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例1 如图3-10，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，以点B为圆心，BC为半径画弧，交边AB于点D，以点A为圆心，AD为半径画弧，交边AC于点E，连接CD.
（1）已知$∠ A=25°$，求$∠ ACD$的度数；
（2）已知$BC=2.5$，$CE=2$，求$AD$的长.
图3-10
（1）已知$∠ A=25°$，求$∠ ACD$的度数；
（2）已知$BC=2.5$，$CE=2$，求$AD$的长.
图3-10
答案
解：
(1) 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=25°$，
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 65°$。
由作图可知$BD=BC$，
$\therefore ∠ BCD = ∠ BDC = \frac{180° - ∠ B}{2} = \frac{180° - 65°}{2} = 57.5°$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ ACB - ∠ BCD = 90° - 57.5° = 32.5°$。
(2) 设$AD = x$，
由作图可知$AE=AD=x$，$BD=BC=2.5$，
$\therefore AC = AE + CE = x + 2$，$AB = AD + BD = x + 2.5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
代入得：$(x+2)^2 + 2.5^2 = (x+2.5)^2$，
展开整理得：$x^2 +4x + 10.25 = x^2 +5x +6.25$，
解得：$x=4$。
答：$AD$的长为4。
(1) 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=25°$，
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 65°$。
由作图可知$BD=BC$，
$\therefore ∠ BCD = ∠ BDC = \frac{180° - ∠ B}{2} = \frac{180° - 65°}{2} = 57.5°$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ ACB - ∠ BCD = 90° - 57.5° = 32.5°$。
(2) 设$AD = x$，
由作图可知$AE=AD=x$，$BD=BC=2.5$，
$\therefore AC = AE + CE = x + 2$，$AB = AD + BD = x + 2.5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
代入得：$(x+2)^2 + 2.5^2 = (x+2.5)^2$，
展开整理得：$x^2 +4x + 10.25 = x^2 +5x +6.25$，
解得：$x=4$。
答：$AD$的长为4。
解析
【分析】
（1）求$∠ ACD$的度数时，已知$∠ ACB=90°$，可先求$∠ BCD$的度数：首先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中利用直角三角形两锐角互余求出$∠ B$，再根据作图特征得$BD=BC$，即$△ BCD$为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等求出$∠ BCD$，最后用$∠ ACB$减去$∠ BCD$即可得到结果。
（2）求$AD$的长时，可设$AD=x$，根据作图的半径相等特征，得$AE=AD=x$、$BD=BC=2.5$，用含$x$的式子分别表示出$AC$和$AB$的长度，再在$\mathrm{Rt}△ ABC$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=25°$，
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 65°$。
由作图可知$BD=BC$，
$\therefore ∠ BCD = ∠ BDC = \frac{180° - ∠ B}{2} = \frac{180° - 65°}{2} = 57.5°$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ ACB - ∠ BCD = 90° - 57.5° = 32.5°$。
(2) 设$AD = x$，
由作图可知$AE=AD=x$，$BD=BC=2.5$，
$\therefore AC = AE + CE = x + 2$，$AB = AD + BD = x + 2.5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
代入得：$(x+2)^2 + 2.5^2 = (x+2.5)^2$，
展开整理得：$x^2 +4x + 10.25 = x^2 +5x +6.25$，
解得：$x=4$。
【答案】
（1）$∠ ACD=32.5°$；（2）$AD$的长为4
【知识点】
等腰三角形性质、直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图的性质，考查了三角形角度计算和线段长度求解的方法，第一问侧重三角形内角和、等腰与直角三角形的性质应用，第二问通过方程思想结合勾股定理求解，是几何基础题的典型考法，能很好地巩固基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）求$∠ ACD$的度数时，已知$∠ ACB=90°$，可先求$∠ BCD$的度数：首先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中利用直角三角形两锐角互余求出$∠ B$，再根据作图特征得$BD=BC$，即$△ BCD$为等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等求出$∠ BCD$，最后用$∠ ACB$减去$∠ BCD$即可得到结果。
（2）求$AD$的长时，可设$AD=x$，根据作图的半径相等特征，得$AE=AD=x$、$BD=BC=2.5$，用含$x$的式子分别表示出$AC$和$AB$的长度，再在$\mathrm{Rt}△ ABC$中利用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ A=25°$，
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 65°$。
由作图可知$BD=BC$，
$\therefore ∠ BCD = ∠ BDC = \frac{180° - ∠ B}{2} = \frac{180° - 65°}{2} = 57.5°$，
$\therefore ∠ ACD = ∠ ACB - ∠ BCD = 90° - 57.5° = 32.5°$。
(2) 设$AD = x$，
由作图可知$AE=AD=x$，$BD=BC=2.5$，
$\therefore AC = AE + CE = x + 2$，$AB = AD + BD = x + 2.5$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
代入得：$(x+2)^2 + 2.5^2 = (x+2.5)^2$，
展开整理得：$x^2 +4x + 10.25 = x^2 +5x +6.25$，
解得：$x=4$。
【答案】
（1）$∠ ACD=32.5°$；（2）$AD$的长为4
【知识点】
等腰三角形性质、直角三角形性质、勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图的性质，考查了三角形角度计算和线段长度求解的方法，第一问侧重三角形内角和、等腰与直角三角形的性质应用，第二问通过方程思想结合勾股定理求解，是几何基础题的典型考法，能很好地巩固基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
例2 如图3-11，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB与∠ECD为直角，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上.求证：$AE^2+AD^2=2AC^2$.(提示：连接BD) 
图3-11
图3-11答案
证明：连接BD。
∵ △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，
∴ CE=CD，AC=BC，
∠ECA + ∠ACD = 90°，∠DCB + ∠ACD = 90°，
∴ ∠ECA = ∠DCB。
在△ECA和△DCB中，
$\{\begin{array}{l}CE=CD \\∠ECA=∠DCB \\AC=BC\end{array} $
∴ △ECA ≌ △DCB（SAS），
∴ AE = BD，∠E = ∠CDB。
∵ △ECD是等腰直角三角形，
∴ ∠E = ∠CDE = 45°，
∴ ∠CDB = 45°，
∴ ∠ADB = ∠CDE + ∠CDB = 45° + 45° = 90°，
即△ADB为直角三角形。
由勾股定理得：$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
∵ AE = BD，
∴ $AE^2 + AD^2 = AB^2$。
又∵ 在等腰Rt△ACB中，由勾股定理得$AB^2 = AC^2 + BC^2$，且AC=BC，
∴ $AB^2 = 2AC^2$，
∴ $AE^2 + AD^2 = 2AC^2$。
∵ △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，
∴ CE=CD，AC=BC，
∠ECA + ∠ACD = 90°，∠DCB + ∠ACD = 90°，
∴ ∠ECA = ∠DCB。
在△ECA和△DCB中，
$\{\begin{array}{l}CE=CD \\∠ECA=∠DCB \\AC=BC\end{array} $
∴ △ECA ≌ △DCB（SAS），
∴ AE = BD，∠E = ∠CDB。
∵ △ECD是等腰直角三角形，
∴ ∠E = ∠CDE = 45°，
∴ ∠CDB = 45°，
∴ ∠ADB = ∠CDE + ∠CDB = 45° + 45° = 90°，
即△ADB为直角三角形。
由勾股定理得：$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
∵ AE = BD，
∴ $AE^2 + AD^2 = AB^2$。
又∵ 在等腰Rt△ACB中，由勾股定理得$AB^2 = AC^2 + BC^2$，且AC=BC，
∴ $AB^2 = 2AC^2$，
∴ $AE^2 + AD^2 = 2AC^2$。
解析
【分析】
要证明含线段平方和的等式，优先考虑使用勾股定理，首先需要将分散的AE、AD转化到同一个直角三角形中。本题中△ACB和△ECD是共直角顶点C的等腰直角三角形，符合“手拉手”全等模型特征，结合提示连接BD：第一步先证明△ECA和△DCB全等，将AE替换为等长的BD；第二步推导∠ADB为直角，得到Rt△ADB，利用勾股定理得到AD、BD、AB的平方关系；第三步结合等腰直角△ACB中AB²和AC²的数量关系，等量代换后即可证得结论。
【解析】
证明：连接BD。
∵ △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，
∴ CE=CD，AC=BC，
∠ECA + ∠ACD = 90°，∠DCB + ∠ACD = 90°，
∴ ∠ECA = ∠DCB。
在△ECA和△DCB中，
$\{\begin{array}{l}CE=CD \\∠ECA=∠DCB \\AC=BC\end{array} $
∴ △ECA ≌ △DCB（SAS），
∴ AE = BD，∠E = ∠CDB。
∵ △ECD是等腰直角三角形，
∴ ∠E = ∠CDE = 45°，
∴ ∠CDB = 45°，
∴ ∠ADB = ∠CDE + ∠CDB = 45° + 45° = 90°，
即△ADB为直角三角形。
由勾股定理得：$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
∵ AE = BD，
∴ $AE^2 + AD^2 = AB^2$。
又
∵ 在等腰Rt△ACB中，由勾股定理得$AB^2 = AC^2 + BC^2$，且AC=BC，
∴ $AB^2 = 2AC^2$，
∴ $AE^2 + AD^2 = 2AC^2$。
【答案】
$AE^2+AD^2=2AC^2$，得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是等腰直角三角形与全等、勾股定理结合的经典题型，核心是利用共顶点等腰直角三角形的“手拉手”全等模型转移线段，构造直角三角形后运用勾股定理完成等量代换，解题的关键是准确作出辅助线、找准全等三角形，能较好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要证明含线段平方和的等式，优先考虑使用勾股定理，首先需要将分散的AE、AD转化到同一个直角三角形中。本题中△ACB和△ECD是共直角顶点C的等腰直角三角形，符合“手拉手”全等模型特征，结合提示连接BD：第一步先证明△ECA和△DCB全等，将AE替换为等长的BD；第二步推导∠ADB为直角，得到Rt△ADB，利用勾股定理得到AD、BD、AB的平方关系；第三步结合等腰直角△ACB中AB²和AC²的数量关系，等量代换后即可证得结论。
【解析】
证明：连接BD。
∵ △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，
∴ CE=CD，AC=BC，
∠ECA + ∠ACD = 90°，∠DCB + ∠ACD = 90°，
∴ ∠ECA = ∠DCB。
在△ECA和△DCB中，
$\{\begin{array}{l}CE=CD \\∠ECA=∠DCB \\AC=BC\end{array} $
∴ △ECA ≌ △DCB（SAS），
∴ AE = BD，∠E = ∠CDB。
∵ △ECD是等腰直角三角形，
∴ ∠E = ∠CDE = 45°，
∴ ∠CDB = 45°，
∴ ∠ADB = ∠CDE + ∠CDB = 45° + 45° = 90°，
即△ADB为直角三角形。
由勾股定理得：$AD^2 + BD^2 = AB^2$，
∵ AE = BD，
∴ $AE^2 + AD^2 = AB^2$。
又
∵ 在等腰Rt△ACB中，由勾股定理得$AB^2 = AC^2 + BC^2$，且AC=BC，
∴ $AB^2 = 2AC^2$，
∴ $AE^2 + AD^2 = 2AC^2$。
【答案】
$AE^2+AD^2=2AC^2$，得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是等腰直角三角形与全等、勾股定理结合的经典题型，核心是利用共顶点等腰直角三角形的“手拉手”全等模型转移线段，构造直角三角形后运用勾股定理完成等量代换，解题的关键是准确作出辅助线、找准全等三角形，能较好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
1. 已知甲、乙从同一地点出发，甲往东走了4 km，乙往南走了3 km，这时甲、乙相距 km.
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
解题时首先结合常识可知正东和正南方向互相垂直，因此甲、乙的行走路线与两人当前的连线刚好构成直角三角形，其中甲走的4km、乙走的3km是直角三角形的两条直角边，两人的距离就是直角三角形的斜边，因此用勾股定理计算斜边长度即可得到答案。
【解析】
解：由题意得，正东与正南方向互相垂直，因此甲、乙的行走路程和两人的距离可构成直角三角形，两条直角边长分别为4km、3km。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得两人的距离为：
$\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$（km）
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1.勾股定理；2.直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际方位问题中的基础应用，解题核心是根据方位特征快速判断出直角三角形，再代入勾股定理计算即可，属于基础知识考查题。
【难度系数】
0.9
解题时首先结合常识可知正东和正南方向互相垂直，因此甲、乙的行走路线与两人当前的连线刚好构成直角三角形，其中甲走的4km、乙走的3km是直角三角形的两条直角边，两人的距离就是直角三角形的斜边，因此用勾股定理计算斜边长度即可得到答案。
【解析】
解：由题意得，正东与正南方向互相垂直，因此甲、乙的行走路程和两人的距离可构成直角三角形，两条直角边长分别为4km、3km。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得两人的距离为：
$\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$（km）
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
1.勾股定理；2.直角三角形实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际方位问题中的基础应用，解题核心是根据方位特征快速判断出直角三角形，再代入勾股定理计算即可，属于基础知识考查题。
【难度系数】
0.9
2. 在$△ ABC$中，$AB=20$，$AC=15$，边$BC$上的高为$12$，则$△ ABC$的面积为。
答案
解：设边BC上的高为AD，AD⊥BC于点D，AD=12。
分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时：
在Rt△ABD中，$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$，
在Rt△ACD中，$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$，
∴ $BC=BD+CD=16+9=25$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×25×12=150$。
② 当高AD在△ABC外部时，点D在BC的延长线上：
$BC=BD-CD=16-9=7$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×7×12=42$。
综上，△ABC的面积为150或42。
分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时：
在Rt△ABD中，$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$，
在Rt△ACD中，$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$，
∴ $BC=BD+CD=16+9=25$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×25×12=150$。
② 当高AD在△ABC外部时，点D在BC的延长线上：
$BC=BD-CD=16-9=7$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×7×12=42$。
综上，△ABC的面积为150或42。
解析
【分析】
要求△ABC的面积，已知BC边上的高，只需要求出BC的长度即可。因为题目没有明确△ABC的形状，BC边上的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，需要分两种情况讨论：首先作BC边上的高AD，构造两个直角三角形，分别利用勾股定理求出BD、CD的长度，再结合高的位置得到BC的长度，最后根据三角形面积公式计算面积即可，注意不要漏解。
【解析】
设边BC上的高为AD，AD⊥BC于点D，则AD=12，分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时：
在Rt△ABD中，由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$，
∴ $BC=BD+CD=16+9=25$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×25×12=150$。
② 当高AD在△ABC外部时，点D在BC的延长线上：
此时$BC=BD-CD=16-9=7$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×7×12=42$。
综上，△ABC的面积为150或42。
【答案】
150或42
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略高在三角形外部的情况，导致漏解。解题时要结合三角形的不同形状，全面考虑高的位置，既考察了勾股定理的基础应用，也锻炼了思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
要求△ABC的面积，已知BC边上的高，只需要求出BC的长度即可。因为题目没有明确△ABC的形状，BC边上的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，需要分两种情况讨论：首先作BC边上的高AD，构造两个直角三角形，分别利用勾股定理求出BD、CD的长度，再结合高的位置得到BC的长度，最后根据三角形面积公式计算面积即可，注意不要漏解。
【解析】
设边BC上的高为AD，AD⊥BC于点D，则AD=12，分两种情况讨论：
① 当高AD在△ABC内部时：
在Rt△ABD中，由勾股定理得$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16$，
在Rt△ACD中，由勾股定理得$CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$，
∴ $BC=BD+CD=16+9=25$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×25×12=150$。
② 当高AD在△ABC外部时，点D在BC的延长线上：
此时$BC=BD-CD=16-9=7$，
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×7×12=42$。
综上，△ABC的面积为150或42。
【答案】
150或42
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是容易忽略高在三角形外部的情况，导致漏解。解题时要结合三角形的不同形状，全面考虑高的位置，既考察了勾股定理的基础应用，也锻炼了思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
3. 如图,两个阴影部分都是正方形,两个正方形的面积之比为$1:2$,则这两个正方形的面积分别是.
答案
解：
由勾股定理，得两个阴影正方形所在直角三角形的斜边的平方为：
$10^2 - 8^2 = 36$
即两个阴影正方形的面积之和为36。
设较小的正方形面积为$k$，则较大的正方形面积为$2k$，根据题意得：
$k + 2k = 36$
解得$k=12$，则$2k=24$。
所以这两个正方形的面积分别是12和24。
由勾股定理，得两个阴影正方形所在直角三角形的斜边的平方为：
$10^2 - 8^2 = 36$
即两个阴影正方形的面积之和为36。
设较小的正方形面积为$k$，则较大的正方形面积为$2k$，根据题意得：
$k + 2k = 36$
解得$k=12$，则$2k=24$。
所以这两个正方形的面积分别是12和24。
解析
【分析】
解题时先观察图形特征：两个阴影正方形的边长恰好是中间小直角三角形的两条直角边，因此两个正方形的面积和等于该小直角三角形两条直角边的平方和，根据勾股定理，这个和等于小直角三角形的斜边平方。第一步先通过左侧已知边长的大直角三角形，用勾股定理算出小直角三角形的斜边平方，得到两个正方形的面积和；再结合两个正方形的面积比为1:2，设未知数列方程即可求出结果。
【解析】
解：首先根据左侧直角三角形的边长，由勾股定理计算中间小直角三角形的斜边平方：
$10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$
根据勾股定理，小直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方，而两个阴影正方形的面积分别等于这两条直角边的平方，因此两个正方形的面积和为36。
设较小的正方形面积为$k$，由面积比1:2可得较大正方形面积为$2k$，列方程：
$k + 2k = 36$
解得$k=12$，则$2k=2×12=24$。
【答案】
12和24
【知识点】
勾股定理；正方形面积；比例应用
【点评】
本题综合考查几何性质与代数计算，解题关键是结合勾股定理发现两个正方形的面积和为定值，再结合比例关系求解，能够锻炼图形观察能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征：两个阴影正方形的边长恰好是中间小直角三角形的两条直角边，因此两个正方形的面积和等于该小直角三角形两条直角边的平方和，根据勾股定理，这个和等于小直角三角形的斜边平方。第一步先通过左侧已知边长的大直角三角形，用勾股定理算出小直角三角形的斜边平方，得到两个正方形的面积和；再结合两个正方形的面积比为1:2，设未知数列方程即可求出结果。
【解析】
解：首先根据左侧直角三角形的边长，由勾股定理计算中间小直角三角形的斜边平方：
$10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$
根据勾股定理，小直角三角形两条直角边的平方和等于斜边平方，而两个阴影正方形的面积分别等于这两条直角边的平方，因此两个正方形的面积和为36。
设较小的正方形面积为$k$，由面积比1:2可得较大正方形面积为$2k$，列方程：
$k + 2k = 36$
解得$k=12$，则$2k=2×12=24$。
【答案】
12和24
【知识点】
勾股定理；正方形面积；比例应用
【点评】
本题综合考查几何性质与代数计算，解题关键是结合勾股定理发现两个正方形的面积和为定值，再结合比例关系求解，能够锻炼图形观察能力和知识综合运用能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图，$BC=1$，$AB=2$，$AF=3$，则正方形$CDEF$的边长为。
答案
$\sqrt{14}$
解析
【分析】
要求正方形CDEF的边长，本质是求线段FC的长度。观察图形可得△ABC和△AFC均为直角三角形，我们可以先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的平方，再代入Rt△AFC中，用勾股定理计算出FC的长度，即为正方形的边长。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=2$，$BC=1$，根据勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
在$Rt△ AFC$中，$∠ FAC=90°$，$AF=3$，根据勾股定理得：
$FC^2 = AF^2 + AC^2 = 3^2 + 5 = 9 + 5 = 14$
因为$FC$是正方形$CDEF$的边长，且边长为正数，所以$FC=\sqrt{14}$。
【答案】
$\sqrt{14}$
【知识点】
勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题的关键是找到所求线段对应的直角三角形，通过两次运用勾股定理即可求出结果，侧重考查对勾股定理的掌握和简单几何图形的观察能力。
【难度系数】
0.8
要求正方形CDEF的边长，本质是求线段FC的长度。观察图形可得△ABC和△AFC均为直角三角形，我们可以先在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的平方，再代入Rt△AFC中，用勾股定理计算出FC的长度，即为正方形的边长。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=2$，$BC=1$，根据勾股定理得：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
在$Rt△ AFC$中，$∠ FAC=90°$，$AF=3$，根据勾股定理得：
$FC^2 = AF^2 + AC^2 = 3^2 + 5 = 9 + 5 = 14$
因为$FC$是正方形$CDEF$的边长，且边长为正数，所以$FC=\sqrt{14}$。
【答案】
$\sqrt{14}$
【知识点】
勾股定理；正方形的性质
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题的关键是找到所求线段对应的直角三角形，通过两次运用勾股定理即可求出结果，侧重考查对勾股定理的掌握和简单几何图形的观察能力。
【难度系数】
0.8
