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如图4-1,甲处表示2街与5巷的十字路口,乙处表示5街与2巷的十字路口.如果用(2,5)表示甲处的位置,那么“(2,5)→(3,5)→(4,5)→(5,5)→(5,4)→(5,3)→(5,2)”表示从甲处到乙处的其中一条路线.请你用这种形式写出其他几条从甲处到乙处的路线.
图4-1
图4-1
答案
解：以下是符合要求的从甲处到乙处的路线（答案不唯一）：
路线1：$(2,5)\to(2,4)\to(2,3)\to(2,2)\to(3,2)\to(4,2)\to(5,2)$
路线2：$(2,5)\to(2,4)\to(3,4)\to(4,4)\to(5,4)\to(5,3)\to(5,2)$
路线3：$(2,5)\to(3,5)\to(3,4)\to(3,3)\to(3,2)\to(4,2)\to(5,2)$
路线1：$(2,5)\to(2,4)\to(2,3)\to(2,2)\to(3,2)\to(4,2)\to(5,2)$
路线2：$(2,5)\to(2,4)\to(3,4)\to(4,4)\to(5,4)\to(5,3)\to(5,2)$
路线3：$(2,5)\to(3,5)\to(3,4)\to(3,3)\to(3,2)\to(4,2)\to(5,2)$
解析
【分析】
首先明确有序数对的表示规则：本题中有序数对的第一个数对应街的序号，第二个数对应巷的序号。要从甲处(2,5)到乙处(5,2)，参考示例的最短路径要求（不走回头路），每次移动仅可选择两种合法方向：①向右走，即街的序号加1，巷的序号保持不变；②向下走，即巷的序号减1，街的序号保持不变。只需将3次向右移动和3次向下移动按不同顺序组合，就能得到不同的符合要求的路线。
【解析】
根据有序数对的表示规则和合法移动要求，可推导得到多条路线：
1. 先全程向下走到2巷，再全程向右走到5街，对应数对依次为(2,5)→(2,4)→(2,3)→(2,2)→(3,2)→(4,2)→(5,2)；
2. 先向下走1步，再向右走3步到5街，最后向下走2步到2巷，对应数对依次为(2,5)→(2,4)→(3,4)→(4,4)→(5,4)→(5,3)→(5,2)；
3. 先向右走1步，再向下走3步到2巷，最后向右走2步到5街，对应数对依次为(2,5)→(3,5)→(3,4)→(3,3)→(3,2)→(4,2)→(5,2)。
【答案】
解：以下是符合要求的从甲处到乙处的路线（答案不唯一）：
路线1：$(2,5)\to(2,4)\to(2,3)\to(2,2)\to(3,2)\to(4,2)\to(5,2)$
路线2：$(2,5)\to(2,4)\to(3,4)\to(4,4)\to(5,4)\to(5,3)\to(5,2)$
路线3：$(2,5)\to(3,5)\to(3,4)\to(3,3)\to(3,2)\to(4,2)\to(5,2)$
【知识点】
1. 有序数对表示位置
2. 平面内点的平移
【点评】
本题结合生活场景考查有序数对的实际应用，解题核心是先明确有序数对中两个数字对应的实际含义，再确定合法的移动方向。该题型答案不唯一，只要移动方向符合要求即可，能较好锻炼学生的逻辑思维和发散思维。
【难度系数】
0.85
首先明确有序数对的表示规则：本题中有序数对的第一个数对应街的序号，第二个数对应巷的序号。要从甲处(2,5)到乙处(5,2)，参考示例的最短路径要求（不走回头路），每次移动仅可选择两种合法方向：①向右走，即街的序号加1，巷的序号保持不变；②向下走，即巷的序号减1，街的序号保持不变。只需将3次向右移动和3次向下移动按不同顺序组合，就能得到不同的符合要求的路线。
【解析】
根据有序数对的表示规则和合法移动要求，可推导得到多条路线：
1. 先全程向下走到2巷，再全程向右走到5街，对应数对依次为(2,5)→(2,4)→(2,3)→(2,2)→(3,2)→(4,2)→(5,2)；
2. 先向下走1步，再向右走3步到5街，最后向下走2步到2巷，对应数对依次为(2,5)→(2,4)→(3,4)→(4,4)→(5,4)→(5,3)→(5,2)；
3. 先向右走1步，再向下走3步到2巷，最后向右走2步到5街，对应数对依次为(2,5)→(3,5)→(3,4)→(3,3)→(3,2)→(4,2)→(5,2)。
【答案】
解：以下是符合要求的从甲处到乙处的路线（答案不唯一）：
路线1：$(2,5)\to(2,4)\to(2,3)\to(2,2)\to(3,2)\to(4,2)\to(5,2)$
路线2：$(2,5)\to(2,4)\to(3,4)\to(4,4)\to(5,4)\to(5,3)\to(5,2)$
路线3：$(2,5)\to(3,5)\to(3,4)\to(3,3)\to(3,2)\to(4,2)\to(5,2)$
【知识点】
1. 有序数对表示位置
2. 平面内点的平移
【点评】
本题结合生活场景考查有序数对的实际应用，解题核心是先明确有序数对中两个数字对应的实际含义，再确定合法的移动方向。该题型答案不唯一，只要移动方向符合要求即可，能较好锻炼学生的逻辑思维和发散思维。
【难度系数】
0.85
例1 如图4-2，在平面直角坐标系中描出下列各点，将各点用线段依次连接起来，可得到一个什么样的图形？计算它们的面积.
(1) $A(5,1),B(2,1),C(2,-3)$；
(2) $A(-1,2),B(-2,-1),C(2,-1),D(3,2)$.
(1) $A(5,1),B(2,1),C(2,-3)$；
(2) $A(-1,2),B(-2,-1),C(2,-1),D(3,2)$.
答案
解：
(1) 描出点A、B、C并依次连接，得到的图形是直角三角形。
∵ 点A与点B的纵坐标相同，
∴ $AB = |5 - 2| = 3$，$AB // x$轴。
∵ 点B与点C的横坐标相同，
∴ $BC = |1 - (-3)| = 4$，$BC // y$轴。
∴ $AB ⊥ BC$，
面积 $S = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。
(2) 描出点A、B、C、D并依次连接，得到的图形是平行四边形。
∵ 点A与点D的纵坐标相同，点B与点C的纵坐标相同，
∴ $AD = |3 - (-1)| = 4$，$BC = |2 - (-2)| = 4$，$AD // x$轴，$BC // x$轴，
∴ $AD // BC$，$AD = BC$。
两平行线$y=2$和$y=-1$之间的距离为$|2 - (-1)| = 3$，即平行四边形的高为3，
面积 $S = 底 × 高 = 4 × 3 = 12$。
(1) 描出点A、B、C并依次连接，得到的图形是直角三角形。
∵ 点A与点B的纵坐标相同，
∴ $AB = |5 - 2| = 3$，$AB // x$轴。
∵ 点B与点C的横坐标相同，
∴ $BC = |1 - (-3)| = 4$，$BC // y$轴。
∴ $AB ⊥ BC$，
面积 $S = \frac{1}{2} × AB × BC = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。
(2) 描出点A、B、C、D并依次连接，得到的图形是平行四边形。
∵ 点A与点D的纵坐标相同，点B与点C的纵坐标相同，
∴ $AD = |3 - (-1)| = 4$，$BC = |2 - (-2)| = 4$，$AD // x$轴，$BC // x$轴，
∴ $AD // BC$，$AD = BC$。
两平行线$y=2$和$y=-1$之间的距离为$|2 - (-1)| = 3$，即平行四边形的高为3，
面积 $S = 底 × 高 = 4 × 3 = 12$。
解析
【分析】
解决本题的思路如下：①先根据各点的坐标在平面直角坐标系中描点连线，初步观察图形形状；②分析坐标特征：若两点纵坐标相同，则两点连线平行于x轴，长度为横坐标差的绝对值；若两点横坐标相同，则两点连线平行于y轴，长度为纵坐标差的绝对值；③根据线段的位置关系（平行、垂直）和长度关系判断图形的具体类型；④结合对应图形的面积公式代入数据计算面积即可。
【解析】
(1) 描出点$A(5,1)$、$B(2,1)$、$C(2,-3)$并依次连接：
∵ 点A与点B纵坐标相同，
∴ $AB// x$轴，$AB=|5-2|=3$，
∵ 点B与点C横坐标相同，
∴ $BC// y$轴，$BC=|1-(-3)|=4$，
∴ $AB⊥ BC$，即得到的图形是直角三角形，直角边为AB和BC，
面积 $S=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×3×4=6$。
(2) 描出点$A(-1,2)$、$B(-2,-1)$、$C(2,-1)$、$D(3,2)$并依次连接：
∵ 点A与点D纵坐标相同，点B与点C纵坐标相同，
∴ $AD// x$轴，$AD=|3-(-1)|=4$，$BC// x$轴，$BC=|2-(-2)|=4$，
∴ $AD// BC$且$AD=BC$，即得到的图形是平行四边形，
平行四边形的高为直线$y=2$和$y=-1$的距离：$|2-(-1)|=3$，
面积 $S=底×高=4×3=12$。
【答案】
(1) 直角三角形，面积为6；
(2) 平行四边形，面积为12。
【知识点】
点的坐标特征；特殊图形面积计算；平行四边形判定
【点评】
本题考查平面直角坐标系中坐标与图形的结合应用，解题核心是利用横、纵坐标相同的点的连线特征快速判断线段的位置和长度，无需额外测量或构造辅助线即可完成图形判定和面积计算，是坐标系类基础题型。
【难度系数】
0.8
解决本题的思路如下：①先根据各点的坐标在平面直角坐标系中描点连线，初步观察图形形状；②分析坐标特征：若两点纵坐标相同，则两点连线平行于x轴，长度为横坐标差的绝对值；若两点横坐标相同，则两点连线平行于y轴，长度为纵坐标差的绝对值；③根据线段的位置关系（平行、垂直）和长度关系判断图形的具体类型；④结合对应图形的面积公式代入数据计算面积即可。
【解析】
(1) 描出点$A(5,1)$、$B(2,1)$、$C(2,-3)$并依次连接：
∵ 点A与点B纵坐标相同，
∴ $AB// x$轴，$AB=|5-2|=3$，
∵ 点B与点C横坐标相同，
∴ $BC// y$轴，$BC=|1-(-3)|=4$，
∴ $AB⊥ BC$，即得到的图形是直角三角形，直角边为AB和BC，
面积 $S=\frac{1}{2}× AB× BC=\frac{1}{2}×3×4=6$。
(2) 描出点$A(-1,2)$、$B(-2,-1)$、$C(2,-1)$、$D(3,2)$并依次连接：
∵ 点A与点D纵坐标相同，点B与点C纵坐标相同，
∴ $AD// x$轴，$AD=|3-(-1)|=4$，$BC// x$轴，$BC=|2-(-2)|=4$，
∴ $AD// BC$且$AD=BC$，即得到的图形是平行四边形，
平行四边形的高为直线$y=2$和$y=-1$的距离：$|2-(-1)|=3$，
面积 $S=底×高=4×3=12$。
【答案】
(1) 直角三角形，面积为6；
(2) 平行四边形，面积为12。
【知识点】
点的坐标特征；特殊图形面积计算；平行四边形判定
【点评】
本题考查平面直角坐标系中坐标与图形的结合应用，解题核心是利用横、纵坐标相同的点的连线特征快速判断线段的位置和长度，无需额外测量或构造辅助线即可完成图形判定和面积计算，是坐标系类基础题型。
【难度系数】
0.8
例2 已知点P在第三象限，它的横坐标与纵坐标的差为2，点P的坐标可以是（写出一个即可）。
答案
解：
∵ 点P在第三象限，
∴ 点P的横坐标小于0，纵坐标小于0。
设点P的坐标为$(x,y)$，由题意得$x-y=2$。
取$x=-1$，代入得$-1-y=2$，解得$y=-3$，满足$x＜0$，$y＜0$。
∴ 点P的坐标可以是$\boldsymbol{(-1,-3)}$（答案不唯一）。
∵ 点P在第三象限，
∴ 点P的横坐标小于0，纵坐标小于0。
设点P的坐标为$(x,y)$，由题意得$x-y=2$。
取$x=-1$，代入得$-1-y=2$，解得$y=-3$，满足$x＜0$，$y＜0$。
∴ 点P的坐标可以是$\boldsymbol{(-1,-3)}$（答案不唯一）。
解析
【分析】
解题时首先要明确第三象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标小于0；再结合题干给出的“横坐标与纵坐标的差为2”，得到等量关系：横坐标-纵坐标=2；由于是开放性题目，只需任取一个小于0的横坐标，代入等量关系计算出对应的纵坐标，确认纵坐标也小于0，即可得到符合要求的点坐标。
【解析】
∵ 点P在第三象限，
∴ 点P的横坐标小于0，纵坐标小于0。
设点P的坐标为$(x,y)$，由题意得$x-y=2$。
取$x=-1$，代入得$-1-y=2$，解得$y=-3$，满足$x＜0$，$y＜0$的要求。
∴ 点P的坐标可以是$(-1,-3)$（答案不唯一）。
【答案】
$(-1,-3)$（答案不唯一）
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 点坐标的确定
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对第三象限点坐标符号规律的掌握，只需同时满足横纵坐标均为负、横纵坐标的差为2两个条件即可写出答案，灵活性较强，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确第三象限内点的坐标特征：横坐标小于0，纵坐标小于0；再结合题干给出的“横坐标与纵坐标的差为2”，得到等量关系：横坐标-纵坐标=2；由于是开放性题目，只需任取一个小于0的横坐标，代入等量关系计算出对应的纵坐标，确认纵坐标也小于0，即可得到符合要求的点坐标。
【解析】
∵ 点P在第三象限，
∴ 点P的横坐标小于0，纵坐标小于0。
设点P的坐标为$(x,y)$，由题意得$x-y=2$。
取$x=-1$，代入得$-1-y=2$，解得$y=-3$，满足$x＜0$，$y＜0$的要求。
∴ 点P的坐标可以是$(-1,-3)$（答案不唯一）。
【答案】
$(-1,-3)$（答案不唯一）
【知识点】
1. 象限内点的坐标特征
2. 点坐标的确定
【点评】
本题属于开放性基础题，主要考查对第三象限点坐标符号规律的掌握，只需同时满足横纵坐标均为负、横纵坐标的差为2两个条件即可写出答案，灵活性较强，难度较低。
【难度系数】
0.8
