AB$，可利用图中三个直角三角形的勾股定理关系推导：首先$Rt△ABC$、$Rt△ACD$、$Rt△BCD$都满足勾股定理，先写出$Rt△ABC$的勾股定理表达式，再将其中的$AC^2$、$BC^2$用两个小直角三角形的勾股定理式子替换，得到含$CD$、$AD$、$BD$的等式；再结合$AB=AD+BD$，将$AB^2$用完全平方公式展开后代入等式，化简消去无关项后得到$CD^2=AD·BD$，最后将该式代回$Rt△ACD$的勾股定理表达式，即可推出待证结论。
【解析】
证明：
∵ ∠ACB=90°，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得 $AC^2 + BC^2 = AB^2$。
∵ CD是AB边上的高，
∴ ∠ADC=∠BDC=90°，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，$AC^2 = AD^2 + CD^2$，
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$BC^2 = BD^2 + CD^2$。
将上述两式代入$AC^2 + BC^2 = AB^2$，得：
$AD^2 + CD^2 + BD^2 + CD^2 = AB^2$，
即 $AD^2 + BD^2 + 2CD^2 = AB^2$。
又
∵ $AB = AD + BD$，
∴ $AB^2 = (AD + BD)^2 = AD^2 + 2AD· BD + BD^2$，
代入上式得：
$AD^2 + BD^2 + 2CD^2 = AD^2 + 2AD· BD + BD^2$，
化简得 $CD^2 = AD· BD$。
∴ $AC^2 = AD^2 + CD^2 = AD^2 + AD· BD = AD·(AD + BD) = AD· AB$，
即 $AC^2 = AD· AB$。
【答案】
$AC^2=AD· AB$
【知识点】
勾股定理、完全平方公式、等式的性质
【点评】
本题是勾股定理应用的典型题型，通过联立多个直角三角形的勾股定理表达式，结合代数化简推导几何线段关系，考查了数形结合思想的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理和整式的化简运算。
【难度系数】
0.6
4. 在数轴上画出$\sqrt{7}$对应的点.
答案
解：
作图步骤如下：
1. 绘制数轴，标注原点O、正方向与统一的单位长度；
2. 在数轴正半轴上取点A，使OA=3，过点A作数轴的垂线；
3. 以点O为圆心，4个单位长度为半径画弧，交上述垂线于点B；
4. 在Rt△OAB中，∠OAB=90°，由勾股定理得：
$ AB = \sqrt{OB^2 - OA^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}5. $以原点O为圆心，AB的长度为半径画弧，与数轴正半轴交于点P，点P即为数轴上$\sqrt{7}$对应的点。
作图步骤如下：
1. 绘制数轴，标注原点O、正方向与统一的单位长度；
2. 在数轴正半轴上取点A，使OA=3，过点A作数轴的垂线；
3. 以点O为圆心，4个单位长度为半径画弧，交上述垂线于点B；
4. 在Rt△OAB中，∠OAB=90°，由勾股定理得：
$ AB = \sqrt{OB^2 - OA^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}5. $以原点O为圆心，AB的长度为半径画弧，与数轴正半轴交于点P，点P即为数轴上$\sqrt{7}$对应的点。
解析
【分析】
要在数轴上表示无理数$\sqrt{7}$，核心思路是利用勾股定理构造长度为$\sqrt{7}$的线段，再通过圆规将该线段长度转移到数轴上。首先我们需要找到两个整数的平方差等于7，观察可得$4^2-3^2=16-9=7$，因此可以构造一个斜边为4、一条直角边为3的直角三角形，另一条直角边的长度就是$\sqrt{7}$，再用圆规截取该长度，画到数轴正半轴即可得到对应点。
【解析】
作图步骤如下：
1. 绘制数轴，标注原点$O$、正方向以及统一的单位长度；
2. 在数轴正半轴上取点$A$，使$OA=3$，过点$A$作数轴的垂线；
3. 以点$O$为圆心，4个单位长度为半径画弧，交上述垂线于点$B$；
4. 在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{OB^2 - OA^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$
5. 以原点$O$为圆心，$AB$的长度为半径画弧，与数轴正半轴交于点$P$，点$P$即为数轴上$\sqrt{7}$对应的点。
【答案】
按上述步骤作出的点$P$即为数轴上表示$\sqrt{7}$的点。
【知识点】
勾股定理的应用，数轴表示实数，尺规作图
【点评】
本题考查无理数在数轴上的表示方法，解题关键是利用勾股定理构造出长度等于目标无理数的线段，渗透了数形结合的数学思想，要求学生熟练掌握勾股定理的计算和尺规作图的基本操作。
【难度系数】
0.7
要在数轴上表示无理数$\sqrt{7}$，核心思路是利用勾股定理构造长度为$\sqrt{7}$的线段，再通过圆规将该线段长度转移到数轴上。首先我们需要找到两个整数的平方差等于7，观察可得$4^2-3^2=16-9=7$，因此可以构造一个斜边为4、一条直角边为3的直角三角形，另一条直角边的长度就是$\sqrt{7}$，再用圆规截取该长度，画到数轴正半轴即可得到对应点。
【解析】
作图步骤如下：
1. 绘制数轴，标注原点$O$、正方向以及统一的单位长度；
2. 在数轴正半轴上取点$A$，使$OA=3$，过点$A$作数轴的垂线；
3. 以点$O$为圆心，4个单位长度为半径画弧，交上述垂线于点$B$；
4. 在$\mathrm{Rt}△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{OB^2 - OA^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$
5. 以原点$O$为圆心，$AB$的长度为半径画弧，与数轴正半轴交于点$P$，点$P$即为数轴上$\sqrt{7}$对应的点。
【答案】
按上述步骤作出的点$P$即为数轴上表示$\sqrt{7}$的点。
【知识点】
勾股定理的应用，数轴表示实数，尺规作图
【点评】
本题考查无理数在数轴上的表示方法，解题关键是利用勾股定理构造出长度等于目标无理数的线段，渗透了数形结合的数学思想，要求学生熟练掌握勾股定理的计算和尺规作图的基本操作。
【难度系数】
0.7
5. 设$△ ABC$的三边长分别为$a$，$b$，$c$. 如果$a^2 + b^2 ＞ c^2$，判断$△ ABC$的形状. 如果$a^2 + b^2 ＜ c^2$呢？
答案
解：
设边$c$对应的内角为$∠ C$，且$c$为$△ ABC$的最长边。
作$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$，使$∠ C'=90°$，$B'C'=a$，$A'C'=b$，由勾股定理得$A'B'^2 = a^2 + b^2$。
1. 当$a^2 + b^2 ＞ c^2$时：
可得$A'B'^2 ＞ c^2$，即$A'B' ＞ c$。
将$△ ABC$与$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$的边$a$、$b$分别对应重合，可推得$∠ C ＜ 90°$。
由于$c$是最长边，$∠ C$是$△ ABC$的最大内角，因此$△ ABC$的三个内角均为锐角，$△ ABC$是锐角三角形。
2. 当$a^2 + b^2 ＜ c^2$时：
可得$A'B'^2 ＜ c^2$，即$A'B' ＜ c$。
同理将两三角形的边$a$、$b$对应重合，可推得$∠ C ＞ 90°$，即$∠ C$为钝角，因此$△ ABC$是钝角三角形。
设边$c$对应的内角为$∠ C$，且$c$为$△ ABC$的最长边。
作$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$，使$∠ C'=90°$，$B'C'=a$，$A'C'=b$，由勾股定理得$A'B'^2 = a^2 + b^2$。
1. 当$a^2 + b^2 ＞ c^2$时：
可得$A'B'^2 ＞ c^2$，即$A'B' ＞ c$。
将$△ ABC$与$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$的边$a$、$b$分别对应重合，可推得$∠ C ＜ 90°$。
由于$c$是最长边，$∠ C$是$△ ABC$的最大内角，因此$△ ABC$的三个内角均为锐角，$△ ABC$是锐角三角形。
2. 当$a^2 + b^2 ＜ c^2$时：
可得$A'B'^2 ＜ c^2$，即$A'B' ＜ c$。
同理将两三角形的边$a$、$b$对应重合，可推得$∠ C ＞ 90°$，即$∠ C$为钝角，因此$△ ABC$是钝角三角形。
解析
【分析】
要通过三边平方关系判断三角形形状，首先需明确：三角形的最大内角对应最长边，只有确定c为△ABC的最长边时，c对应的∠C是最大内角，判断出∠C和90°的大小关系就能确定三角形形状。我们可以借助勾股定理构造两直角边为a、b的直角三角形，将c与该直角三角形的斜边作比较，通过边长的大小关系推导∠C的大小，进而得到三角形的形状。
【解析】
设边$c$对应的内角为$∠ C$，且$c$为$△ ABC$的最长边。
作$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$，使$∠ C'=90°$，$B'C'=a$，$A'C'=b$，由勾股定理得$A'B'^2 = a^2 + b^2$。
1. 当$a^2 + b^2 ＞ c^2$时：
可得$A'B'^2 ＞ c^2$，即$A'B' ＞ c$。
将$△ ABC$与$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$的边$a$、$b$分别对应重合，可推得$∠ C ＜ 90°$。
由于$c$是最长边，$∠ C$是$△ ABC$的最大内角，因此$△ ABC$的三个内角均为锐角，$△ ABC$是锐角三角形。
2. 当$a^2 + b^2 ＜ c^2$时：
可得$A'B'^2 ＜ c^2$，即$A'B' ＜ c$。
同理将两三角形的边$a$、$b$对应重合，可推得$∠ C ＞ 90°$，即$∠ C$为钝角，因此$△ ABC$是钝角三角形。
【答案】
当$c$为$△ ABC$的最长边时，若$a^2 + b^2 ＞ c^2$，$△ ABC$是锐角三角形；若$a^2 + b^2 ＜ c^2$，$△ ABC$是钝角三角形。
【知识点】
勾股定理；三角形按角分类；三角形边角关系
【点评】
本题是勾股定理的拓展应用，核心是通过构造直角三角形，将三边的数量关系转化为内角的大小关系，解题时要注意“$c$为最长边”是判断的前提条件，忽略该前提会出现判断错误。
【难度系数】
0.7
要通过三边平方关系判断三角形形状，首先需明确：三角形的最大内角对应最长边，只有确定c为△ABC的最长边时，c对应的∠C是最大内角，判断出∠C和90°的大小关系就能确定三角形形状。我们可以借助勾股定理构造两直角边为a、b的直角三角形，将c与该直角三角形的斜边作比较，通过边长的大小关系推导∠C的大小，进而得到三角形的形状。
【解析】
设边$c$对应的内角为$∠ C$，且$c$为$△ ABC$的最长边。
作$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$，使$∠ C'=90°$，$B'C'=a$，$A'C'=b$，由勾股定理得$A'B'^2 = a^2 + b^2$。
1. 当$a^2 + b^2 ＞ c^2$时：
可得$A'B'^2 ＞ c^2$，即$A'B' ＞ c$。
将$△ ABC$与$\mathrm{Rt}△ A'B'C'$的边$a$、$b$分别对应重合，可推得$∠ C ＜ 90°$。
由于$c$是最长边，$∠ C$是$△ ABC$的最大内角，因此$△ ABC$的三个内角均为锐角，$△ ABC$是锐角三角形。
2. 当$a^2 + b^2 ＜ c^2$时：
可得$A'B'^2 ＜ c^2$，即$A'B' ＜ c$。
同理将两三角形的边$a$、$b$对应重合，可推得$∠ C ＞ 90°$，即$∠ C$为钝角，因此$△ ABC$是钝角三角形。
【答案】
当$c$为$△ ABC$的最长边时，若$a^2 + b^2 ＞ c^2$，$△ ABC$是锐角三角形；若$a^2 + b^2 ＜ c^2$，$△ ABC$是钝角三角形。
【知识点】
勾股定理；三角形按角分类；三角形边角关系
【点评】
本题是勾股定理的拓展应用，核心是通过构造直角三角形，将三边的数量关系转化为内角的大小关系，解题时要注意“$c$为最长边”是判断的前提条件，忽略该前提会出现判断错误。
【难度系数】
0.7
