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5. 如图,在$△ ABC$中,CD是边AB上的高,$AC=8$,$BC=6$,$DB=\frac{18}{5}$.
(1) 求AD的长.
(2) 求证:$△ ABC$是直角三角形.
(1) 求AD的长.
(2) 求证:$△ ABC$是直角三角形.
答案
解：(1)
∵ CD是边AB上的高，
∴ ∠CDA=∠CDB=90°。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$CD^2 = BC^2 - DB^2 = 6^2 - (\frac{18}{5})^2 = 36 - \frac{324}{25} = \frac{576}{25}$。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 8^2 - \frac{576}{25} = 64 - \frac{576}{25} = \frac{1024}{25}$，
∴ $AD = \frac{32}{5}$。
(2) 证明：
∵ $AB = AD + DB = \frac{32}{5} + \frac{18}{5} = 10$，
∴ $AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$，
$AB^2 = 10^2 = 100$，
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$。
由勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形。
∵ CD是边AB上的高，
∴ ∠CDA=∠CDB=90°。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$CD^2 = BC^2 - DB^2 = 6^2 - (\frac{18}{5})^2 = 36 - \frac{324}{25} = \frac{576}{25}$。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 8^2 - \frac{576}{25} = 64 - \frac{576}{25} = \frac{1024}{25}$，
∴ $AD = \frac{32}{5}$。
(2) 证明：
∵ $AB = AD + DB = \frac{32}{5} + \frac{18}{5} = 10$，
∴ $AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$，
$AB^2 = 10^2 = 100$，
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$。
由勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形。
解析
【分析】
(1) 要求AD的长，已知CD是AB边上的高，因此△ACD和△BCD都是直角三角形，可借助勾股定理求解。首先利用Rt△BCD中已知的BC、DB长度算出CD²，再将CD²代入Rt△ACD中，结合已知的AC长度算出AD²，开方即可得到AD的长。
(2) 要证明△ABC是直角三角形，已知AC、BC的长度，先求出AB的总长度，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若符合则可根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形。
【解析】
(1)
∵ CD是边AB上的高，
∴ ∠CDA=∠CDB=90°。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$CD^2 = BC^2 - DB^2 = 6^2 - (\frac{18}{5})^2 = 36 - \frac{324}{25} = \frac{576}{25}$。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 8^2 - \frac{576}{25} = 64 - \frac{576}{25} = \frac{1024}{25}$，
∴ $AD = \sqrt{\frac{1024}{25}} = \frac{32}{5}$。
(2) 证明：
∵ $AB = AD + DB = \frac{32}{5} + \frac{18}{5} = 10$，
∴ $AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$，
$AB^2 = 10^2 = 100$，
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$。
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形。
【答案】
(1) $AD=\frac{32}{5}$；(2) △ABC是直角三角形，证明成立。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的基础应用题型，解题核心是抓住公共直角边CD作为衔接两个直角三角形的桥梁，先求出所需线段长度，再通过边长的平方关系判定三角形形状，计算时需注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.8
(1) 要求AD的长，已知CD是AB边上的高，因此△ACD和△BCD都是直角三角形，可借助勾股定理求解。首先利用Rt△BCD中已知的BC、DB长度算出CD²，再将CD²代入Rt△ACD中，结合已知的AC长度算出AD²，开方即可得到AD的长。
(2) 要证明△ABC是直角三角形，已知AC、BC的长度，先求出AB的总长度，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若符合则可根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形。
【解析】
(1)
∵ CD是边AB上的高，
∴ ∠CDA=∠CDB=90°。
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$CD^2 = BC^2 - DB^2 = 6^2 - (\frac{18}{5})^2 = 36 - \frac{324}{25} = \frac{576}{25}$。
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
$AD^2 = AC^2 - CD^2 = 8^2 - \frac{576}{25} = 64 - \frac{576}{25} = \frac{1024}{25}$，
∴ $AD = \sqrt{\frac{1024}{25}} = \frac{32}{5}$。
(2) 证明：
∵ $AB = AD + DB = \frac{32}{5} + \frac{18}{5} = 10$，
∴ $AC^2 + BC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$，
$AB^2 = 10^2 = 100$，
∴ $AC^2 + BC^2 = AB^2$。
根据勾股定理的逆定理，可得△ABC是直角三角形。
【答案】
(1) $AD=\frac{32}{5}$；(2) △ABC是直角三角形，证明成立。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的性质
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的基础应用题型，解题核心是抓住公共直角边CD作为衔接两个直角三角形的桥梁，先求出所需线段长度，再通过边长的平方关系判定三角形形状，计算时需注意分数运算的准确性。
【难度系数】
0.8
6. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$,垂足为$D$,设$AC=b$,$BC=a$,$AB=c$,$CD=h$.
(1) 求证:$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$.
(2) 求证:以$a+b$,$h$,$c+h$为边构成的三角形是直角三角形.
(1) 求证:$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$.
(2) 求证:以$a+b$,$h$,$c+h$为边构成的三角形是直角三角形.
答案
证明：
(1)
∵ ∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，
∴ $ab=ch$，
两边平方得：$a^2b^2=c^2h^2$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：$a^2+b^2=c^2$。
∴ $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}=\frac{c^2}{a^2b^2}$，
将$a^2b^2=c^2h^2$代入上式，得：
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{c^2}{c^2h^2}=\frac{1}{h^2}$，
即$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$。
(2)
计算两较短边的平方和：
$(a+b)^2+h^2=a^2+2ab+b^2+h^2$，
将$a^2+b^2=c^2$，$ab=ch$代入上式，得：
$(a+b)^2+h^2=c^2+2ch+h^2$。
又∵ $(c+h)^2=c^2+2ch+h^2$，
∴ $(a+b)^2+h^2=(c+h)^2$。
由勾股定理的逆定理可得：以$a+b$，$h$，$c+h$为边构成的三角形是直角三角形。
(1)
∵ ∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，
∴ $ab=ch$，
两边平方得：$a^2b^2=c^2h^2$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：$a^2+b^2=c^2$。
∴ $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}=\frac{c^2}{a^2b^2}$，
将$a^2b^2=c^2h^2$代入上式，得：
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{c^2}{c^2h^2}=\frac{1}{h^2}$，
即$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$。
(2)
计算两较短边的平方和：
$(a+b)^2+h^2=a^2+2ab+b^2+h^2$，
将$a^2+b^2=c^2$，$ab=ch$代入上式，得：
$(a+b)^2+h^2=c^2+2ch+h^2$。
又∵ $(c+h)^2=c^2+2ch+h^2$，
∴ $(a+b)^2+h^2=(c+h)^2$。
由勾股定理的逆定理可得：以$a+b$，$h$，$c+h$为边构成的三角形是直角三角形。
解析
【分析】
(1) 要证明$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$，先对左侧式子通分得到$\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}$，再找对应等量关系：首先直角三角形$△ ABC$满足勾股定理$a^2+b^2=c^2$；再通过三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），可推出$ab=ch$，平方后得到$a^2b^2=c^2h^2$，将两个等量关系代入通分后的式子化简即可得证。
(2) 要证明三条线段构成直角三角形，根据勾股定理的逆定理，只需证明两条较短线段的平方和等于最长线段的平方即可。先判断最长边为$c+h$，因此只需验证$(a+b)^2+h^2=(c+h)^2$，将左侧展开后代入$a^2+b^2=c^2$和$ab=ch$的关系，和右侧展开式对比即可验证等式成立。
【解析】
(1)
∵ $∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，
∴ $ab=ch$，
两边平方得：$a^2b^2=c^2h^2$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：$a^2+b^2=c^2$。
∴ $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}=\frac{c^2}{a^2b^2}$，
将$a^2b^2=c^2h^2$代入上式，得：
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{c^2}{c^2h^2}=\frac{1}{h^2}$，
即$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$。
(2)
计算两较短边的平方和：
$(a+b)^2+h^2=a^2+2ab+b^2+h^2$，
将$a^2+b^2=c^2$，$ab=ch$代入上式，得：
$(a+b)^2+h^2=c^2+2ch+h^2$。
又
∵ $(c+h)^2=c^2+2ch+h^2$，
∴ $(a+b)^2+h^2=(c+h)^2$。
由勾股定理的逆定理可得：以$a+b$，$h$，$c+h$为边构成的三角形是直角三角形。
【答案】
(1) $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$得证；
(2) 以$a+b$、$h$、$c+h$为边构成的三角形是直角三角形得证。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题是直角三角形性质的综合应用题，解题核心是通过直角三角形面积的两种表示方法得到$ab=ch$这一隐含等量关系，再结合勾股定理完成代数式的代换化简，这类等量代换技巧在直角三角形相关证明题中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$，先对左侧式子通分得到$\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}$，再找对应等量关系：首先直角三角形$△ ABC$满足勾股定理$a^2+b^2=c^2$；再通过三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），可推出$ab=ch$，平方后得到$a^2b^2=c^2h^2$，将两个等量关系代入通分后的式子化简即可得证。
(2) 要证明三条线段构成直角三角形，根据勾股定理的逆定理，只需证明两条较短线段的平方和等于最长线段的平方即可。先判断最长边为$c+h$，因此只需验证$(a+b)^2+h^2=(c+h)^2$，将左侧展开后代入$a^2+b^2=c^2$和$ab=ch$的关系，和右侧展开式对比即可验证等式成立。
【解析】
(1)
∵ $∠ ACB=90°$，$CD⊥ AB$，
∴ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}ch$，
∴ $ab=ch$，
两边平方得：$a^2b^2=c^2h^2$。
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：$a^2+b^2=c^2$。
∴ $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{b^2+a^2}{a^2b^2}=\frac{c^2}{a^2b^2}$，
将$a^2b^2=c^2h^2$代入上式，得：
$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{c^2}{c^2h^2}=\frac{1}{h^2}$，
即$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$。
(2)
计算两较短边的平方和：
$(a+b)^2+h^2=a^2+2ab+b^2+h^2$，
将$a^2+b^2=c^2$，$ab=ch$代入上式，得：
$(a+b)^2+h^2=c^2+2ch+h^2$。
又
∵ $(c+h)^2=c^2+2ch+h^2$，
∴ $(a+b)^2+h^2=(c+h)^2$。
由勾股定理的逆定理可得：以$a+b$，$h$，$c+h$为边构成的三角形是直角三角形。
【答案】
(1) $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$得证；
(2) 以$a+b$、$h$、$c+h$为边构成的三角形是直角三角形得证。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；三角形面积计算
【点评】
本题是直角三角形性质的综合应用题，解题核心是通过直角三角形面积的两种表示方法得到$ab=ch$这一隐含等量关系，再结合勾股定理完成代数式的代换化简，这类等量代换技巧在直角三角形相关证明题中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在长方形ABCD中,AB=8,BC=6,点P在AD上,将△ABP沿BP翻折至△EBP的位置,PE与CD相交于点O,EB与CD相交于点F,且OE=OD.
(1) 求证:OP=OF.
(2) 求AP的长.
(1) 求证:OP=OF.
(2) 求AP的长.
答案
(1) 证明：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D = ∠A = 90°，
由翻折的性质得∠E = ∠A = 90°，
∴∠D = ∠E。
在△DOP和△EOF中，
$\{\begin{array}{l}∠D = ∠E \\OD = OE \\∠DOP = ∠EOF\end{array} $
∴△DOP ≌ △EOF(ASA)，
∴OP = OF。
---
(2) 解：
设AP = x，
由翻折的性质得：PE = AP = x，BE = AB = 8，
∵长方形ABCD中AD = BC = 6，CD = AB = 8，
∴PD = AD - AP = 6 - x。
由△DOP ≌ △EOF，得PD = EF = 6 - x，
∴BF = BE - EF = 8 - (6 - x) = x + 2。
又∵OP = OF，OE = OD，
∴OP + OE = OF + OD，即PE = DF = x，
∴CF = CD - DF = 8 - x。
在Rt△BCF中，∠C = 90°，由勾股定理得：
$BC^2 + CF^2 = BF^2$
代入BC=6，得：
$6^2 + (8 - x)^2 = (x + 2)^2$
展开整理：
$36 + 64 - 16x + x^2 = x^2 + 4x + 4$
$20x = 96$
解得$x = \frac{24}{5}$。
∴AP的长为$\frac{24}{5}$（或4.8）。
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D = ∠A = 90°，
由翻折的性质得∠E = ∠A = 90°，
∴∠D = ∠E。
在△DOP和△EOF中，
$\{\begin{array}{l}∠D = ∠E \\OD = OE \\∠DOP = ∠EOF\end{array} $
∴△DOP ≌ △EOF(ASA)，
∴OP = OF。
---
(2) 解：
设AP = x，
由翻折的性质得：PE = AP = x，BE = AB = 8，
∵长方形ABCD中AD = BC = 6，CD = AB = 8，
∴PD = AD - AP = 6 - x。
由△DOP ≌ △EOF，得PD = EF = 6 - x，
∴BF = BE - EF = 8 - (6 - x) = x + 2。
又∵OP = OF，OE = OD，
∴OP + OE = OF + OD，即PE = DF = x，
∴CF = CD - DF = 8 - x。
在Rt△BCF中，∠C = 90°，由勾股定理得：
$BC^2 + CF^2 = BF^2$
代入BC=6，得：
$6^2 + (8 - x)^2 = (x + 2)^2$
展开整理：
$36 + 64 - 16x + x^2 = x^2 + 4x + 4$
$20x = 96$
解得$x = \frac{24}{5}$。
∴AP的长为$\frac{24}{5}$（或4.8）。
解析
【分析】
（1）要证明OP=OF，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先根据矩形性质得∠D=∠A=90°，结合翻折的性质得∠E=∠A=90°，可得∠D=∠E；再结合已知条件OD=OE，以及对顶角∠DOP=∠EOF，即可用ASA证明△DOP≌△EOF，从而得到OP=OF。
（2）求AP的长可采用方程思想，设AP=x，先利用翻折的性质得到PE=AP=x、BE=AB=8，结合矩形边长得PD=6-x；由（1）的全等结论可得EF=PD=6-x，进而推出BF=x+2、DF=PE=x、CF=8-x，最后在Rt△BCF中利用勾股定理列方程求解，即可得到AP的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D = ∠A = 90°，
由翻折的性质得∠E = ∠A = 90°，
∴∠D = ∠E。
在△DOP和△EOF中，
$\{\begin{array}{l}∠D = ∠E \\OD = OE \\∠DOP = ∠EOF\end{array} $
∴△DOP ≌ △EOF(ASA)，
∴OP = OF。
(2) 解：
设AP = x，
由翻折的性质得：PE = AP = x，BE = AB = 8，
∵长方形ABCD中AD = BC = 6，CD = AB = 8，
∴PD = AD - AP = 6 - x。
由△DOP ≌ △EOF，得PD = EF = 6 - x，
∴BF = BE - EF = 8 - (6 - x) = x + 2。
又
∵OP = OF，OE = OD，
∴OP + OE = OF + OD，即PE = DF = x，
∴CF = CD - DF = 8 - x。
在Rt△BCF中，∠C = 90°，由勾股定理得：
$BC^2 + CF^2 = BF^2$
代入BC=6，得：
$6^2 + (8 - x)^2 = (x + 2)^2$
展开整理：
$36 + 64 - 16x + x^2 = x^2 + 4x + 4$
$20x = 96$
解得$x = \frac{24}{5}$。
【答案】
(1) OP=OF，证明成立；
(2) AP的长为$\frac{24}{5}$（或4.8）。
【知识点】
翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是矩形与折叠变换结合的综合题，解题核心是利用折叠的不变性和全等三角形转化边的等量关系，结合勾股定理构造方程求解，方程思想在几何边长计算中的应用是本题的关键，属于几何常考题型。
【难度系数】
0.6
（1）要证明OP=OF，可通过证明两条线段所在的三角形全等求解。首先根据矩形性质得∠D=∠A=90°，结合翻折的性质得∠E=∠A=90°，可得∠D=∠E；再结合已知条件OD=OE，以及对顶角∠DOP=∠EOF，即可用ASA证明△DOP≌△EOF，从而得到OP=OF。
（2）求AP的长可采用方程思想，设AP=x，先利用翻折的性质得到PE=AP=x、BE=AB=8，结合矩形边长得PD=6-x；由（1）的全等结论可得EF=PD=6-x，进而推出BF=x+2、DF=PE=x、CF=8-x，最后在Rt△BCF中利用勾股定理列方程求解，即可得到AP的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠D = ∠A = 90°，
由翻折的性质得∠E = ∠A = 90°，
∴∠D = ∠E。
在△DOP和△EOF中，
$\{\begin{array}{l}∠D = ∠E \\OD = OE \\∠DOP = ∠EOF\end{array} $
∴△DOP ≌ △EOF(ASA)，
∴OP = OF。
(2) 解：
设AP = x，
由翻折的性质得：PE = AP = x，BE = AB = 8，
∵长方形ABCD中AD = BC = 6，CD = AB = 8，
∴PD = AD - AP = 6 - x。
由△DOP ≌ △EOF，得PD = EF = 6 - x，
∴BF = BE - EF = 8 - (6 - x) = x + 2。
又
∵OP = OF，OE = OD，
∴OP + OE = OF + OD，即PE = DF = x，
∴CF = CD - DF = 8 - x。
在Rt△BCF中，∠C = 90°，由勾股定理得：
$BC^2 + CF^2 = BF^2$
代入BC=6，得：
$6^2 + (8 - x)^2 = (x + 2)^2$
展开整理：
$36 + 64 - 16x + x^2 = x^2 + 4x + 4$
$20x = 96$
解得$x = \frac{24}{5}$。
【答案】
(1) OP=OF，证明成立；
(2) AP的长为$\frac{24}{5}$（或4.8）。
【知识点】
翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是矩形与折叠变换结合的综合题，解题核心是利用折叠的不变性和全等三角形转化边的等量关系，结合勾股定理构造方程求解，方程思想在几何边长计算中的应用是本题的关键，属于几何常考题型。
【难度系数】
0.6
